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竞赛作业2-20151223牛顿


《牛顿运动定律》基础训练

20151223

1.如图所示,质量为 M,长为 L 的木板放在光滑的斜面上.为使木板 能静止在斜面上, 质量为 m 的人应在木板上以多大的加速度跑动?(设 人的脚底与木板间不打滑)

(M+m)g sin ? m
2.如图所示,尖劈 A 的质量为 m,倾角为 θ,此尖劈的一面靠在

光滑 的墙上, 另一面与质量为 M 的光滑棱柱 B 接触, B 可以沿光滑水平面 滑动,求尖劈和棱柱 B 的加速度.

a1 ?

mg mg tan ? , a2 ? 2 m ? M tan ? m ? M tan 2 ?

3.如图,倾角为 α 的斜面 A 质量为 m1,物块 B 质量为 m2,水平力 F 作用在 B 上,不计各处摩擦,试求斜面 A 的加速度.

a1 ?

F sin ? ? m2 g cos ? sin ? m1 ? m2 sin 2 ?

4.截面为三角形的木块置于水平粗糙的地面上,木块质量为 m,倾角为 α,斜面上放一质量为 M 的物体,此物体以加速度以 a(a<gsinα)沿斜面加 速下滑,若木块保持静止,则木块与地面间的动摩擦因数至少是多大才能 实现这一过程?

a1 ?

Ma cos ? Mg ? mg ? Ma sin ?

5.一质量为 M、均匀分布的圆环,其半径为 r,几何轴与水平面垂直,若它能经受的最大 张力为 T,求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.

??

2? T Mr
θ

6.如图,质量 m 的小球被两根长度分别为 L1 和 L2 的轻绳系住,绳的 另外两端固定在天花板和竖直墙壁,L1 与竖直方向成 θ 角,L2 水平。 (1)剪断 L2 绳瞬间 L1 绳拉力 T1=? (2)剪断 L1 绳瞬间 L2 绳拉力 T2=?

L1

m L2

(1) mg cos ? (2)0
1

7.轻绳的一端连接于天花板上 A 点,绳上距 A 点为 a 处系有一个质量为 m 的质点 B,绳 的另一端跨过 C 处的定滑轮(滑轮的质量可以忽略, C与A 在同一水平线上) .某人握住绳的自由端,以恒定的速率 v 收绳.当绳收至如图所示位置时(B 两边的绳与水平线夹角 分别为 α 和 β) ,求右边绳子的张力.

T2 ?

mg cos ? cos(? ? ? ) sin ? cos(? ? ? ) mv 2 ? 4 [1 ? ] sin(? ? ? ) sin (? ? ? ) sin ? a

惯性力 8.如图,质量为 M 的圆形滑块平放在桌面上,一轻绳跨过滑块后, 两端各挂一个质量分别为 m1 和 m2 的物体, 两物体通过平行的绳子 悬垂在桌面外边.不计所有摩擦,试求圆形滑块的加速度.

4m1m2 g 4m1m2 ? M (m1 ? m2 )
9.人骑自行车以速度 v 在水平面上转弯,车身与水平面夹 α 角,求拐弯的半径。

v2 gctg?
10.如图所示,在一根没有重力的长度 L 的棒的中点与端点上分别固定了两 个质量分别为 m 和 M 的小球,棒沿竖直轴用铰链连接,棒以角速度 ω 匀速 转动,试求棒与竖直轴线间的夹角 θ

? ? arccos

(4M ? 2m) g ,不能用质心 (4M ? m)? 2 L

11.如图,在一根与水平面成 α 角的固定光滑细杆上,套有一质量为 m1 的小环 A ,小环通过一根长为 L 的细线与质量为 m2 的小球 B 连接, 试求系统从 A、B 间的细线为竖直位置静止释放瞬间,线上张力多大?

T?

m1m2 g cos2 ? m1 ? m2 sin 2 ?

