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2.2.3独立重复试验与二项分布(教学设计)


SCH 南极数学同步教学设计

人教 A 版选修 2-3 第二章《随机变量及其分布》

2.2.3 独立重复试验与二项分布(教学设计) 教学目标 知识与技能: 理解 n 次独立重复试验及二项分布模型,会判断一个具体问题是否服从二项分布,培养学生的自主学 习能力、数学建摸能力,并能解决相应的实际问题。 过程与方法: 通过主动探究、自主合作、相互交流,从具体事例中归纳出数学概念,使学生充分体会知识的发现过 程,并渗透由特殊到一般,由具体到抽象的数学思想方法。 情感态度与价值观: 使学生体会数学的理性与严谨,了解数学来源于实际,应用于实际的唯物主义思想,培养学生对新知 识的科学态度,勇于探索和敢于创新的精神。 教学重点:独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。 教学难点:二项分布模型的构建。 教学过程: 一、复习回顾: 1、条件概率:在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率: P( B | A) ?

P( AB) P( A)

2、事件的相互独立性:事件 A 与事件 B 相互独立,则: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立
王新敞
奎屯 新疆

二、创设情景,新课引入: 三个臭皮匠顶个诸葛亮的故事 已知诸葛亮解出问题的概率为 0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为 0.6,老二为 0.6,老三为 0.6,且每个 人必须独立解题,问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较,谁大? 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为

1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.936 ? 0.8
三、师生互动,新课讲解: 1、分析下面的试验,它们有什么共同特点? (1)投掷一个骰子投掷 5 次; (2)某人射击 1 次,击中目标的概率是 0.8,他射击 10 次; (3)实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停 止比赛); (4)抛硬币实验。 在研究随机现象时,经常需要在相同的条件下重复做大量试验来发现规律。例如掷硬币结果的规律, 需要做大量的掷硬币试验。显然,在 n 次重复掷硬币的过程中,各次试验的结果都不会受其他试验结果的 影响,即 P(A1A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An). (1) 其中 Ai = (i ? 1,2,...,n) 是第 i 次试验的结果。 2、 引入概念 一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验。
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在 n 次独立重复试验中, “在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响,即(1) 式成立。 探究: 投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为 p,则针尖向下的概率 q=1-p。连续掷一枚图钉 3 次,仅出现 1 次针尖向上的概率为多少? 连续掷一枚图钉 3 次,就是做 3 次独立重复试验.用 Ai (i ? 1,2,3) 表示事件“第 i 次掷得针尖向上” , 用 B1 表示事件“仅出现一次针尖向上” ,则

B1 ? ( A1 A2 A3 ) ? ( A1 A2 A3 ) ? ( A1 A2 A1)
由于事件 A 1A 2A 3, A 1A 2A 3和A 1A 2A 3 彼此互斥,由概率加法公式得

P(B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) = q2 p ? q2 p ? q2 p ? 3q2 p .
因此,连续掷一枚图钉 3 次,仅出现 1 次针尖向上的概率是 3q 2 p . 思考: 上面我们利用掷 1 次图钉,针尖向上的概率为 p,求出了连续掷 3 次图钉,仅出现 1 次针尖向上的概 率.类似的,连续掷 3 次图钉,出现 k(k=0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少?你能发现其中的规律吗? 用 Bk (k ? 0,1,2,3) 表示事件“连续掷一枚图钉 3 次,出现 k 次针尖向上” 。类似于前面的讨论,可以 得到

P(B0 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q3 ;
2 P(B1) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3 ) ? P( A 1A 2A 3 ) = 3q p ;

P(B2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3qp2 ;
P(B3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? p3 .
仔细观察上式可以发现
k k 3?k P(Bk ) ? C3 p q , k ? 0,1,2,3 .

一般地, 在 n 次独立重复试验中, 用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p, 则
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k , k ? 0,1,2,...,n

此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率。 3、例题选讲: 例 1(课本 P57 例 4) 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8 ,求这名射手在 10 次射击中, (1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字,可以用计算器) 解:设 X 为击中目标的次数,则 X~B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中,恰有 8 次击中目标的概率为
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8 P (X = 8 ) = C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? 0.30 .

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(2)在 10 次射击中,至少有 8 次击中目标的概率为 P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
8 9 10 C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? C10 ? 0.89 ? (1 ? 0.8)10?9 ? C10 ? 0.810 ? (1 ? 0.8)10?10

? 0.68 .
变式训练 1:某人参加一次考试,若五道题中解对四题则为及格,已知他的解题正确率为 0.6,试求他 能及格的概率.(结果保留四个有效数字) 解:X 为解对的题数,则 X~B(5,0.6)

P ? X ? 4 ? ? P ? X ? 5? ? P ? X ? 4 ? ? 3? ? 3? 5 ?3? ? C5 ? ? ? ? C54 ? ? ? ? ? 1 ? ? ?5? ?5? ? 5? ? 0.3370
4、二项分布与两点分布、超几何分布的区别与联系: ( 1 ) 二 项 分布 : 在 一 次 随机 试 验中 ,某事 件 可 能发 生 也可 能 不发 生 ,在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰 好发生 k 次的概率是
k k n ?k (k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p q ,
5 4

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

k k n?k 由 于 Cn p q 恰好是二项展开式 0 0 n 1 1 n?1 k k n ?k n n 0 (q ? p) n ? Cn p q ? Cn p q ? ? ? Cn p q ? ? ? Cn p q

中 的 各 项的 值 ,所 以 称这 样 的 随机 变 量 ξ 服 从二 项 分 布,
k k n?k 记 作 ξ ~ B ( n , p ) ,其中 n , p 为参数,并记 Cn p q =b(k;n,p).

