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湖北省武穴中学2014届高三4月摸底考试数学理试卷 (1)


湖北省武穴中学 2014 届高三 4 月摸底考试数学理试卷 第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的 3?i 1.已知 i 是虚数单位,则 =( ) 1? i A. 1 ? 2i B. 2 ? i C. 2 ? i D. 1 ? 2i x ? 0} , B ? {x | x 2 ? 2 x} ,则 A B ? ( ). 2.若集合 A ? {x | x ?1 A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1} 3.以下判断正确的是 ( ) A .函数 y ? f ( x) 为 R 上可导函数,则 f ' ( x0 ) ? 0 是 x0 为函数 f ( x) 极值点的充要条件.
B .命题“ 存在x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ”的否定是“ 任意x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ”. C .命题“在 ?ABC 中,若 A ? B, 则sin A ? sin B ”的逆命题为假命题.
D .“ b ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 是偶函数”的充要条件.

4. 设偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? ( ) A. {x | x ? ?2或x ? 4} B. {x | x ? 0或x ? 4} C. {x | x ? 0或x ? 6} D. {x | x ? ?2或x ? 2} 5. 下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 {an } 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;

p2 : 数列?nan ?是递增数列;

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n? 题为 ( ) A. p1 , p2 B. p3 , p4

其中的真命 p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列; C. p2 , p3 D. p1 , p4

6. 某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 ? 7.右图是函数 y=Asin(ωx+φ)( A ? 0,? ? 0 , | ? |? )图像的一部分.为 2 了得到这个函数的图像,只要将 y = sin x(x ∈ R) 的图像上所有的点 ( ) π 1 A .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐 3 2 标不变. π B .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 3 纵坐标不变. π 1 C .向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐 6 2 标不变.
D .向左平移 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变.
π 6

8.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 A, B 在抛物线上,且 ?AFB ? π ,弦 AB 中点 M 在准线 l 上的射 影为 M ?, 则 | MM ? | 的最大值为(
| AB |

2 3

) C. 3
2 3

A. 3

4 3

B.

3 3

D. 3

·1·

9.一个棱锥的三视图如上图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为( ) A.48+12 2 B.48+24 2 C.36+12 2 D.36+24 2

y

10.右图可能是下列哪个函数的图象( ) 2xsinx x 2 A.y=2 -x -1 B. y = x C.y=(x2-2x)ex 4 +1

o

x

D. y=

x lnx
3 则角 A ? ( cGC ? 0 , 3

a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 11.若 G 是 ?ABC 的重心, 若 aGA ? bGB ?



A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 12.四面体 ABCD 中, AD 与 BC 互相垂直, AD ? 2 BC ? 4 ,且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2 14 ,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 ( ) . A.4 B.2 10 C.5 D. 30

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) .

13.已知 ( x ?

1 2 x

)n 的展开式中前三项的系数成等差数列,则 n =

.

14.航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中,有 5 架歼-15 飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻 着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有 种 ? x ? x ? 1? 15. 方程 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 在区间 ? 0, ? ? 内的所有实根之和为 . (符号 ? x ? 表示不超 ?2 ?2? 2? 过 x 的最大整数) 。 3 ? (?1)n ?1 , n ? N ? ,且 a1 ? 2 , 设数列 {an } 的 16. 若数列 {an } 与 {bn } 满足 bn ?1an ? bn an ?1 ? (?1)n ? 1, bn ? 2 前 n 项和为 Sn ,则 S63 = . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 对边分别是 a、b、c , 满足 2 AB ? AC ? a2 ? (b ? c)2 . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 2 3 cos2
C 4? ? sin( ? B) 的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小. 2 3

·2·

18. (本小题满分 12 分) 生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品, 现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标

?70,76?

?76,82?

?82,88?

?88,94?

?94,100?

8 12 40 32] 8 元件 A 7 18 40 29 6 元件 B (Ⅰ )试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B,若 是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ )的前提下; (i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元的概率; (ii)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学 期望.

19. (本题满分为 12 分)如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, M 为 DC 的中点. 将 ?ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (1)求证: AD ? BM ; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E ? AM ? D 的余弦值为
5 . 5

A

·3·

20. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ,以原点为圆心,椭 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 a b 2 圆短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
2 的直线 l 交曲线 C 于 M 、 N 两点,且 OM ? ON ? OH ? 0 ,又点 2 H 关于原点 O 的对称点为点 G ,试问 M 、 G 、 N 、 H 四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐

(Ⅱ)过右焦点 F 作斜率为 ?

标和半径;若不共圆,请说明理由.

a 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? ( x ? a ) 2 ? , a ? R . 2 1 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 [ , 2] 上单调递增,求实数 a 的取值范围; 2 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值点. (Ⅲ)设 x ? m 为函数 f ( x) 的极小值点, f ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0)( x1 ? x2 ) 两点,
且 0 ? x1 ? x2 ? m , AB 中点为 C( x0 ,0) , 求证: f ?( x0 ) ? 0 . 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.

22. (本小题满分 10 分)选修 4 - 1:证明选讲 已知AB是圆O的直径,C为圆O上一点,CD⊥AB于点D, 弦BE与CD、AC 分别交于点M、N,且MN = MC (1)求证:MN = MB; (2)求证:OC⊥MN。

·4·

23. (本小题满分10分)选修4 - 4:坐标系与参数方程 ? x ? t cos ? 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 ? (t为参数,0 ≤ α < π) 。以原点为 ? y ? 1 ? t sin ? 极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ = 4sinθ。 (1)求直线 l 与曲线C的平面直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线C交于不同的两点A、B,若 | AB |? 8 ,求α的值。

24. (本小题满分10分)选修4 - 5:不等式选讲已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ? 1| 。 (1)当a = 3时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若 f ( x) ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数a的取值范围。

·5·


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