2

12.长为 L1 和 L2 的不可伸长的轻绳悬挂质量分别是 m1 和 m2 的两个小球, 它们处于静止状态.突然,连接两绳的小球受到水平向右的冲击,瞬间获得 水平向右的速度 v,如图所示,求这瞬间连接 m2 的绳的拉力的大小.

2 2 v0 v0 m2 ( g ? ? ) l2 l1

13. 汽车重 G, 其重心离前轮(轴所在的竖直线)和后轮(轴所在的竖直线)分别 L1 和 L2(L2>L1), 重心离地面的高度为 h. 试求汽车以多大加速度 a 前进时,其前、后轮对地面的压力相等?

l2 ? l1 g 2h
14.一辆质量为 m 的汽车以速度 u 在半径为 R 的水平弯道上做匀速 圆周运动.汽车左、 右轮相距为 d. 重心离地高度为 h. 车轮与路面之间 的静摩擦因数为 μ0. 求: (1)汽车内外轮各承受多少支持力; (2) 汽车能安全行驶的最大速度是多少?

(1) N 2 ?

dgR 1 mv 2 h 1 mv 2 h mg ? , N1 ? mg ? (2) ?0 Rg 与 中的较小值 2 Rd 2 Rd 2h

天体运动 15.在半径为 R,质量为 M 的均匀铅球内挖去一个直径为 R 的球 形空腔, 空腔与表面相切在两球心连线的延长线上距铅球中心为 d 处,另有一质量为 m 的小球,如图所示,试求挖去空腔的铅球对 小球的万有引力。

GMm GMm ? ,注意:不能用重心求解(不等效) 2 d 2(2d ? R) 2
16.经过用天文望远镜长期观察,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研 究,使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识.双星系统由两个形星构 成,其中每个星体的线度都远小于两星之间的距离,一般双星系统距离其他星体很远,可以 当作孤立系统处理.现根据对某一双星系统的光学测量确定,该双星系统中每个星体的质量 都是 M,两者相距 L,它们正围绕两者连线的中点做圆周运动. (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算·
3

(2) 若实验上观测到的运动周期为 T 观测,且 T 计算:T 观测= 1: N (N>1). 为了解释 T 计算与 T 的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质. 作为一种简化模型,我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质, 而不考虑其他暗物质的影响.试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质密度.
观测

(1) T 计算=

?L

3( N ? 1) M 2L (2) ? ? 2? L3 GM

17.要发射一颗人造地球卫星,使它在半径为 r2 的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动,先 将卫星发射到半径为 r1 的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动.如图,在 A 点,使卫星速 度增加,从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上,当卫星到达转移轨 道的远地点 B 时,再次改变卫星速度,使它进入预定轨道运行,设万 有引力恒量为 G,地球质量为 M。求 (1)卫星在近地暂行轨道的周期 T1 (2)试求卫星从 A 点到达 B 点所需的时间 tAB (3)若卫星在 A 点加速后速度为 vA,求它到达远地点的速度 vB

(1) T1 ?

v r 4? 2 r13 ? 2 (r1 ? r2 )3 (2) (3) vB ? A 1 r2 8GM GM

18.从地球表面向火星发射火星探测器,设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动, 火星轨道半径 Rm 为地球轨道半径 R0 的 1.5 倍,简单而又比较节省能量的发射过程可分为 两步进行:第一步,在地球表面用火箭对探测器进行加速,使之获得足够动能,从而脱离地球 引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星.第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起 的火箭发动机,在短时间内对探测器沿原方向加速,使其速度数值增加到适当值,从而使得 探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星 上,如图(a) 所示,当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后,在某年 3 月 1 日测得 探测器与火星之间的角距离为 600, 如图(b) 所示,问应在何年何月何日点燃探测器上 的火箭发动机,方能使探测器恰好落在火 星表面(时间限需要精确到日 ) ? 已知地球 半径 Re = 6. 4×106m ,重力加速度 g 可 取 9. 8m/ s2.

