当前位置:首页 >> 数学 >>

高一 必修二 第二章 第一节 名校尖子生培优 2.1.2空间中直线与直线的位置关系拔高试题含解析


第二章
一、选择题 1.异面直线是指( )

2.1
基础巩固

2.1.2

A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 [答案] D [解析] 对于 A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共 异面.∴A 应排除. 对于 B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可 就是相交的情况,∴B 应排除. 对于 C,如右图的 a,b 可看作是平面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b,显然它们是相交直 线,∴C 应排除.只有 D 符合定义.∴应选 D. 规律总结: 解答这类立体几何的命题的真假判定问题, 一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和 公理、定理;另一方面要善于寻找特例,构造相关特例模型,能快速、有效地排除相关的选择项. 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( A.3 条 C.6 条 [答案] C [解析] 画一个正方体,不难得出有 6 条. 3.若 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则( A.a∥c C.a、c 相交 [答案] D [解析] a、b、c 的位置关系有下面三种情况,如图所示,由图形分析可得答案为 D. ) B .4 条 D.8 条 ) 异面, 如右图, 面), 另一个是

B.a、c 是异面直线 D.a、c 平行或相交或异面

4.空间两个角 α、β 的两边对应平行,若 α=60° ,则 β 为( A.60° C.30° [答案] D B.120° D.60° 或 120°

)

1

[解析] 由等角定理知 α、β 相等或互补. 所以 β=60° 或 120° . 5.空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AC、BD 中点,若 CD=2AB,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角 为( ) A.30° C.60° [答案] A [解析] 取 AD 的中点 H,连 FH、EH,在△EFH 中∠EFH=90° , B.45° D.90°

HE=2HF,从而∠FEH=30° , 故选 A. 6.下列命题中,正确的结论有( )

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别 垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] ②④是正确的. 二、填空题 7.如图所示,在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中,异面直线共有________对. B .2 个 D.4 个

[答案] 3 [解析] AP 与 BC 异面、BP 与 AC 异面、PC 与 AB 异面. 8.如图所示,六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 中,底面是正六边形.

(1)A1F1 与 BD 所成角的度数为________.
2

(2)C1F1 与 BE 所成角的度数为________. [答案] 30° 60° 三、解答题 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是棱 CC1,BB1,DD1 中点.

求证:∠BGC=∠FD1E. [分析] 利用平行公理证明两角对应的边平行,再利用等角定理证明两角相等. [解析] 因为 E,F,G 分别是正方体的棱 CC1,BB1,DD1 的中点,所以 CE 綊 GD1,BF 綊 GD1.所以 四边形 CED1G 与四边形 BFD1G 均为平行四边形.所以 GC∥D1E,GB∥D1F.因为∠BGC 与∠FD1E 的方向 相同,所以∠BGC=∠FD1E. 10.如图,等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90° ,BC= 2,DA⊥AC,DA⊥AB,若 DA=1,且 E 为 DA 的中点.求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值.

[分析] 根据异面直线所成角的定义,我们可以选择适当的点,分别引 BE 与 DC 的平行线,换句话说, 平移 BE(或 CD).设想平移 CD,沿着 DA 的方向,使 D 移向 E,则 C 移向 AC 的中点 F,这样 BE 与 CD 所 成的角即为∠BEF 或其补角,解△EFB 即可获解. [解析] 取 AC 的中点 F,连接 BF、EF,在△ACD 中,E、F 分别是 AD、AC 的中点, ∴EF∥CD, ∴∠BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角(或其补角). 1 1 5 在 Rt△EAB 中,AB=1,AE= AD= ,∴BE= . 2 2 2 1 1 1 2 在 Rt△AEF 中,AF= AC= ,AE= ,∴EF= . 2 2 2 2 1 5 在 Rt△ABF 中,AB=1,AF= ,∴BF= . 2 2 1 2 EF 2 4 10 在等腰△EBF 中,cos∠FEB= = = , BE 5 10 2

