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2008年全国高中数学联赛陕西赛区预赛


2008 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
第一试
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设等差数列 {an } 共有 n 项 S n ,若 S 2 =10, S 5 =55,经过点 P(n,an)、Q(n+2,an+2)的直线 的一个方向向量的坐标可以是 1 A.(2, ) 2 1 B.(- ,-2) 2 1 C.(- ,-1) 2 D.(-1,-1



2.如图,在 120°的二面角内 ? ? l ? ? ,⊙O1、⊙O2 分别在半 平面 ? , ? 内,且与棱 l 切于同一点 P。则以⊙O1、⊙O2 为截 面的球 A.仅有一个 B.仅有 2 个 C.有无数个 D.不存在 3. 已知函数 f ( x ) ? ?

?(3 ? a )x ? 3(x ? 7) ?a
x ?6

( x ? 7)

,数列 {an } 满足 an ? f ( n)( n? N? ) ,且 {an } 是递增数

列。则实数 a 的取值范围是 9 A.( ,3) 4 9 B.[ ,3) 4 C.(1,3) D.(2,3)

4.把分母为 24 的所有最简真分数从小到大的顺序排列,依次为 a1、a2,…,an。则 值是 A.1 1 B. 2 C.0 D.1 2 )个

? cos a ? 的
i ?1 i

n

5.集合 M ? {( x, y) | log 4 x log 4 y ? 1, x, y ? N ? } 的子集共有( A.4 B.16 C.64 D.256

6.已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 (n ? N ? ) ,其前 n 项和为 S n 。则在数列 (n ? 1) n ? n n ? 1
)项 D.46

S1 , S 2 ,…, S 2008 中,有理数项共有(
A. 43 B.44 C.45

7.函数 y ? tan x ?

2 的最大值是 | cos x |

A.1-2 2
3

B.1+2 2
2

C.-

3

D. 3

8.已知函数 f ( x) ? x ? log 2 ( x ? 1 ? x) 。则对于任意实数 a、b(a+b≠0), 值 A.恒大于零 B.恒等于零 C.恒小于零 D.符号不确定

f (a) ? f (b) 的 a 3 ? b3

9.在正三棱锥 P-ABC 中,M 为△ABC 内(含边界)一动点,且点 M 到三个侧面 PAB,PBC, PCA 的距离成等差数列。则点 M 的轨迹是 A.一条折线段 B.一条线段
2

C.一段圆弧
2 2

D.一段抛物线
3 3

10. 设 k 、 m 、 n 均为整数,过圆 x ? y ? (3k ? 1) 外一点 P(m ? m, n ? n) 向该圆引两条切 线,切点分别为 A、B。则直线 AB 上整点(横、纵坐标都是整数的点)有( A. 2 B.1 C .0 D.无数 )个

二、填空题(每小题 6 分,共 30 分) sin(α +β ) tanα 11.已知 =3 . 则 的值是___________. sin(α- β) tanβ 12.若 x5+ 3 x3+ 1= a0 + a1 ( x - 1) +a2 ( x - 1) 2+ …+ a5 ( x - 1) 5 对任意实数都成立,则 a3 的值是 ____________(用数字作答) . 2xy 13. 若实数 x、y 满足 x2+ y2= 1 ,则 的最小值是_____________. x+y-1 14.有 20 张卡片上分别写有数字 1 ,2 ,…,20 ,将它们放入一个盒子内.有 4 个人从中不放回地 各抽取一张卡片,抽到两个较小数字的两人在同一组,抽到两个较大数字的两人在同一组。现其中 有两人抽到 5、 14,则此两人在同一组的概率等于 ____________(用最简分数作答) . 15. 三条直线 y = 2 x、 y = 2 x 和 x = m 将椭圆面 x2 + y2≤1 分成若干块. 现用 6 种不 4

同的颜色给这若干块染色,每块只染一种颜色,且任意两块不同色,共有 720 种不同的染法. 则实 数 m 的取值范围是__________

第二试
π π π 一、 (15 分)求函数 y = [sin( +x)- sin( -x)] sin( +x)的最大值,并求取得最大值时 x 值的集合. 4 4 3 二、 (15 分) 设二次函数 f ( x ) 在区间 [-1 ,4 ]上的最大值为 12 ,且关于 x 的不等 式 f ( x) <0 的解集为区间(0 ,5) . (1)求函数 f ( x)的解析式; (2)若对于任意的 x ∈R,不等式 f (2-2 cos x) < f (1- cos x - m)恒成立,求实数 m 的取值范围.

三、 (20 分) 设 x >0 , y >0 , n∈N+ . 求证:

xn yn xn ? y n ? ? 1 ? x 2 1 ? y 2 1 ? xy

四、 如图,在直角坐标平面 xOy 中 ,△AiBiAi+1 ( i = 1 ,2 , …)为正三角形 ,且满足 OA1 =(1 ,0),AiAi+1 = (2i-1 ,0) . 4

(1)求证:点 B1 , B2 , …, Bn , …在同一条抛物线Γ 上 ,并求出该抛物线的方程; (2)过(1)中所求抛物线Γ 的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AC、 BD ,求四边形 ABCD 面积的最小 值.

五、 (20 分)如图, AB 是半圆 ⊙O 的直径 , C 是 AB 的中点,M 是弦 AC 的中点, CH⊥BM ,垂 足为 H.求证:CH2= AH· OH. 六、 (30 分) 一位同学有 40 天的复习时间准备参加全国中学生数学冬令营 .在此期间 ,他最多 可以安排 60 个小时来复习,并计划每天至少复习 1 小时(假定每天复习的时数为整数) .证明:无论 他怎样安排复习计划,在此期间都存在连续的若干天,恰好复习 19 小时.


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