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排列组合


排列组合问题

主要内容
乘法原理
加法原理 排列 组合 例题讲解

基本计数原理 1. 乘法原理

设完成一件事有m个步骤,
则完成这件事共有 第二个步骤有n2种方法, …; n1 ? n2 ? ? ? nm 第m个步骤有nm种方法, 种不同的方法 . 必须通过每一步骤, 才算完成这件事, 第一个步骤有n1种方法,

例如,若一个男人有三顶帽子和两 件背心,问他可以有多少种打扮?

可以有 3 ? 2 种打扮

基本计数原理

2. 加法原理
设完成一件事有m种方式, 第一种方式有n1种方法, 第二种方式有n2种方法, 则完成这件事总共 …; 有n1 + n2 + … + nm 第m种方式有nm种方法, 种方法 . 无论通过哪种方法都可以 完成这件事,

例如,某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
也可以乘轮船.
火车有两班

甲地 回答是 3 + 2 种方法

乙地

轮船有三班

乘坐不同班次的火车和轮船,共有几种方法?

乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理,它们不但可以直接解决不少 具体问题,同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .

3、排列:一般地,从n个不同的元素中任取出m个 (m≤n)元素,按照一定的顺序排成一列.叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
由排列的定义可以看出,两个排列相同,不仅要求这两个排 列中的元素完全相同,而且各元素的先后顺序也一样.如果 两个排列的元素不完全相同.或者各元素的排列顺序不完全 一样,则这就是两个不同的排列。 从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数 m ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作 pn 。

排列数公式: 从n个不同元素取 m个 (1 ? m ? n)的不同排列总数为:

n! p ? n(n ? 1)( n ? 2) ?(n ? m ? 1) ? (n ? m)!
m n

m = n时称全排列

P ? pn ? n(n ?1)(n ? 2)?2 ?1 ? n!
n n

第1次选取

第2次选取

第3次选取
C

例如:n=4, m =3

B

D

A

C

B
D B

D C B

P ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
3 4

C

……

D

4、组合:一般地,从n个不同元素中取出m个 (m≤n)元素组成一组不计较组内各元素的次序, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
由组合的定义可以看出,两个组合是否相同,只与这两个 组合中的元素有关,而与取到这些元素的先后顺序无关.只 有当两个组合中的元素不完全相同时,它们才是不同的组 合。
m 从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有组合的个数, Cn 叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 。

组合数公式: 从n个不同元素取 m个 (1 ? m ? n)的不同组合总数为:

P n! C ? ? m! (n ? m)! m!
m n

m n

P ? C ? m!
m n m n

一般地,求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数 可以 分两步求得:
第一步:从n个不同元素中取出m个元素组成一组,共有 种方法;p m 第二步:将每一个组合中的m个元素进行全排列,共有 种排法. n 故由乘法原理得到: m m m m C n pn = C n · pm m

pm

因此

这就是组合数公式.

【例1】有4个同学一起去郊游,照相时,必须有一名同学给其他3 人拍照,共可能有多少种拍照情况?(照相时3人站成一排)

【例2】5个人并排站成一排,其中甲必须站在中间有多 少种不同的站法?

【例3】某校举行排球单循环赛,即每两个队伍都要比赛一次。有 12个队参加。问:共需要进行多少场比赛?

【例4】某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营,问共有多 少种选法?如果在42人中选3人站成一排,有多少种站法?


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