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坐标轴的平移


坐标平移

如图
(x-3)2+(y-4)2=25
y

(3,4)

O

'
x

如图
(x-3)2+(y-4)2=25
y'

y

(3,4)
O

x'

'
x

如图
(x-3)2+(y-4)2=25
y'

(3,4)
O

'

x'

(x-3)2+(y-4)2=25

x ' 2+y ' 2=25

如图
x ' 2+y ' 2=25
y
y'

(x-3)2+(y-4)2=25
(3,4)
O

x'

'
x

定义:坐标轴的方向和长度都不变,只改变原
注:1、坐标轴的平移不改变坐标轴的方向和长度单位; 2、坐标轴平移不改变曲线的大小和形状,只改变曲线 上点的坐标和曲线的方程; 3、坐标轴平移可以把对称轴平行于坐标轴的圆锥曲

点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移。 简称移轴。

线的方程化为标准方程形式,有利于研究曲线的性质;

4、新坐标系原点位置的选定是化简曲线方程的关键。

新旧坐标系之间点的坐标存在什么样的关系呢?

例1 、如图,把原点移到O’(3,-4)
(1)求各点的新坐标:A(6,2)、 (-3,-2)
y 解:设新坐标为
2 -3 6

B

y' A(6,2) o
6

(x′ ,y ′)
B(-3,-2)

x

-2

则 A(3,6) B(-6,2)

o'

3

x'

例1 、如图,把原点移到O '(3,-4) (2)若点D(x,y),则它的新坐标D( x ',y ' ) 是什么?
y 略解: y'
D(x,y)

x ' =x-3,

y ' =y-4

o

D(x-3, y-4) o' x'

x

例1 、如图,把原点移到O '(3,-4)
(3)若把O '(3,-4)改为O’(h,k), 那么点D(x,y) 的新坐标D ' ( x ' ,y ' )是什么? y y'

D(x ',y ' ) D(x,y)

o

x o' x'

略解:

x ' =x-h,

y ' =y-k

D(x-h, y-k)

平移公式
?x ? x ? h ? ' ?y ? y?k
'

(x,y) 是点在原坐标系中的坐标

(x ’,y ’ )是点在新坐标系中的坐标
(h,k)是新坐标系中的原点的坐标

练习:

平移公式 1、如图,把原点O移到O ' (3,-4), x ' =x-h, 求各点的新坐标: y ' =y-k
A(3,-2)B(6,2)C(-3,-2) 解: x ' =x-h, y ' =y-k
h=3,k=-4 则x ' =3-3=0, y ' =-2+4=2 即A ' (0,2)同理得
C O x A
O'

y y' B

B ' (3,6)C ' (-6,2)
2、点M的坐标为(x+2,y-1),经过 移轴变为(x,y)问新坐标系原点 坐标是: (2,-1)

x'

例2:平移坐标轴,把原点移到O ' (2,-1),
( x ? 2)2 ( y ? 1)2 ? ? 1 关于新坐标系的方程: Y 4 9 y'

x' y' ? ?1 4 9

2

2

o x
O '(2,-1)

x'

(2)经过怎样的平移变换,可把抛物线方
程 (y+3)2=4(x+1) 化为最简形式?
解:令x ' =x+1,y ' =y+3
原方程可化简为y ' 2=4x '
y' y

(y+3)2=4(x+1) o
x

由平移公式
x=x ' -1, y=y ' -3 可知新系原点在原系中坐 标为(-1,-3),即把坐标 系平移到O '(-1,-3)
O'

x'

y ' 2=4x '

1、抛物线y=x2-2x-1的顶点坐标是( ) (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2)

( y ? 1) 2 2 2.双曲线x ? ? 1的右焦点的坐标是 3
(A)(2,0) (C)(2,1) (B)(0,2) (D)(-2,1)

已知抛物线y2=a(x+1)的准线 方程是x = -3,试确定此抛物线 的方程及其焦点坐标。

例3:已知ΔABC周长为16,且点A、C的坐标 为A(-5,3),C(1,3),求点B的轨迹方程。
y

分析:如图AC=6,AB+BC=10, 即点B到A,C的距离之和为10,

B(x,y)

所以点B的轨迹是以A,C为两 焦点,10为长轴的椭圆。但 A,B,C三点不能共线。

A(-5,3) o

C(1,3) x

例3:已知ΔABC周长为16,且点A、C的坐标 为A(-5,3),C(1,3),求点B的轨迹方程。

分析:如图AC=6,AB+BC=10, 即点B到A,C的距离之和为10, 所以点B的轨迹是以A,C为两 焦点,10为长轴的椭圆。但 A,B,C三点不能共线。
该椭圆的标准方程是:

y'
y B(x,y)

C(1,3) A(-5,3)

o' o

x

x '2 y '2 25 +16 =1 ( y ' ≠ 0)

x

例3:已知ΔABC周长为16,且点A、C的坐标 为A(-5,3),C(1,3),求点B的轨迹方程。 分析:如图AC=6,AB+BC=10, 即点B到A,C的距离之和为10, 所以点B的轨迹是以A,C为两
y B(x,y)

焦点,10为长轴的椭圆。但 A,B,C三点不能共线。
该椭圆的标准方程是

C(1,3) A(-5,3) o x

x '2 y '2 25 + 16 =1 ( y ' ≠ 0) 因为O ' (-2,3),所以在原系中方程为 (x+2)2 (y-3)2 =1 ( y ≠ 3) + 25 16

小结
1、坐标轴平移的特征和作用;
2、坐标平移公式; 3、化简曲线方程;

4、利用条件求解曲线方程。


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