点燃火箭发动机的时刻应为当年 3 月 1 日之后 38 天,即同年 4 月 7 日
4

《牛顿运动定律》基础训练

20151218

1.如图所示,质量为 M,长为 L 的木板放在光滑的斜面上.为使木板 能静止在斜面上, 质量为 m 的人应在木板上以多大的加速度跑动?(设 人的脚底与木板间不打滑)

(M+m)g sin ? m
2.如图所示,尖劈 A 的质量为 m,倾角为 θ,此尖劈的一面靠在光滑 的墙上, 另一面与质量为 M 的光滑棱柱 B 接触, B 可以沿光滑水平面 滑动,求尖劈和棱柱 B 的加速度.

a1 ?

mg mg tan ? , a2 ? 2 m ? M tan ? m ? M tan 2 ?

3.如图,倾角为 α 的斜面 A 质量为 m1,物块 B 质量为 m2,水平力 F 作用在 B 上,不计各处摩擦,试求斜面 A 的加速度.

a1 ?

F sin ? ? m2 g cos ? sin ? m1 ? m2 sin 2 ?

4.截面为三角形的木块置于水平粗糙的地面上,木块质量为 m,倾角为 α,斜面上放一质量为 M 的物体,此物体以加速度以 a(a<gsinα)沿斜面加 速下滑,若木块保持静止,则木块与地面间的动摩擦因数至少是多大才能 实现这一过程?

a1 ?

Ma cos ? Mg ? mg ? Ma sin ?

5.一质量为 M、均匀分布的圆环,其半径为 r,几何轴与水平面垂直,若它能经受的最大 张力为 T,求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.

??

2? T Mr
θ

6.如图,质量 m 的小球被两根长度分别为 L1 和 L2 的轻绳系住,绳的 另外两端固定在天花板和竖直墙壁,L1 与竖直方向成 θ 角,L2 水平。 (1)剪断 L2 绳瞬间 L1 绳拉力 T1=? (2)剪断 L1 绳瞬间 L2 绳拉力 T2=?

L1

m L2

(1) mg cos ? (2)0
5

7.轻绳的一端连接于天花板上 A 点,绳上距 A 点为 a 处系有一个质量为 m 的质点 B,绳 的另一端跨过 C 处的定滑轮(滑轮的质量可以忽略,C 与 A 在同一水平线上) .某人握住绳的 自由端,以恒定的速率 v 收绳.当绳收至如图所示位置时(B 两边的绳与水平线夹角分别为 α 和 β) ,求右边绳子的张力.

T2 ?

mg cos ? cos(? ? ? ) sin ? cos(? ? ? ) mv 2 ? 4 [1 ? ] sin(? ? ? ) sin (? ? ? ) sin ? a

惯性力 8.如图,质量为 M 的圆形滑块平放在桌面上,一轻绳跨过滑块后, 两端各挂一个质量分别为 m1 和 m2 的物体, 两物体通过平行的绳子 悬垂在桌面外边.不计所有摩擦,试求圆形滑块的加速度.

4m1m2 g 4m1m2 ? M (m1 ? m2 )
9.人骑自行车以速度 v 在水平面上转弯,车身与水平面夹 α 角,求拐弯的半径。

v2 gctg?
10.如图所示,在一根没有重力的长度 L 的棒的中点与端点上分别固定了两 个质量分别为 m 和 M 的小球,棒沿竖直轴用铰链连接,棒以角速度 ω 匀速 转动,试求棒与竖直轴线间的夹角 θ

? ? arccos

(4M ? 2m) g (4M ? m)? 2 L

不能用等效质心: a 与距离有关, 对应惯性力的

力矩与距离平方有关。

6

11.如图,在一根与水平面成 α 角的固定光滑细杆上,套有一质量为 m1 的小环 A ,小环通过一根长为 L 的细线与质量为 m2 的小球 B 连接, 试求系统从 A、B 间的细线为竖直位置静止释放瞬间,线上张力多大?

m1m2 g cos2 ? T? m1 ? m2 sin 2 ?
12.长为 L1 和 L2 的不可伸长的轻绳悬挂质量分别是 m1 和 m2 的两个小球, 它们处于静止状态.突然,连接两绳的小球受到水平向右的冲击,瞬间获得 水平向右的速度 v,如图所示,求这瞬间连接 m2 的绳的拉力的大小.

m2 ( g ?

2 v0 v2 ? 0) l2 l1

13. 汽车重 G, 其重心离前轮(轴所在的竖直线)和后轮(轴所在的竖直线)分别 L1 和 L2(L2>L1), 重心离地面的高度为 h. 试求汽车以多大加速度 a 前进时,其前、后轮对地面的压力相等?

l2 ? l1 g 2h
14.一辆质量为 m 的汽车以速度 u 在半径为 R 的水平弯道上做匀速圆周运动.汽车左、右轮 相距为 d. 重心离地高度为 h. 车轮与路面之间的静摩擦因数为 μ0. 求: (1)汽车内外轮各承受多少支持力;(2) 汽车能安全行驶的最大速度是多少?

(1) N 2 ?

dgR 1 mv 2 h 1 mv 2 h mg ? , N1 ? mg ? (2) ?0 Rg 与 中的较小值 2 Rd 2 Rd 2h

天体运动 15.在半径为 R,质量为 M 的均匀铅球内挖去一个直径为 R 的球 形空腔, 空腔与表面相切在两球心连线的延长线上距铅球中心为 d 处,另有一质量为 m 的小球,如图所示,试求挖去空腔的铅球对 小球的万有引力。

GMm GMm ? ,注意不能用重心求解(不等效) 2 d 2(2d ? R) 2
16.经过用天文望远镜长期观察,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研 究,使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识.双星系统由两个形星构 成,其中每个星体的线度都远小于两星之间的距离,一般双星系统距离其他星体很远,可以

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当作孤立系统处理.现根据对某一双星系统的光学测量确定,该双星系统中每个星体的质量 都是 M,两者相距 L,它们正围绕两者连线的中点做圆周运动. (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算· (2) 若实验上观测到的运动周期为 T 观测,且 T 计算:T 观测= 1: N (N>1). 为了解释 T 计算与 T 的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质. 作为一种简化模型,我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质, 而不考虑其他暗物质的影响.试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质密度.
观测

(1) T 计算=

?L

3( N ? 1) M 2L (2) ? ? 2? L3 GM

17.要发射一颗人造地球卫星,使它在半径为 r2 的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动,先 将卫星发射到半径为 r1 的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动.如图,在 A 点,使卫星速 度增加,从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上,当卫星到达转移轨 道的远地点 B 时,再次改变卫星速度,使它进入预定轨道运行,设万 有引力恒量为 G,地球质量为 M。求 (1)卫星在近地暂行轨道的周期 T1 (2)试求卫星从 A 点到达 B 点所需的时间 tAB (3)若卫星在 A 点加速后速度为 vA,求它到达远地点的速度 vB

(1) T1 ?

v r 4? 2 r13 ? 2 (r1 ? r2 )3 (2) (3) vB ? A 1 r2 8GM GM

1.从地球表面向火星发射火星探测器,设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动, 火星轨道半径 Rm 为地球轨道半径 R0 的 1.5 倍,简单而又比较节省能量的发射过程可分为 两步进行:第一步,在地球表面用火箭对探测器进行加速,使之获得足够动能,从而脱离地球 引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造 卫星 . 第二步是在适当时刻点燃与探测器 连在一起的火箭发动机,在短时间内对探 测器沿原方向加速,使其速度数值增加到 适当值,从而使得探测器沿着一个与地球 轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半 个椭圆轨道正好射到火星上,如图 (a) 所 示, 当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后, 在某年 3 月 1 日测得探测器与火星之 0 间的角距离为 60 ,如图(b) 所示,问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机,方能 使探测器恰好落在火星表面(时间限需要精确到日) ?已知地球半径 Re = 6. 4×106m , 重力加 速度 g 可取 9. 8m/ s2. 点燃火箭发动机的时刻应为当年 3 月 1 日之后 38 天,即同年 4 月 7 日

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