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上海市浦东新区2012-2013学年度高二第二学期期中联考数学试题


2012 学年第二学期高二年级数学学科期中联考试卷
(满分:100 分 完成时间:90 分钟 ) 一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共 12 题,只要求填写结果,每题填对得 3 分,否则一律得零分. 1、直线 3 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是_______________ 2、 若椭圆的中心在原点, 长轴长为 10, 一个焦点坐标为 ( ?3,0) ,

则该椭圆的标准方程是________________________ 3、过点 P (1,2) ,且与直线 3 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程是_____________________ 4、直线 l 1 : 3 x ? y ? 1 ? 0 和直线 l 2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的夹角大小为______________ 5、如果直线 3 x ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为__________ 6、直线 y ? x ? m 被圆 x 2 ? y 2 ? 1 所截得的弦长等于 2 ,则 m ? _______________ 7、方程 x ? y ? 6mx ? 2 y ? 10m ? 0 表示的图形是圆,则 m 的取值范围是_______________
2 2

8、过点 ( 3,6) 与圆 x ? y ? 9 相切的直线方程是___________________
2 2

9、已知点 A(1,3) ,点 B 在直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 上运动,则 AB 中点 P 的轨迹方程是__________________

10、椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m ,则 m 最大时点 P 的坐标为________ 25 9

11、若方程 x ? k ? 1 ? x 2 ? 0 只有一个解,则实数 k 的取值范围是__________________ 12、下列四个命题:①直线 l 的斜率 k ? [?1,1] ,则直线 l 的倾斜角 ? ? [?

? ?

, ] ;②直线 l : y ? kx ? 1 与以 4 4

A( ?1,5) 、 B(4,?2) 两 点 为 端 点 的 线 段 相 交 , 则 k ? ?4 或 k ? ?

3 ;③如果实数 x 、 y 满足方程 4

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,那么

x2 y2 y ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值 的最大值为 3 ;④直线 y ? kx ? 1 与椭圆 x 5 m

范围是 m ? 1 .其中正确命题的序号是________________

二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出 4 个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必 须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,每题选对的 3 分,否则一律得零分. 13、一条直线 l 的法向量 ( ) (A)是唯一的 (B)有两个,它们互为负向量

1

(C)可以是除零向量外的任意向量

(D)可以有无限个,它们是互为平行的非零向量

14、直线 l 1 : ( 2 ? a ) x ? ay ? 3 ? 0 和直线 l 2 : x ? ay ? 3 ? 0 ,若直线 l 1 的法向量恰好是直线 l 2 的方向向量, 则实数 a 的值为 ( A) ? 2 (B) 1 (C) ? 2 或

1

( (D) 0



15、曲线 C : f ( x , y ) ? 0 关于直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的对称曲线 C ' 的方程是





(A) f ( x ? 3, y ) ? 0 (B) f ( y ? 3, x ) ? 0 (C) f ( y ? 3, x ? 3) ? 0 (D) f ( y ? 3, x ? 3) ? 0 16、直线 2 x ? y ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? 4my ? m 2 ? 1 ? 0 的位置关系是 ( )

(A)相交但不过圆心 (B)相交且肯能过圆心 (C)相交或相切 (D)相交或相切或相离 三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 4 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17、 (本题满分 8 分,第(1)题 4 分,第(2)题 4 分) 已知 ? ABC 的三个顶点坐标是 A( 3,?4) , B(0,3) , C ( ?6,0) ,求: (1) BC 边所在直线的点方向式方程; (2) BC 边上的高 AD 所在直线的点法向式方程.

18、 (本题满分 8 分) 求经过点 A( ?3,0) ,且与圆 C : ( x ? 3) ? y ? 64 内切的圆的圆心 M 的轨迹方程.
2 2

19、 (本题满分 10 分,第(1)题 5 分,第(2)题 5 分) 设圆 C : x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 ,
2 2

(1)若圆 C 关于直线 l : a( x ? 2 y ) ? (2 ? a )(2 x ? 3 y ? 4) ? 0 对称,求实数 a ; (2)求圆 C 关于点 A( ?2,1) 对称的圆方程.
2

20、 (本题满分 12 分,第(1)题 6 分,第(2)题 6 分) 点 A 、 B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左右端 36 20

点, F

是其右焦点。点 P 在椭圆上,位于 x 轴上方,且 PF ? PA . (1)求点 P 的坐标; (2)点 M 是椭圆长轴 AB 上的点, M 到直线 AP 等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 距离的最小值.

的距离

21、 (本题满分 14 分,第(1)题 4 分,第(2)题 6 分,第(3)题 4 分) 定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形” ,如果两个椭圆的“特征 三角形” ,是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆 C 1 :

x2 ? y 2 ? 1. 4

x2 y2 ? ? 1 ,判断 C 2 与 C 1 是否相似?如果相似,求出 C 2 与 C 1 的相似比;如果不相似,请 (1)若椭圆 C 2 : 16 4
说明理由; (2)写出与椭圆 C 1 相似且短半轴长为 b 的椭圆 程;若在椭圆 C b 上存在两点 M 、 N 关于直线

Cb 的 方

3

y ? x ? 1 对称,求实数 b 的取值范围;
(3) 如图: 直线 y ? x 与两个 “相似椭圆”M :

x2 y2 x2 y2 ? ? ? 2( a ? b ? 0 ,0 ? ? ? 1 ) ? ? 1 和 : M ? a 2 b2 a 2 b2

分别交于点 A 、 B 和 C 、 D ,试在椭圆 M 和椭圆 M ? 上分别作出点 E 和点 F (非椭圆顶点) ,使 ? CDF 和

? ABE 组成以 ? 为相似比的两个相似三角形,写出具体作法。 (不必证明)

