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(新课程)高中数学 2.1.4《函数的奇偶性》教案 新人教B版必修1


2.1.4 函数的奇偶性 教案
教学目标:理解函数的奇偶性 教学重点:函数 奇偶性的概念和判定 教学过程: 1.概念形成: 通过对函数 y ?

1 , y ? x 2 的分析,引出函数奇偶性的定义。 x

2.性质探究: 函数奇偶性的 几个性质: (1)奇偶函数的定义域关于原点对称; (2)奇偶性是函数的整体 性质,对定义域内任

意一个 x 都必须成立; (3) f (? x) ? f ( x) ? f ( x) 是偶函 数, f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) 是奇函数; (4) f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x) ? 0 ;
(5)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; (6)根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶 函数。 3.概念辨析: 判断下列命题是否正确 (1)函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函 数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可 以由奇偶性定义直接得出。 (2)两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或 差仍是偶函数。 此命题错误。 一方面, 如果这两个函数的定义域的交集是空集, 那么它们的和或差没有定义; 另一方面,两个奇函数的差或 两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数,如 , 与 ,可以看出函数

都 是 定 义 域 上 的 函 数 , 它 们 的 差 只 在 区 间 [ - 1 , 1] 上 有 定 义 且 ,而在此区间上函数 既是奇函数又是偶函数。 都是偶函数。

(3)

是任意函数,那么



此命题错误。一方面,对于函数 或 ; 另一方面, 对于一个任意函数

, 不能保证 而言,

不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原 点对称,那么函数

1

是偶函数。 (4)函数 是偶函数,函数 是奇函数。

此命题正确。由函数奇偶性易证。 (5)已知函数 是奇函数,且 有定义,则 。

此命题正确。由奇函数的定义易证。 (6) 已知 是奇函数或偶函数,方程 有实根, 那么方程 的 有奇数个

所有实根之和为零;若 实根。 此命题正确。方程 偶性的定义可知:若 来说,必有

是定义在实数集上的奇函数,则方程

的实数根即为函数 ,则 。故原命题成立。



轴 的交点的横坐标,由奇

。对于定义在实数集上的奇函数

4.例题讲解: 例 1、判断下列函数的奇偶性 (1)。 f ( x) ? x 3 ? x (2)。 f ( x) ? ( x ? 1)

x ?1 (3)。 f ( x) ? x 2 ? 4 ? 2 ? x 2 x ?1

例 2、 已知 f(x) ? x ? ax ? bx ? 8且f (?2) ? 10 ,求 f(x)。
2 3

参考答案: 例 1. 解:(1)、函数的定义域为 R, f (? x) ? (? x) ? (? x) ? ? x ? x ? ? f ( x)
3 3

所以 f (x) 为奇函数 (2)、函数的定义域为 {x | x ? 1或x ? ?1} ,定义域关于原点不对称,所以 f (x) 为 非奇非偶函数 (3)、函数的定义域为{-2,2}, f (? x) ? 0 ? f ( x) ? ? f ( x) ,所以函数 f (x) 既是 奇函数又是偶函数 评析:判断函数的奇偶性时先要判断的定义域是否关于原点对称,然后用定义来判断。

2

解 : 设g ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx, 则f ( x) ? g ( x) ? 8, g ( x)是奇函数 例 2. f ( x) ? g ( x) ? 8,? f (?2) ? g (?2) ? 8 ? 10,? g (?2) ? 2, g (2) ? ? g (?2) ? ?2,? f (2) ? g (2) ? 8 ? ?2 ? 8 ? 6.
评析:挖掘 f( x)隐含条件,构造奇函数 g(x),从整体着手,利用奇函数的性质解决问 题. 课堂练习:教材第 49 页 练习 A、第 50 页 练习 B 小结:本节课学习了函数奇偶性的概念和判定 课后作业:第 52 页 习题 2-1A 第 6 、7 题

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