3

∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为

10 . 10 能力提升

一、选择题 1.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( A.异面 C.平行 [答案] D [解析] 如图所示,a、b 是异面直线,AB、AC 都与 a、b 相交,AB、 DE 都与 a、b 相交,AB、DE 异面. 2.已知 a、b、c 均是直线,则下列命题中,必成立的是( A.若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c B.若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 也相交 C.若 a∥b,b∥c,则 a∥c D.若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 也是异面直线 [答案] C [解析] 由平行公理可知 C 正确,而其他可举反例说明错误. 3.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( A.梯形 C.平行四边形 [答案] D [解析] ∵E、F、G、H 分别为中点,如图. 1 ∴FG 綊 EH 綊 BD, 2 1 HG 綊 EF 綊 AC, 2 又∵BD⊥AC 且 BD=AC, ∴FG⊥HG 且 FG=HG,∴四边形 EFGH 为正方形. 4.点 E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、BC 的中点,AB=6,PC=8,EF=5,则异面直线 AB 与 PC 所成的角为( A.60° C.30° [答案] D [解析] 如图,取 PB 的中点 G,连结 EG、FG,则 1 1 EG 綊 AB,GF 綊 PC,则∠EGF(或其补角)即为 AB 与 PC 所成 2 2 的角,在△ ) B.45° D.90° B.矩形 D.正方形 ) ) AC 相交;AB、 B.相交 D.异面或相交 )

4

1 1 EFG 中,EG= AB=3,FG= PC=4,EF=5,所以∠EGF=90° . 2 2 二、填空题 5.如图正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AD1 异面且与 AD1 所成的角为 90° 的面对角线(面对角线是指正 方体各个面上的对角线)共有________条.

[答案] 1 [解析] 与 AD1 异面的面对角线分别为:A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有 B1C 和 AD1 所成的角 为 90° . 6.如图所示,E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 的中点,若 BD=2,AC =4,则四边形 EFGH 的周长为________.

[答案] 6 1 EH綊 BD 2

[解析]

? 1 ?EH=FG= BD=1, 2 1 ? FG綊 BD? 2

1 同理 EF=GH= AC=2, 2 ∴四边形 EFGH 的周长为 6. 三、解答题 7.如图,在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E、F 分别是 AB、CD 的中点,若 EF= 3,求异面 直线 AD、BC 所成角的大小.

[解析] 如图,取 BD 的中点 M,连接 EM、FM.

5

1 1 因为 E、 F 分别是 AB、 CD 的中点, 所以 EM 綊 AD, FM 綊 BC, 则∠EMF 或其补角就是异面直线 AD、 2 2 BC 所成的角. AD=BC=2,所以 EM=MF=1, 在等腰△MEF 中,过点 M,作 MH⊥EF 于 H, 1 3 在 Rt△MHE 中,EM=1,EH= EF= , 2 2 则 sin∠EMH= 3 ,于是∠EMH=60° , 2

则∠EMF=2∠FMH=120° . 所以异面直线 AD、BC 所成的角为∠EMF 的补角,即异面直线 AD、BC 所成的角为 60° . 8. 如图, 两个三角形 ABC 和 A′B′C′的对应顶点的连线 AA′, BB′, AO BO CO 2 一点 O,且 = = = . OA′ OB′ OC′ 3 (1)求证:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′; (2)求 S△ABC 的值. S△A′B′C′ CC′交于 同

[分析] 用平面几何知识可以证明两条直线平行;用等角定理可以证明两个角相等,从而可以证明两个三角形 相似. AO BO 2 [解析] (1)证明: 因为 AA′与 BB′交于点 O, 且 = = , 所以 AB∥A′B′.同理 AC∥A′C′, OA′ OB′ 3 BC∥B′C′. (2)解:因为 A′B′∥AB,AC∥A′C′,且 AB 和 A′B′,AC 和 A′C′方向相反. 所以∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′,所以△ABC∽△A′B′C′, 且 AB AO 2 = = . A′B′ OA′ 3

S△ABC 2 4 所以 =( )2= . 3 9 S△A′B′C′ [点评] 空间等角定理是空间几何体中衡量角的关系的依据,考查时方向有二:一是直接利用定理判断角的 关系;二是利用角的相等证明三角形相似.解答时要注意角的两边是否平行及角的方向,其中方向容易被 忽略,证明时要特别注意回答时要作出说明.

6

7


相关文章:
高二年级名校尖子生培优计划
高二年级名校尖子生培优计划(讨论稿) ——冲击清华、北大刘永军 前言: 根据我校在全市高中的地位以往各届升入清华北大等 名校的状况, 我校尖子生的定位理应是...
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析...
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之函数探讨函数的综合问题1 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。九、函数的综合问题:典型例题: 例 1.设函数...
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析...
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之函数探讨函数的单调性、周期性、奇偶性问题_数学_高中教育_教育专区。第 16 讲:高频考点分析之函数探讨 1...
更多相关标签: