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2011年湖南省高中数学竞赛试卷B卷及答案(高一版)


2011 年湖南省高中数学竞赛试卷 B 卷及答案 一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1、 F ( x) ? (1 ?

2 ) f ( x)( x ? 0)是偶函数,且f ( x)不恒等于零, 则f ( x) 2 ?1
x


r />C



A、是偶函数 B、不是奇函数也不是偶函数 C、是奇函数 D、可能是奇函数也可能是偶函数 2、假设 x、y 都是正数并且成反比,若 x 增加了 a% ,则 y 减少了

(

D )

( A)

a 0 0 1? a

( B)

100 0 0 a

(C )

a 0 0 100 ? a

( D)

100a 0 0 100 ? a
( C )

3、 若方程 x ?

则实数 k 的取值范围是 x ? k 有两个不相等的实根,

( A)k ? 0

(B)k<

1 4

(C)0 ? k<

1 4

(D)k ?

1 4
( 1 ( B ) B )

4、函数 f ( x) ? x | x | ?2 3x ? 2的图象与x轴的交点个数为 A、 4 5、已知 B、 3 C、 2 D、

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 ? ? , ? ? , ? ? , 则 ? ? 的值为 x y?z 2 y z?x 3 z x? y 4 x y z
(B) 2 (C)
2

( A)

1

3 2

(D)

5 2

6、若集合 M={1,3,a},N={a ,1}且 M∪N={1,3,a},那么满足条件的 a 的值为 ( D )

( A)

0

(B)

?1

(C)

? 3

(D)

? 3或0
( D )

7、若 log a

3 ? 1, 则a的取值范围是 5 3 3 ( A) ? a ? 1 (B)a ? 5 5

(C)0 ? k ?

3 5

3 (D)0 ? k ? 或a ? 1 5
( A )

8、当 1 ? x ? 3时,函数f ( x) ? 2 x ? 6 x ? c的值域为

? 3 ? ( A) ? f ( ), f (3) ? ? 2 ?

2 ? ? (B)? f (1), f ( ) ? 3 ? ?

(C)? f (1), f (3) ?

(D)?c, f (3) ?

9、设 f(x)是 (??, ??)上的奇函数, 且f ( x ? 2) ? ? f ( x),当0 ? x ? 1时,f ( x) ? x,

则f (7.5) ?

( C

)

( A)

1.5

(B) 0.5

(C) -0.5

(D) -1.5
3

10、如果 x和y是非零实数, 使得 | x | ? y ? 3和 | x | y ? x ? 0, 那么x ? y等于 (

B



( A) 3

(B) 4- 13

(C)

1- 13 2

(D)

13

高中数学竞赛试卷(B) 1(共 4 页)

得分 二、

评卷人 填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分,请将正确答案填在横线上)

11、已知 两点M (1,0), N ? ?3,0? 到直线l的距离分别为1和3, 则满足条件的直线的条数是 6 12、若 p 是质数,且方程 x2 ? px ? 444 p ? 0 的两个实根均为整数,则 p 的值为 13、 函数f ( x) ? 37

x ? 1 ? 25 ? 5x的值域是

[-1,5]

14、已知 x2 ? 2 y 2 ? 1, 则z=3x+2y2的最大值和最小值分别为 三、 得分 15、 解答题(本大题共 5 小题,每小题 66 分,解答要求有必要的过程) 评卷人 (本小题满分 12 分)

对 于 正 整 数 a,b,c(a ≤ b ≤ c) 和 实 数 x,y,z,w, 若 ①

a x ? b y ? c z ? 30w



1 1 1 1 ? ? ? x y z w
试求 a ? b ? c 的值。 解: a ? b ? c ? 30 ,则 a ? 30 , b ? 30 , c ? 30 ,
x y z w
w x

w y

w z

则 lg a ? lg b ? lg c ? lg 30

w x

? lg 30 ? lg 30 z ? w (

w y

w

1 1 1 ? ? ) lg 30 x y z

因为

1 1 1 1 ? ? ? ,所以 lga ? lgb ? lgc ? lg 30 ,故 abc ? 30 。 x y z w

x y z 又 a ? b ? c ? 1 , a ? b ? c ,所以 2 ? a ? b ? c ,(a、b、c∈N+)。

? 30 ? 2 ? 3 ? 5 ,故,a=2,b=3,c=5。
得分 16、 评卷人 (本小题满分 12 分)

设M ? ? x | x 2 ? ax ? b ? 0? , N ? ? x | x 2 ? cx ? 15 ? 0? , 若M
略 得分 评卷人

N={3,5},M

N={3}试求a, b, c

高中数学竞赛试卷(B) 2(共 4 页)

17、

(本小题满分 14 分)

一个直角三角形的两直角边长均为整数,且满足方程 x2 ? (m ? 2) x ? 4m ? 0 ,试求 m 的值 及此直角三角形的三边长。 解: 根据韦达定理,得 ?

? x1 ? x 2 ? m ? 2 且 m ? 2 是整数,所以 m 是正整数。 x x ? 4 m ? 0 ? 1 2

又,根据二次方程根的判别式, 判别式 ? ? (m ? 2) 2 ? 4 ? 4m ? m 2 ? 12m ? 4 是整数, 设 ? ? (m ? 2) 2 ? 4 ? 4m ? m 2 ? 12m ? 4 ? n 2 (n 是正整数,[负数与正数效果是一样 的]) 则有: (m ? 6) ? 32 ? n , 所以 ( (m ? 6) ? n ? 32
2 2 2 2

又因为 m-6+n、m-6-n 奇偶性相同,且 m-6+n>m-6-n 所以 ?

?m ? 6 ? n ? 16 ?m ? 6 ? n ? 8 ?m ? n ? 22 ?m ? n ? 14 或? ,所以 ? 或? ? m ? 6 ? n ? 2 ?m ? 6 ? n ? 4 ? m ? n ? 8 ? m ? n ? 10 ?m ? 15 ?m ? 12 2 2 或? 所以 x ? 17x ? 60 ? 0 或 x ? 14x ? 48 ? 0 ? n?2 ? n?4

所以 ?

所以 x1 ? 5, x 2 ? 12 斜边长=13,m=15 或 x1 ? 6, x 2 ? 8 ,斜边长=10,m=12 答:三边长为 5,12,13,m=15 或三边长为 6,8,10,m=12. 得分 评卷人

18、 (本小题满分 14 分) 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 交于点 E,过点 A 作圆的切线与 CD 的延 长线交 于点 F,如果 DE=

3 CE, AC ? 8 5 ,D 是 EF 的中点,求 AB 的值。 4

解:分别过 C、D 向 AB 作垂线,设垂足分别为 M、N 为方便计算,可设 CE=x,AE=y 由△CEM∽△FEA 可得:AM=AE+EM=y+(2/3)y=(5/3)y AD 为 RT△AEF 的中线,所以 AD=DE=(3/4)x,AN=(1/2)AE=(1/2)y 由射影定理: AC?=AM*AB 即(5/3)y*AB=320.................... AD?=AN*AB 即(1/2)y*AB=(9/16)x?..................② 以上两个方程,3 个未知数,还需补充 1 个:
高中数学竞赛试卷(B) 3(共 4 页)

.①

CM?=CE?-EM?=x?-(4/9)y? CM?=AC?-AM?=320-(25/9)y? 联立以上二式得:x?+(7/3)y?=320...............③ 解 1、2、3 式组成的方程组得:AB=24 得分 19、 评卷人 (本小题满分 14 分)

已知二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图象经过两点 P (1, a ) , Q(2,10a ) ⑴如果 a, b, c 都是整数,且 c ? b ? 8a ,求 a 、 b 、 c 。 ⑵设二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图象经与 x 轴的交点为 A, B ,与 y 轴的交点为 C,如果关 于 x 的方程 x ? bx ? c ? 0 的两个根都是整数,求 ? ABC 的面积。
2

解:点 P(1,a) 、Q(2,10a)在二次函数 y=x2+bx-c 的图象上, 故 1+b-c=a,4+2a-c=10a, 解得 b=9a-3,c=8a-2; (1)由 c<b<8a 知 8a-2<9a-3 9a-3<8a , 解得 1<a<3, 又 a 为整数,所以 a=2,b=9a-3=15,c=8a-2=14; (2)设 m,n 是方程的两个整数根,且 m≤n. 由根与系数的关系可得 m+n=-b=3-9a,mn=-c=2-8a, 消去 a,得 9mn-8(m+n)=-6, 两边同时乘以 9,得 81mn-72(m+n)=-54,分解因式,得(9m-8) (9n-8)=10. 所 以 9m-8=1 9n-8=10 或 9m-8=-10 9n-8=-1 或 9m-8=-5 9n-8=-2 或 9m-8=2 9n-8=5 , 解得 m=1 n=2 或 m=-2 9 n=7 9 或 m=1 93 n=2 3 或 m=10 9 n=13 9 ; 又∵m,n 是整数,所以后面三组解舍去, 故 m=1,n=2. 因此,b=-(m+n)=-3,c=-mn=-2, 二次函数的解析式为 y=x2-3x+2. 易求得点 A、B 的坐标为(1,0)和(2,0) ,点 C 的坐标为(0,2) , 所以△ABC 的面积为 1 2 ×(2-1)×2=1.

高中数学竞赛试卷(B) 4(共 4 页)


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