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徐州市2015-2016学年高二下学期期中高二数学文科试题(含答案)


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徐州市 2015-2016 学年高二下学期期中高二数学文科试题参考答案
5
2. ?4? 3. 1 ? i
40 31 201 6

1.

4. 1

5. ?x ? R,sin x ? 1

6.

r />7. 1

8.充要

9. (??, ?2) ? (2, ??) 14. (0,

3V 10. S

{x | ?
11. 7 12.

5 1 ? x ? ?2, 或 ? x ? 1} 2 2

13. ①③

2 ) 3 ?1
n

?a 2 ? 7 a ? 6 ? 0 ?a ? 1或a ? 6 ?a 2 ? 7 a ? 6 ? 0 15. 解: (1)由题设知: ? ,解之得, a =1 ;(2)由题设知: ? 2 ,解之得, ? 2 ?? 1 ? a ? 6 ?a ? 5a ? 6 ? 0 ?a ? 5a ? 6 ? 0
所以实数 a 的取值范围是 -1< a <1 16. 解:p:由题意此方程必为两负根,故 m ? 4 ? 0且 ? m ? 0 , 解得:m ? 2 ;q:方程无实数根∴1<m<3 “p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题 p、 q 一真一假 ∴1<m<2 或 m≥3 所以实数 m 的取值范围为 1<m<2 或 m≥3。
2

17. 证明: (1)要证 a ? 2 ? a ? 2 ? 2 a ,只要证 ( a ? 2 ? a ? 2 ) 2 ? (2 a ) 2 ,只要证 2a ? 2 a 2 ? 4 ? 4a ,
2 2 只要证 a 2 ? 4 ? a , 由于 a ? 2 ,只要证 a ? 4 ? a ,最后一个不等式成立,所以 a ? 2 ? a ? 2 ? 2 a

(2) (反证法)假设 2, 3,5 是同一个等差数列中的三项,分别设为 am , an , a p ,则 d ? 又d ?

am ? an 2 ? 3 ? 为无理数, m?n m?n

am ? a p m? p

?

2?5 ?3 为有理数 ? m? p m? p

所以产生矛盾,假设不成立,即 2, 3,5 不可能是同一个等差数列中的三项. 18. 解:(1) 由题意知,方程 x ? x ? m ? 0 在 ?? 1,1? 上有解,
2

即 m 的取值范围就为函数 y ? x ? x 在 ?? 1,1? 上的值域,易得 M ? {m | ?
2

1 ? m ? 2} 4

(2) 因为 x∈ N 是 x∈ M 的必要条件,所以 M ? N 当 a ? 1 时,解集 N 为空集,不满足题意 当 a ? 1 时, a ? 2 ? a ,此时集合 N ? ?x | 2 ? a ? x ? a?

1 ? 9 ?2 ? a ? ? 则? 4 ,解得 a ? 4 ? ?a ? 2 1 ? 1 ?a ? ? 则? 4 ,解得 a ? ? 4 ? ?2 ? a ? 2
19. 解: (1) 椭圆方程为

当 a ? 1 时, a ? 2 ? a ,此时集合 N ? ?x | a ? x ? 2 ? a?

综上, a ?

9 1 或 a?? 4 4

x2 y2 ? ? 1, A( ?2,0), B(2,0), F1 ( ?1,0), F2 (1,0),l : x ? 4 4 3
3 3 (x ? 2), 与x=4联立得M (4, 2

又P(0, 3), 故PA所在直线方程为:y ?

3), 同理可得N (4,- 3).

3

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? MF1 ? (?5, ?3 3), NF2 ? (?3, 3) , MF1 ? NF2 ? 15 ? 9 ? 6
(2) P ( x0 , y0 ), 则

y0 x0 2 y0 2 x2 (x ? 2),(x0 ? -2) ? ? 1,即y0 2 =3(1- 0 ) ; PA所在直线方程为:y ? 4 3 4 x0 ? 2
???? ? ? 2 y0 6 y0 6 y0 ???? 2 y0 ). - ? MF1 ? ( ?5, ? ), 同理可得N (4, ), NF2 ? ( ?3, ? ) x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

与x =4联立得M (4,

x02 12 ? 3(1 ? ) 2 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 12 y 4 ? 6 - (2) MF ? NF ? 2b2 (定值) ,下证之MF1 ? NF2 ? 15 ? 2 0 ? 15 ? 1 2 x0 ? 4 x02 ? 4

证明:椭圆方程为

x2 y2 a2 ? ? 1, A ( ? a ,0), B ( a ,0), F ( ? c ,0), F ( c ,0) , l : x ? 1 2 a 2 b2 c

设P ( x0 , y0 ), 则

x0 2 y0 2 x0 2 y0 2 2 ? ? 1 ,即 y = b ( 1 )PA所在直线方程为:y ? (x ? a),(x0 ? -a) 0 2 2 2 a b a x0 ? a
2
2

a a2 ? a ) y0 ? a ) y0 2 ( a a a ). 与x = 联立得M ( , c ), 同理可得N ( , c c x0 ? a c c x0 ? a
2

(

a4 a2 a2 ( ? a 2 ) y02 ( ? a) y0 ???? ( ? a) y0 ???? 2 ? ???? ? a4 ???? ? ? 2 a2 a 2 ? MF1 ? (?c ? , ? c ), NF2 ? (c ? , ? c ). MF1 ? NF2 ? 2 ? c ? c 2 c x0 ? a 2 c x0 ? a c x0 ? a
? ( a 2 ? c 2 )b 2 b 4 ? 2 ? 2b2 (定值) c2 c
20. ⑴证明:∵ 当 n ? m 时,总有 S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d , ∴ 当 n ? 2 时, S n ? S n?1 ? S1 ? (n ? 1)d 即

an ? a1 ? (n ? 1)d , 且 n ? 1 也成立 , ∴ 当 n ? 2 时, a n ? a n ?1 ? [a1 ? (n ?1)d] ? [a1 ? (n ? 2)d] ? d
∴数列{ an }是等差数列 (2) 由⑴充分性已经得证,下面证必要性. ∵ 数列{ an }是等差数列 ∴当 n ? m 时, S n

? (n ? m)a m ?1 ?

(n ? m)( n ? m ? 1) (n ? m)( n ? m ? 1) d] d ? [( n ? m)a1 ? 2 2

? S m ? S n?m ? am?1 ? am?2 ? ? ? an ? S n?m

? (n ? m)(am?1 ? a1 ) ? m(n ? m)d ,∴ S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d


p : “对 ?n, m ? N ? ,当 n ? m 时,总有 S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d ”
是 q : “数列{ an }是等差数列”的充要条件

(3)解: ∵正整数 n, m, k 成等差数列,∴ n ? k ? 2m, ∴ S n ? S k ? 2 S m ? na1 ?

n(n ? 1) k (k ? 1) m(m ? 1) d ? ka 1 ? d ? 2(ma 1 ? d) 2 2 2

?

d d 2 d n?k 2 2 (n ? k 2 ? 2m 2 ) ? (n 2 ? k 2 ? 2( ) ) ? (n ? k ) 4 2 2 2

∴ ① 当 d ? 0 时, S n ? S k ? 2S m ,② 当 d ? 0 时, S n ? S k ? 2S m ,③ 当 d ? 0 时, S n ? S k ? 2S m
4


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