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高中数学必修1,2,4,5基础知识整理


必修 1 数学基础知识
第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、 互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、 常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数集合:Z,有理数集合:Q,实数集合:R. 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,则 称集合 A 是集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集.记 作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作: ? .并规定:空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记 作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记 作: A ? B . 3、全集、补集? §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一 个数 x , 在集合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应, 那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作: y ? f ?x ?, x ? A . 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并 且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、 注意函数单调性证明的一般格式: 解:设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 ,则: f ?x1 ? ? f ?x2 ? =…
-1n

§1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称 函数 f ?x ? 为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就 称函数 f ?x ? 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.

第二章、基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根。其中 n ? 1, n ? N ? .
n

2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ; 当 n 为偶数时, a ? a .
n n

3、 我们规定: ⑴a
n m

? m an
*

?a ? 0, m, n ? N
⑵a
?n

,m ?1 ;

?

?

1 ?n ? 0? ; an

4、 运算性质: ⑴ a r a s ? a r ?s ?a ? 0, r, s ? Q? ; ⑵ ar

? ?

s

? a rs ?a ? 0, r , s ? Q? ;

⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .
r

§2.1.2、指数函数及其性质 1、 记住图象: y ? a ?a ? 0, a ? 1?
x

-2-

§2.2.1、对数与对数运算 1、 a x ? N ? loga N ? x ; 2、 a
loga N

? a.

3、 loga 1 ? 0 , loga a ? 1 . 4、当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴ loga ?MN ? ? loga M ? loga N ; ⑵ loga ?

?M ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?

⑶ loga M n ? n loga M . 5、换底公式: loga b ?

logc b logc a

?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .
6、 loga b ?

1 logb a

?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? .
§2..2.2、对数函数及其性质 1、 记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1?

§2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:
-3-

第三章、函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根

? 函数 y ? f ?x ?的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ?x ?有零点.
2 、 性质:如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

f ?a? ? f ?b? ? 0 ,那么,函数 y ? f ?x ?在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? ,使
得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函数拟合,最后检验.

必修 4 数学基础知识
第一章、三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.
-4-

§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 2、 ? ?

l . r

3、弧长公式: l ?

n?R ? ? R. 180

4、扇形面积公式: S ?

n?R 2 1 ? lR . 360 2

§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P?x, y ?,那么:

sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ?

y . x
2 2 x0 ? y0 )

2、 设点 A?x0 , y0 ? 为角 ? 终边上任意一点,那么: (设 r ?

sin ??

y0 x y , cos? ? 0 , tan? ? 0 . r r x0

3、 sin ? , cos? , tan ? 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一:

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .
5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270°的三角函数值.

?
cos? tan ?
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .
2 2

? 6

? 4

? 3

sin ?

2、 商数关系: tan ? ?

sin ? . cos ?

-5-

§1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二:

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
2、诱导公式三:

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
3、诱导公式四:

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .
4、诱导公式五:

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
5、诱导公式六:

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、 能够对照图象讲出正弦、 余弦函数的相关 性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、 对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图. §1.4.2、正弦、余弦函数的性质 1、 周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存 在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每

-6-

一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ? ,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做 这个函数的周期. §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:

2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、 周期性. §1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ?的图象 1、 能够讲出函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? A sin ??x ? ? ? ? b 的图象之间的平移伸缩变 换关系. 2、 对于函数: 振幅 A, 周期 T ? y ? A sin??x ? ? ? ? b? A ? 0, ? ? 0? 有: 频率 f ?
1 T

2?

?

, 初相 ? , 相位 ?x ? ? ,

?

2?

?

.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第二章、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫 做零向量;长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量 平行. §2.1.3、相等向量与共线向量
-7-

1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则. 2、 a ? b ≤ a ? b . §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. §2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的 长度和方向规定如下: ⑴

?a ? ? a ,

⑵当 ? ? 0 时 , 反.

? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相

2、 平面向量共线定理: 向量 a a ? 0 与 b 共线, 当且仅当有唯一一个实数 ? , 使b ? ?a . §2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? , ⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:
-8-

?

?

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则

? ⑵△ABC 的重心坐标为 ?
⑴线段 AB 中点坐标为 1、 a ? b ? a b cos? .

x1 ? x2 2

y2 , , y1 ? 2

?

x1 ? x2 ? x3 3

, y1 ? y32 ? y3 .

?

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a . 4、 a ?
2 2

a .

2

5、 a ? b ? a ? b ? 0 . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵a ?

x12 ? y12

⑶ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .

§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 1、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ?
-9-

2、记住 15°的三角函数值:

?
? 12

sin ?
6? 2 4

cos?
6? 2 4

tan ?

2? 3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 3、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 4、 tan?? ? ? ? ? 1?tan? tan ? .
tan? ? tan ?

5、 tan?? ? ? ? ? 1?tan? tan ? .
tan? ?tan ?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos? ? 1 . 2 sin 2? 2、 cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ,
2? 变形 1: cos2 ? ? 1?cos , 2 2? 变形 2: sin 2 ? ? 1?cos . 2

3、 tan2? ? 2 tan2? . 1?tan ? §3.2、简单的三角恒等变换 1、注意正切化弦、平方降次.

必修 5 和必修 2 数学基础知识
必修 5: 第一章:解三角形 1、正弦定理:
- 10 -

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
2、余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC. b2 ? c2 ? a2 , 2bc a2 ? c2 ? b2 cos B ? , 2ac a2 ? b2 ? c2 cosC ? . 2ab cos A ?
3、三角形面积公式:

S ?ABC ?

1 1 ab sin C ? bc sin A 2 2 1 ? ac sin B 2

第二章:数列 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

,当n ? 1时, ? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1 ,当n ? 1时.
2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等差数列。 ⑵通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ⑶求和公式:

S n ? na1 ?

?a ? a n ?n n?n ? 1? d? 1 2 2

3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等比数列。 ⑵通项公式: an ? a1q
n?1

- 11 -

⑶求和公式: S n ? 第三章:不等式 1、

a1 ? a n q a1 1 ? q n ? 1? q 1? q

?

?

当a, b ? 0时,a ? b ? 2 ab

?当且仅当a ? b时取等号?

2、

当a, b ? R时,a 2 ? b 2 ? 2ab

?当且仅当a ? b时取等号?
2

a2 ? b2 ?a?b? 3、变形: ab ? ? ? , ab ? 2 ? 2 ?
必修 2: 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,
由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台: 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分, 这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线 照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l

- 12 -

⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷体积公式:

1 V柱体 ? S ? h ; V锥体 ? S ? h ; 3 1 V台体 ? S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 h 3

?

?

⑸球的表面积和体积:

4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 . 3
第二章:点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 ⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 ⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 ⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。 ⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
- 13 -

第三章:直线与方程 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b

y 2 ? y1 x2 ? x1

⑶两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

⑷一般式: Ax ? By ? C ? 0 3、对于直线:

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有:
⑴ l1 // l 2 ? ?

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k 2 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑷ l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 . 4、对于直线:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
⑴ l1 // l 2 ? ?

有:

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C 2 ? B2 C1

⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C2 ? B2 C1
- 14 -

⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 5、两点间距离公式:

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2

6、点到直线距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 2、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

- 15 -


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