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1.2.1 函数的概念


第一章 集合与函数概念

1.1 函数及其表示
1.2.1函数的概念

?函数 请问:我们在初中学过哪些函数? 正比例函数:y=kx (k≠0); 反比例函数:y=k/x (k≠0); 一次函数: y=kx +b(k≠0); 二次函数:y=ax 2+bx+c (a≠0)

?函数的概念
例1:一

枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮 弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时 间t(单位:s)变化的规律是 (*) h=130t-5t2
? 对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系

h=130t-5t2 ,在集合B中都有唯一确定的高度h和它对 应 ?炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距 地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}

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例2 :近几十年来,大气中的臭氧迅速减少,因而出现 了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧 空洞的面积从1979~2001年的变化情况:

时间t的变化范围是数集A ={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞 面积S的变化范围是数集B ={S|0≤S≤26}.

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例3:国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质 量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。下表中恩 格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划以 来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

?函数的概念

归纳以上三个实例, 共同点: 都有两个非空数集 对于数集A中的每一个数,按照某种对应关系f, 在数集B中都有惟一确定的数和它对应,记作
f: A→B.

?函数的概念
函数的概念
定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中 都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(function), 记作y=f (x),x∈A。

定义域(domain):x的取值范围即集合A叫做函数的定义域; 与x值相对应的y值叫做函数值。 值域(range):函数值的集合 ?f ( x) x ? A?? B 叫做函数的值域。

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例1:判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数。 (1)y= ±x; (2)A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},对应法则f:x→y=x2, x ∈A, y ∈B; (3) A={三角形},B={x│x>0}, 对应法则f: 对A中元素求面积与B 中元素对应;

变式训练:已知M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域 为M,值域为N,则f(x)的图象可以是( )

题型一相等函数的判定 【例2】 导试判断以下各组函数是否表示同一函数: (1)f(x)=(√x)2,g(x)=x; (2)y=x0与y=1(x≠0); (3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).

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2.区间 (1)区间的概念: 设 a,b 是两个实数,且 a<b.我们规定: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] 数轴表示

这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.在图中,用实心点表示包 括在区间内的端点,用空心点表示不包括区间内的端点.

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(2)无穷大: “∞”读作 “无穷大” ,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作 “正无穷大” .我们 把满足 x≥a,x>a,x≤a,x<a 的实数 x 的集合可用区间表示,如下表. {x|x>a} {x|x<a} 定义 {x|x≥a} {x|x≤a} [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 符号 实数集 R 可以用区间表示为(-∞,+∞). 做一做 2 用区间表示下列集合: (1){x|2<x≤4}用区间表示为 ; (2){x|x>1,且 x ≠2} 用区间表示为 . 解析:(1){x|2<x≤4}用区间表示为 (2,4]. (2){x|x>1,且 x ≠2}用区间表示为 (1,2)∪(2,+∞). 答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)

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题型二求函数的定义域

构造使函数有意义的不等式(组)求解:分式的分母不为零;
偶次方根的被开方数非负;零次幂的底数不为零;
【例3】(1)函数f(x)=

的定义域是( ); ); );

(2)函数f(x)= (x-1)0的定义域是( (3)函数f(x)=

的定义域是(

变式训练:若函数 取值范围。

的定义域为R,求实数a的

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题型三求函数的函数值和定义域

【例4】已知



(x∈R)

(1)求f(2),g(2),g(a+1); (2)求f(g(3)); (3)求f(x)的值域;

复合函数:
设y=f(u) 而u=φ(x)且函数φ(x)的值域包含在f(u)的定义域内,那么y通

过u的联系也是自变量x的函数,我们称y为x的复合函数,记y=f[φ(x)],
其中u称为中间变量

Eg:f(2x-1)、f(x2-3x+3)

例1:(2013大纲全国,4,5分)已知函数f(x)的定义域为(1,0),则函数f(2x+1)的定义域为? ( )

变式:已知函数f(2x+1)的定义域为(-1,0),则求函数f(x) 的定义域

复合函数的定义域求法: 已知y=f(x)的定义域为[a,b],求y=f(g(x))的定义域.由a ≤g(x)≤b求出x的范围,就是y=f(g(x))的定义域.

已知y=f(g(x))的定义域为[a,b],求y=f(x)的定义域.求

出y=g(x),x∈[a,b]的值域,就是y=f(x)的定义域.

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方法一:观察法
2 y ? ? x ? 4 ? 2 的值域。 1、求

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方法二:配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时, 可利用配方法求值域

2、求函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4x ( x ? ?0, 4?) 的值域

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方法三:分离常数法
函数为分式,且分子、分母中有相似的项,通过该方法将原函数 转化为y=k±f(x)(k为常数)的形式

3、求函数

x2 ? x y? 2 的值域 x ? x ?1

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方法四:判别式法
分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数变形后可以化为A(y)x2+B(y)x+C=0 的形式,再利用判别式加以判断。(端点值要验证)
2x 2 ? 4x ? 7 y? 2 x ? 2x ? 3

4、求函数

的值域。


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