(2)两点分布是特殊的二项分布: ? ~B(1,p) ξ P 0 1

1? p

p

(3)一个袋中放有 M 个红球,( N ? M )个白球,依次从袋中取 n 个球,记下红球的个数 ? . 1)如果是有放回地取,则 ? ? B( n,

M ) N

2)如果是不放回地取, 则 ? 服从超几何分布.

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k n? k CM CN ?M (k ? 0,1, 2,?, m) (其中 m ? min( M , n) n CN

P (? ? k ) ?

例 2:某产品的次品率 P=0.05,进行重复抽样检查,选取 4 个样品,求其中恰有两个次品的概率和其中至 少有两个次品的概率.(结果保留四个有效数 字) 略解:

变式训练 2:某所气象预报站预报准确率为 80%.则它 5 次预报中恰有 4 次准确率约为多少?(保留两位 有效数字) 解:X 为预报准确的次数,则 X~B(5,0.8)

P ? X ? 4 ? ? C54 p 4 ?1 ? p ?

5? 4

? C54 ? 0.84 ? 0.2

? 5 ? 0.84 ? 0.2 ? 0.41
例 3:实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜 出并停止比赛) . ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率. 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为

1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2
王新敞
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(1)甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜 的概率 P1 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ?
2 2 2

1 2

1 2

1 3 ? . 2 16

(2)记事件 A =“甲打完 3 局才能取胜” ,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , D C 记事件 =“甲打完 5 局才能取胜” .事件 =“按比赛规则甲获胜” ①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜. ∴甲打完 3 局取 胜的概率为 P ( A) ? C3 ( ) ?
3 3

1 2

1 . 8 1 2
2

②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜 1 负. ∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P( B) ? C3 ? ( ) ?
2

1 1 3 ? ? . 2 2 16

③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负.

1 2 1 2 1 3 ? . 2 2 2 16 事件 D =“按比赛规则甲获胜”,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 1 3 3 1 ? ? . 故 P( D) ? P( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ? ? 8 16 16 2
∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C ) ? C4 ? ( ) ? ( ) ?
2

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人教 A 版选修 2-3 第二章《随机变量及其分布》

答:按比赛规则甲获胜的概率为

1 . 2

课堂练习: (课本 P58 练习 NO:1;2;3; ) 四、课堂小结,巩固反思: 1、独立重复试验的概念: 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验。 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p,则
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k , k ? 0,1,2,...,n

此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率。 2、二项分布与两点分布、超几何分布的区别与联系 五、课时必记: 二 项 分 布: 在 一 次 随机 试 验中 ,某事 件 可 能发 生 也可 能 不发 生 ,在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰 好发生 k 次的概率是
k k n ?k (k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p q ,

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

k k n?k 由 于 Cn p q 恰好是二项展开式 0 0 n 1 1 n?1 k k n ?k n n 0 (q ? p) n ? Cn p q ? Cn p q ? ? ? Cn p q ? ? ? Cn p q

中 的 各 项的 值 ,所 以 称这 样 的 随机 变 量 ξ 服 从二 项 分 布,
k k n?k 记 作 ξ ~ B ( n , p ) ,其中 n , p 为参数,并记 Cn p q =b(k;n,p).

六、分层作业: A 组: 1.任意抛掷三枚硬币,恰有 2 枚正面朝上的概率为 ( A. B. C. D. )

【解析】选 B.抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为 ,则抛掷三枚硬币可以看作三次独立重复试验,故恰有 2 枚正面朝上的概率为 P= × = . ,则 P(X=5)等于 D. × = .
5

2.已知随机变量 X 服从二项分布 X~B A. B. C.

(

)

【解析】选 B.P(X=5)=

3.设随机变量ξ ~B(2,p),η ~B(3,p),若 P(ξ ≥1)= ,则 P(η ≥1)=

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【 解 析 】 由 题 意 知 P( ξ <1)=1<1)=1(1-p) =13

=

,即

(1-p) =

2

, 得 p=

, 所 以 P( η ≥ 1)=1-P( η

=

.答案: .

4.某射手每次射击击中目标的概率是 0.8,现连续射击 4 次,则击中目标次数 X 的分布列为 X P

【解析】击中目标的次数 X 服从二项分布 X~B(4,0.8), 所以 P(X=k)= 即 X 的分布列为 X P 0 1 2 3 4 (0.8) (0.2) (k=0,1,2,3,4),
k 4-k

B 组: (必须严格按照答题规范作答) 1、 (课本 P59 习题 2.2 A 组 NO:1)

2、 (课本 P59 习题 2.2 A 组 NO:3)

3、 (课本 P59 习题 2.2

B 组 NO:1)

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