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直线与双曲线的位置关系


第八章 直线与双曲线的位置关系
基础卷 一.选择题: 2 2 1.设直线 y=kx 与双曲线 4x ―y =16 相交,则实数 k 的取值范围是 (A)―2<k<2 (B)―1<k<1 (C)0<k<2 2. “直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 2 2 3.直

线 y=x―1 被双曲线 2x ―y =3 所截得的弦的中点坐标是 (A)(1, 2) (B)(―2, ―1) (C)(―1, ―2) 4.等轴双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,与直线 y= (A)x ―y =6
2 2

(D)―2<k<0 (D)不充分不必要条件 (D)(2, 1)

1 x 交于 A, B 两点,若|AB|=2 15 ,则其方程为 2
(C)x ―y =16
2 2

(B)x ―y =9
2

2

2

(D)x ―y =25

2

2

y2 ? 1只有一个公共点,则满足条件的 l 有 5.直线 l 过点(5, 0),与双曲线 x ? 4
(A)1 条 (B)2 条 (C)4 条 (D)无数条

6.若直线 y=kx+1 与曲线 x= (A)― 2 <k< 2 二.填空题:

y 2 ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是
(C)1<k< 2 (D)k<― 2 或 k> 2

(B)― 2 <k<―1

7.过点 A(3, ―1)且被 A 点平分的双曲线

x2 ? y 2 ? 1的弦所在的直线方程是 4
.

.

x2 y 2 ? ? 1 有两个交点,则 m 的取值范围是 8.直线 y=mx―1 与双曲线 4 9
9.过双曲线 16x ―9y =144 的右焦点作倾斜角为
2 2

? 的弦 AB,则|AB|等于 3

.

10.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0, b>0)的半焦距是 c,直线 l 过两点(a, 0), (0, b),已知原点到直线 l 的距离为 a2 b2
.

1 4

3 c,则双曲线的离心率为

提高卷 一.选择题: 1.直线 y=kx―1 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个交点,则 k 的取值范围是 4 9
(B)k=±

(A)k=±

1 2

10
2 2

3 2

(C)k=±

1 2

10 或 k=±

3 2

(D)k∈ ?

2.过双曲线 x ―y =4 的焦点且平行于虚轴的弦长是 (A)1 (B)2

(C)3

(D)4

7 1 x2 ? y 2 ? 1的交点 个数是 3.直线 y= (x― )与双曲线 3 2 9
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(A)0 个

(B)1 个

(C)2 个

(D)4 个

4.斜率为 2 的直线 l 被双曲线

x2 y 2 ? ? 1 截得的弦长为 2 5 ,则直线 l 的方程是 5 4

(A)y=2x±

5 5

(B)y=2x±

12 5 5

(C)y=2x±

3 5 5

(D)y=2x±

4 5 5

5.经过双曲线 为定值,其值等于 2 (A)a

x2 y2 ? ? 1 (a>0, b>0)上任一点 M,作平行于实轴的直线,与渐近线交于 P, Q 两点,则|MP|·|MQ| a2 b2
(B)b
2

(C)c

2

(D)ab

6.若直线 y=m 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两交点为 P, Q,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,则 m 的值为 9 25
(B)±

(A)±

5 4

4 5

(C)±

15 4

(D)±

4 15

二.填空题: 2 2 7.已知双曲线 x ―my =1 (m>0)的右顶点为 A,而 B, C 是双曲线右支上两点,若△ABC 为正三角形,则 m 的取值范 围是 . 8.过点(0, 1)作直线 l 与双曲线 4x ―ay =1 相交于 P, Q 两点,且∠POQ= 是
2 2

? (O 为坐标原点) ,则 a 的取值范围 2
.

. 2 2 9.已知直线 y=kx+1 与双曲线 x ―2y =1 只有一个公共点,则公共点的坐标是

b x2 y2 10.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)的右焦点 F 作渐近线 y= x 的垂线,垂足为 M,与双曲线左、右两支分别交 a a b
于 A, B 两点,则双曲线的离心率的取值范围是 三.解答题: 11.已知双曲线的方程 x ?
2

.

y2 ? 1,试问是否存在被点(1, 1)所平分的弦?如果存在,求出所在直线;如果不存 2

在,说明理由。

综合练习卷 一.选择题: 1.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的共轭双曲线的准线方程是 a2 b2 b2 c
(B)x=±

(A)x=±

a2 c

(C)y=±

b2 c

(D)y=±

a2 c

x2 y 2 2.双曲线 2 ? 2 ? ?1 (a>0, b>0)有较大倾斜角的渐近线的倾斜角为 a b

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(A)arccos

1 e

(B)π ―arccos

1 e

(C)arcsin

1 e

(D)π ―arcsin

1 e

3. 已知 F1, F2 是

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点, PQ 是过焦点 F1 且与左支相交的弦, 且 PQ 的倾斜角为 α , 那么|P F2|+|Q 16 9

F2|―|PQ|的值是 (A)16 (B)12 (C)8 (D)随 α 的变化而变化 2 2 4.直线 y=kx+2 与双曲线 x ―y =6 的右支交于两个不同的点,则实数 k 的取值范围是
(A)(―

15 , 3

15 ) 3

(B)(0,

15 ) 3

(C)(―

15 , 0) 3

(D)(―

15 , ―1) 3

5.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (m>0, n>0)的渐近线与其实轴所夹的角为 α ,过焦点且垂直于该实轴的直线交双曲线于 A, n2 m2
(B)2m·tanα (C)n·tanα (D)2n·tanα

B 两点,则|AB|等于 (A)m·tanα
6.设 P(x0, y0)是双曲线 则平行四边形 OQPR 的面积为 (A)ab

x2 y2 ? ? 1 上任一点,过 P 作双曲线两条渐近线的平行线分别交另一条渐近线于 Q, R, a2 b2
1 ab 2

(B)2ab

(C)

(D)4ab

二.填空题: 2 2 2 2 7.已知动圆 P 和定圆 A: (x+3) +y =1 及定圆 B: (x―3) +y =9 均外切,则动圆圆心 P 的轨迹方程 是 .

x2 y2 ? ? 1 与圆 x2+y2=1 没有公共点,则 k 的取值范围是 8.若双曲线 2 2 9k 4k
9.设双曲线与其共轭双曲线的离心率分别为 e1, e2,则 e1+e2 的最小值为 10.从双曲线

. .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 引它的一条渐近线 l1 的垂线,交 l1 于 A,交另一条渐近线 l2 于 B,则 AB 一 8 16
.

定被双曲线的 平分。 2 2 11.当 ab<0 时,ax +by +ab=0 的离心率为 三.解答题:

12.双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,过双曲线右焦点且斜率为

15 的直线交双曲线于 P, Q 两点,若 OP⊥ 5

OQ, |PQ|=4,求双曲线的方程。
13. 已知双曲线

x2 y2 3 2 3 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)的离心率 e= , 过点 A(0, ―b)和 B(a,0)的直线与原点间的距离是 , 2 3 2 a b

(1)求这双曲线的方程; (2)直线 y=kx+5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点 C, D,且两点都在以 A 为圆心的同一个圆上,求 k 的值。

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