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2014届步步高大一轮复习讲义第十一章 章末检测


第十一章

章末检测

(

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 x - m) -( 1 2 2 s 1.(2011· 莱芜调研)正态分布密度函数 φμ,σ(x)= · .其中 μ<0 的图象可能为 e 2π·σ )

2.3 张不同的电影票全部分给 10 个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( ) A.1 260 B.120 C.240 D.720 3.(2010· 重庆)(x+1)4 的展开式中 x2 的系数为( ) A.4 B.6 C.10 D.20 4.中央电视台 1 套连续播放 5 个广告,其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣 传广告,要求最后播放的必须是公益宣传广告,且 2 个公益宣传广告不能连续播放,则不同 的播放方式有( ) A.120 种 B.48 种 C.36 种 D.18 种 5.(1-2x)5(2+x)的展开式中 x3 的项的系数是( ) A.120 B.-120 C.100 D.-100 6.(2010· 四川)由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个 数是( ) A.36 B.32 C.28 D.24 7.(2011· 聊城模拟)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学,分别参加三个不同科 目的竞赛,其中甲同学必须参赛,不同的参赛方案共有( ) A.24 种 B.18 种 C.21 种 D.9 种 a1 a2 8.(2011· 天津一中月考)若(1-2x)2 010=a0+a1x+?+a2 010x2 010 (x∈R),则 + 2+?+ 2 2 a2 010 的值为( ) 22 010 A.2 B.0 C.-1 D.-2 9.从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有 男同学又有女同学的概率为( ) 9 10 19 20 A. B. C. D. 29 29 29 29 10.(2011· 福州模拟)袋中有 40 个小球,其中红色球 16 个,蓝色球 12 个,白色球 8 个, 黄色球 4 个,从中随机抽取 10 个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到 的概率为( ) 2 3 4 1 3 4 C1 C C C C2 4 8 12 16 4C8C12C16 A. B. 10 10 C40 C40 2 3 1 4 1 3 1 C4C8C12C16 C4C8C12C2 16 C. D. 10 C40 C10 40 2 1 4 11.若 ξ 是离散型随机变量,P(ξ=x1)= ,P(ξ=x2)= ,且 x1<x2;又已知 E(ξ)= ,D(ξ) 3 3 3 2 = ,则 x1+x2 的值为( ) 9 5 7 11 A. B. C.3 D. 3 3 3

5? * x 12.设[x]表示不超过 x 的最大整数(如[2]=2,? ?4?=1),对于给定的 n∈N ,定义 Cn= n?n-1???n-[x]+1? 3 ? x ,x∈[1,+∞),则当 x∈? ?2,3?时,函数 C8的值域是( x?x-1???x-[x]+1? 16 16 ? ? A.? B.? ? 3 ,28? ? 3 ,56? 28 ?4,16?∪?28,28? 4, ?∪[28,56) C.? D. 3? 3? ?3 ? ? ? )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.一射手射击时其命中率为 0.4,则该射手命中的平均次数为 2 次时,他需射击的次 数为________. 1 14.(2010· 辽宁)(1+x+x2)(x- )6 的展开式中的常数项为________. x 15.(2010· 江西)将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世 博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答). - 16.设(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)n=a0+a1x+?+an-1xn 1+anxn,an-1=2 009,则 a0 +a1+?+an-1+an=________(表示成 β α-λ 的形式). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)(2011· 重庆西南师大附中期末 )已知(a2+1)n 的展开式中各项系数之和等于 ?16x2+ 1 ?5 的展开式的常数项,并且(a2+1)n 的展开式中系数最大的项等于 54,求 a 的值. x? ?5

18.(12 分)某市有 210 名学生参加数学竞赛预赛,随机抽阅 60 名学生答卷,成绩如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩(分) 0 0 0 6 15 21 12 3 3 0 人数 (1)求样本的数学平均成绩和标准差(精确到 0.01). (2)若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程.

19.(12 分)(2011· 济宁模拟)一个袋中有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意 7 摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的数学期望 E(X).

3 20.(12 分)已知( x+x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式的二项式系数 和大 992. 1 2x- ?2n 的展开式中, 求? x? ? (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.

21.(12 分)(2011· 四川)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自 行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收 费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算). 有甲、 乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租 1 1 一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 , ;两小时以上且不超过三小时还 4 2 1 1 车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过四小时. 2 4 (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ,求 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ).

22.(12 分)(2010· 山东)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A、B、C、D 四个问题, 规则如下: ①每位参加者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分,答错任一题减 2 分. ②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局; 当累计分数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局. ③每位参加者按问题 A、B、C、D 顺序作答,直至答题结束. 3 1 1 1 假设甲同学对问题 A、B、C、D 回答正确的概率依次为 , , , ,且各题回答正确 4 2 3 4 与否相互之间没有影响. (1)求甲同学能进入下一轮的概率; (2)用 ξ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ).