2012 学年第二学期高二年级数学学科期中联考试卷参考答案
一、填空题: 1、

1 ? ? x2 y2 7 13 ? ? 1 ;3、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ;4、 ;5、 ;2、 ;6、 ? 1 ;7、 m ? 或 m ? 1 ;8、 x ? 3 9 3 4 25 16 26

或 3 x ? 4 y ? 15 ? 0 ;9、 4 x ? 6 y ? 17 ? 0 ;10、 (0,?3) ;11、 [?1,1) ? { 2 } ;12、②③ 二、选择题: 13、D;14、C;15、D;16、A 三、解答题: 17、解: (1) BC ? (?6,?3) 是 BC 边所在直线的方向向量, (2 分) 故 l BC :

x y?3 ? (4 分) (答案不唯一,若方程不为点方向式,请酌情给分) ?6 ?3

(2) BC ? (?6,?3) 高 AD 所在直线的法向量, (6 分)

4

故 l AD : ? 6( x ? 3) ? 3( y ? 4) ? 0 (8 分) (答案不唯一,若方程不为点法向式,请酌情给分)

18、解:根据题意得, | MA | ? | MC |? 8 ?| AC | , (2 分)
2 由椭圆定义得 a ? 4 , c ? 3 ,所以 b ? 7 (6 分)

x2 y2 ? ? 1 (8 分) 所以所求的圆心 M 的轨迹方程为 16 7
19、解: (1)根据题意得, 圆 C :( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 13 关于直线 l :a( x ? 2 y ) ? (2 ? a )(2 x ? 3 y ? 4) ? 0 对称即圆心 ( ?2,3) 在直线 l 上, (2 分) 将 ( ?2,3) 代入直线 l 的方程,得 a(?2 ? 2 ? 3) ? (2 ? a )[2 ? (?2) ? 3 ? 3 ? 4] ? 0 (3 分) 解得 a ? ?

2 (5 分) 7
2 2

(2)? 圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 13 的圆心 ( ?2,3) 关于点 A( ?2,1) 的对称点为 ( ?2,?1) (7 分)

? 圆 C : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 13 关于点 A( ?2,1) 的对称圆方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 13 (10 分)
20、解: (1)由已知可设 P ( x, y ) ,其中 ? 6 ? x ? 6 , y ? 0 (1 分) 则 PA ? (?6 ? x,? y) , PF ? (4 ? x,? y) ,由 PF ? PA 得 PA ? PF ? 0 , (2 分)

? x 2 ? 2 x ? 24 ? y 2 ? 0 ? 2 则? ,所以 2 x ? 9 x ? 18 ? 0 , (4 分) x2 y2 ? ? 1 ? 36 20 ?
解得 x ?

3 或 x ? ? 6 (舍) , (5 分) 2

3 5 3 ? P( , ) (6 分) 2 2
(2)设 M ( m ,0) ,其中 ? 6 ? m ? 6 又 l AP : x ? 3 y ? 6 ? 0 (7 分) 则

|m?6| ?| 6 ? m | (8 分) 2

5

得 m ? 2 ,即 M ( 2,0) (9 分) 设椭圆上一点 Q( x, y ) ,其中 ? 6 ? x ? 6 ,则 | MQ |? 得 | MQ | ? x ? 4 x ? 4 ? y ? x ? 4 x ? 4 ? 20 ?
2 2 2 2

( x ? 2) 2 ? y 2

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15 (11 分) 9 9 2

所以当 x ?

9 时 | MQ | 有最小值 15 .(12 分) 2

21、解: (1)椭圆 C 2 与 C 1 相似。 (2 分) 因为椭圆 C 2 的特征三角形是腰长为 4,底边长为 4 3 的等腰三角形,而椭圆 C 1 的特征三角形是腰长为 2,底边 长为 2 3 的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为 2 : 1 (4 分)

x2 y2 (2)椭圆 C b 的方程为: 2 ? 2 ? 1 ( b ? 0 ) (6 分) 4b b
设 l MN : y ? ? x ? t ,点 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) , MN 中点为 ( x 0 , y0 ) ,

? y ? ?x ? t ? 则 ? x2 ,所以 5 x 2 ? 8tx ? 4(t 2 ? b 2 ) ? 0 y2 ? ?1 ? ? 4b 2 b 2
则 x0 ?

x 1 ? x 2 4t t ? , y 0 ? (8 分) 2 5 5 t 4t 5 ? ? 1 , t ? ? (9 分) 5 5 3 5 , 3

因为中点在直线 y ? x ? 1 上,所以有

即直线 l MN 的方程为: l MN : y ? ? x ?

由题意可知,直线 l MN 与椭圆 C b 有两个不同的交点, 即方程 5 x ? 8( ? ) x ? 4[(? ) ? b ] ? 0 有两个不同的实数解,
2 2 2

5 3

5 3

所以 ? ? (

40 2 25 5 ) ? 4 ? 5 ? 4 ? ( ? b 2 ) ? 0 ,即 b ? (10 分) 3 9 3

(3)作法 1:过原点作直线 y ? kx ( k ? 1 ) ,交椭圆 M 和椭圆 M ? 于点 E 和点 F ,则 ? CDF 和 ? ABE 即为
6

所求相似三角形,且相似比为 ? 。 (14 分)

D F 和 ? ABE 作法 2: 过点 A 、 点 C 分别做 x 轴 (或 y 轴) 的垂线, 交椭圆 M 和椭圆 M ? 于点 E 和点 F , 则 ?C
即为所求相似三角形,且相似比为 ? 。 (14 分)

7


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