第十一章

章末检测

1. A [∵φ(x)图象的对称轴为 x=μ, 且 φ(x)图象在 x 轴上方, ∴由图象知选项 A 适合. ] 2.D [相当于 3 个元素排 10 个位置,共有 10× 9× 8=720(种).] 2 3.B [(x+1)4 的展开式中 x2 的系数为 C4 =6.] 4.C [先排最后一个公益宣传广告有 C1 2种方法,再在前三个位置中选一个排第二个公 3 1 1 3 益宣传广告有 C1 3种方法.余下的三个排商业广告有 A3种方法.故共有 C2C3A3=36(种).] 5.B [(1-2x)5(2+x)=2(1-2x)5+x(1-2x)5 3 2 2 =?+2C3 5(-2x) +xC5(-2x) +? 2 3 3 =?+(4C5-16C5)x +?=?-120x3+?.] 3 6.A [分类:①若 5 在首位或末位,共有 2A1 A3 =24(个); 2· 1 2 2 ②若 5 在中间三位,共有 A3· A2· A2=12(个). 故共有 24+12=36(个).] 3 7.B [先选后排共 C2 3A3=3×3×2×1=18(种).] 2 010 2 2 2 010 2 010 2 010 8.C [∵(1-2x) =1-C1 x+C2 x +?+C2 · x 2 0102· 2 0102 · 0102 a1 a2 a2 010 1 2 2 010 ∴ + 2+?+ 2 010=-C2 010+C2 010+?+C2 010 2 2 2 =(1-1)2 010-C0 2 010=-1.] C3 C3 20 10 20 9.D [(间接法)P=1- P =1- 3 - 3 = .] C30 C30 29 10.A [分层抽样即按红、蓝、白、黄球之比为 16∶12∶8∶4 来抽取的,即抽取球的 个数依次为 4,3,2,1, 3 2 1 C4 16C12C8C4 ∴P= .] 10 C40 2 1 4 x1·+x2·= , 3 3 3 11.C [由已知得 4 1 2 2 ? ?x1-4?2· x - ?2 = , 3? 3+? 2 3? · ? 3 9

? ? ?

?x =3, 解之得? 2 ?x =3,
1 2

5

?x1=1, ? 或? ?x2=2. ?

又 x1<x2,所以 x1+x2=3.] 3 ? x 8 x ?3 ? ? 16? 12.D [当 x∈? ?2,2?时,[x]=1,C8=x在?2,2?上单调递减,故 C8∈?4, 3 ?. 8×7 x ?28 ? 当 x∈[2,3)时,[x]=2,C8 = 在[2,3)上递减,故 Cx 8∈ 3 ,28 . ? ? x?x-1? 16? ?28 ? 综上,所求值域为? ?4, 3 ?∪? 3 ,28?.] 13.5 解析 设射手射击 n 次的命中次数为 ξ, 则 ξ~B(n, p), 由题意知 E(ξ)=0.4n=2, 解之, 得 n=5. 14.-5 1 10 11 12 13 6 1 5 2 4 3 3 解析 (1+x+x2)(x- )6=(1+x+x2)[C0 6 x ( - ) +C 6 x ( - ) + C 6 x ( - ) + C 6 x ( - ) x x x x x + 1 15 16 4 2 6 0 C6 x (- )4+C5 6x(- ) +C6x (- ) ] x x x 15 6 1 2 6 4 2 =(1+x+x )(x -6x +15x -20+ 2 - 4+ 6), x x x 2 15 所以常数项为 1×(-20)+x · 2 =-5. x 15.1 080 C2 C2 6· 4 解析 先将 6 位志愿者分组,共有 2 种方法;再把各组分到不同场馆,共有 A4 4种方 A2 C2 C2 6· 4 4 法.由乘法原理知,不同的分配方案共有 2 · A4=1 080(种). A2 2 009 16.2 -2 -1 解析 an-1=1+Cn n =2 009,得 n=2 008, 原式中令 x=1 得 a0+a1+a2+?+a2 007+a 2008 =2+22+?+22 008=22 009-2. 16 2 1 17.解 ? 5 x + ?5 展开式的常数项为: x? ? 4?16 2?? 1 ?4 C5 ? 5 x ?? x? =16,(4 分) 2 (a +1)n 展开式的系数之和 2n=16,n=4.(6 分) ∴(a2+1)n 展开式的系数最大的项为 2 2 2 C4 (a ) ×12=6a4=54,∴a=± 3.(10 分) 1 18.解 (1)样本的数学平均成绩 x = (4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)= 60 6,同样可求出方差 s2=1.5,所以标准差约为 1.22.(4 分) 故样本的数学平均成绩为 6 分,标准差约为 1.22.(6 分) (2)由(1)可估计出 μ=6,σ=1.22.因为总体服从正态分布,所以正态曲线的近似方程为 2 x - 6) -( 1 φ(x)= e 3 .(12 分) 1.22 2π 19.解 (1)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A, 设袋中白球的个数为 x, C2 7 10-x 则 P(A)=1- 2 = ,得到 x=5(x=14>10,不合题意,舍去). C10 9

故白球有 5 个.(5 分) (2)X 服从超几何分布,其中 N=10,M=5,n=3, 3-k Ck 5C5 其中 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3, C10 于是可得其分布列为 X 0 1 2 3 1 5 5 1 P 12 12 12 12 (10 分) X 的数学期望 1 5 5 1 3 E(X)= ×0+ ×1+ ×2+ ×3= . 12 12 12 12 2 (12 分) 20.解 由题意知,22n-2n=992, 即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得 n=5. ?2x-1?10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, (1)由二项式系数的性质知, 即 C5 10=252. x? ? 1?5 5? 5 ∴T6=C5 25 10(2x) -x =-C10· ? ? =-8 064.(4 分) (2)设第 r+1 项的系数的绝对值最大, 1?r - ? r ∵Tr+1=C10 · (2x)10 r· ?-x? - - =(-1)rCr 210 r· x10 2r,(6 分) 10· - r r-1 10-r+1 ? 210 r≥C10 · 2 ?C10· ∴? r 10-r r+1 10-r-1 , ?C10· 2 ≥C10 · 2 ?
r 1 ?Cr ?11-r≥2r ? 10≥2C10 ? ? 得? r , r+1 ,即 ? ? ?2C10≥C10 ?2?r+1?≥10-r 8 11 解得 ≤r≤ ,(10 分) 3 3 ∵r∈N,∴r=3.故系数的绝对值最大的是第 4 项, T4=-C3 27· x4=-15 360x4.(12 分) 10·


1 1 (1)由题意,得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 , , 4 4 1 1 1 1 1 1 5 记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A,则 P(A)= × + × + × = .(4 分) 4 2 2 4 4 4 16 5 ∴甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .(6 分) 16 (2)ξ 可能取的值有 0,2,4,6,8.(8 分) 1 1 1 P(ξ=0)= × = ; 4 2 8 1 1 1 1 5 P(ξ=2)= × + × = ; 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 P(ξ=4)= × + × + × = ; 2 4 4 2 4 4 16 1 1 1 1 3 P(ξ=6)= × + × = ; 2 4 4 4 16 1 1 1 P(ξ=8)= × = .(10 分) 4 4 16 ∴甲、乙两人所付的租车费用之和 ξ 的分布列为 ξ 0 2 4 6 8 21.解

1 5 5 3 1 8 16 16 16 16 1 5 5 3 1 7 ∴E(ξ)=0× +2× +4× +6× +8× = .(12 分) 8 16 16 16 16 2 P 22.解 (1)设 A、B、C、D 分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题, A 、 B 、 C 、 D 分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误,它们是对立事件,由题 意得: 3 1 1 1 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= , 4 2 3 4 1 1 2 3 ∴P( A )= ,P( B )= ,P( C )= ,P( D )= . 4 2 3 4 (2 分) (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件 Q. 则 Q=ABC+A B CD+AB C D+ A BCD+ A B C D. ∵每题结果相互独立. ∴P(Q)=P(ABC+A B CD+AB C D+ A BCD+ A B C D) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P( B )P(C)P(D) + P(A)P(B)· P( C )P(D) + P( A )P(B)P(C)P(D) + P( A )P(B)P( C )· P(D) 3 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = × × + × × × + × × × + × × × + × × × = .(7 分) 4 2 3 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 (2)由题意知,随机变量 ξ 的可能取值为:2,3,4, 1 1 1 则 P(ξ=2)=P( A B )= × = , 4 2 8 P(ξ=3)=P(ABC+A B C ) 3 1 1 3 1 2 3 = × × + × × = , 4 2 3 4 2 3 8 1 3 1 P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1- - = .(9 分) 8 8 2 因此 ξ 的分布列为 ξ 2 3 1 3 P(ξ) 8 8 (10 分) 1 3 1 27 所以 E(ξ)=2× +3× +4× = .(12 分) 8 8 2 8

4 1 2


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