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高中数学 创意(一)重点难点突破课件 新人教A版必修1


下篇

专项导学部分

创意(一)

重点难点突破

二次函数在闭区间上的最值
二次函数的区间最值问题,一般有三种情况:(1)对称轴、 区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,

区间变动.解决这类问题的思路是:抓住“三点一轴”数形
结合,

三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴, 结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完 成. 对于(2)、(3)类,通常要分对称轴在区间内、对称轴在区

间外两大类情况进行讨论.

典例展示:函数f(x)=x2-2ax+1在闭区间[-1,1]上的最小值

记为g(a).
(1)求g(a)的解析式; (2)求g(a)的最大值. [思路分析] 画出草图,借助几何图形的直观性,分a>1,

-1≤a≤1,a<-1三种情况讨论.



(1)函数f(x)可化为f(x)=(x-a)2+1-a2,其图象的对称

轴x=a与所给区间[-1,1]呈现出如下图所示的三种位置关
系.

结合图形分析如下:
①当a>1时,f(x)在[-1,1]上为减函数,故g(a)=f(1)=2-2a; ②当-1≤a≤1时,g(a)=f(a)=1-a2;

③当a<-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数, 故g(a)=f(-1)=2+2a. ?2-2a,a>1, ? 2 综上所述,g(a)=?1-a ,-1≤a≤1, ?2+2a,a<-1. ? (2)当a>1或a<-1时,均有g(a)<0;当-1≤a≤1时,g(a)≤g(0) =1,所以g(a)的最大值是1.

反思感悟

(1)研究二次函数在闭区间上的最值问题,先“定

性”(作草图)再“定量”(看着图形求解),事半功倍,借助 图形,清晰直观. (2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在闭区间[m,n]上最值的 求法:①若- ∈[m,n],则f 为函数f(x)的一个

最值,另一个最值为f(m)或f(n);②若-

?[m,n],则

f(x)在[m,n]上为单调函数,f(m)和f(n)为函数f(x)的两个最 值.

[补偿训练1]

设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1](t≥0),求

函数f(x)的最小值. 解 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1](t≥0),

∴f(x)图象对称轴x=1. (1)当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时, f(x)的最小值为f(1)=1. (2)当t>1时,区间[t,t+1]在直线x=1的右侧, ∴f(x)在x∈[t,t+1]上为增函数,∴f(x)的最小值为f(t)=t2-2t +2.综上知,当0≤t≤1时,f(x)min=1;当t>1时,f(x)min=t2- 2t+2.

函数创新情境新定义问题 函数是创新性问题较为集中的地带,此类问题主要通过
定义新的法则和概念,然后根据新的法则或概念研究函数性 质.解决这类问题关键在于对新概念、法则的准确理解.
典例展示: (2012· 福建高考)对于实数 a 和 b, 定义运算“*”: a*b
?a2-ab,a≤b, ? =? 2 ?b -ab,a>b. ?

设 f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于 x 的方程

f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1, 2, 3, x1x2x3 x x 则 的取值范围是________.

[思路分析]

依据新定义,求出函数f(x)的解析式,数形结合,

将方程的实根转为化函数图象的交点问题,进而求x1x2x3的 取值范围.
??2x-1?x,x≤0, ? 由定义知f(x)=? ?-?x-1?x,x>0. ?

解析

作出f(x)的图象,如图所示. 1 根据函数的图象与性质,当0<m< 时, 4 方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的 实根. 不妨设x1<x2<x3,易知x2>0,且x2+x3=1,

∵x2x3=x2(1-x2)=-x2+x2 2
? 1? 12 1 1 ?0, ?.∴x2x3< . =-(x2- ) + ,x2∈ 2? 2 4 4 ?

1 ? ??2x-1?x= , 1- 3 1- 3 4 令? 得x= .∴ <x1<0. 4 4 ?x<0, ? 1- 3 故 <x1x2x3<0. 16
?1- ? 所以x1x2x3的取值范围是? ? 16

3

? ? ,0?. ?

答案

?1- ? ? 16 ?

3

? ? ,0? ?

反思感悟

1.新定义问题求解的关键是读懂定义的意义,并

将其运用到新的情境中,从中提取有效信息,注意特殊值的
选取,要有利于定性说明问题及便于推理运算. 2.根据运算“*”的规定把分段函数与方程、不等式有机地结 合在一起,其实质是研究分段函数的图象和性质,综合考查 二次函数的图象、对称性、单调性、方程的根与函数零点、

不等式的基本性质等基础知识.

[补偿训练2]对实数a和b,定义运算“?”:a?b=
?a,a-b≤1, ? ? ?b,a-b>1. ?

设函数f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函数y=

f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是 ( A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,2] B.(-2,-1]∪(1,2] D.[-2,-1] ).

解析

由(x2-2)-(x-1)≤1,

得-1≤x≤2, ∴当x>2或x<-1时,(x2-2)-(x-1)>1,
?x2-2,-1≤x≤2, ? ∴f(x)=? ?x-1,x>2或x<-1. ?

作出其图象如图所示. ∵函数y=f(x)-c与x轴有两个公共点,∴y=f(x)与y=c的图象 恰有两个公共点, 由数形结合知,实数c满足-2<c≤-1或1<c≤2.

答案

B

定号(点)法巧解函数图象变换问题
函数图象的识别与应用一直是高考的重点,求解此类问 题,一般思路是根据函数的性质,结合图象的平移、翻折 (对称)变换进行具体分析判断,如果注意到近年图象识别以

选择题的形式呈现,若抓住函数图象上的特殊点或函数在各
个区间内函数值的符号,可快速准确作出图象判定.

典例展示:(2012·湖北高考)已知定义在
区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如右图 所示,则y=-f(2-x)的图象为 ( ).

[思路分析]

该题是根据已知函数的图象判断另一个函数的

图象,显然考查的重点就是函数图象的平移与翻折变换,但
该函数的图象变换要经过两个对称和一个平移,如果从这个 方面来判断,掌握不好平移与翻折过程中发生的变化就很容 易出错,我们可以根据两个函数图象上点的对应关系,利用 特殊点的函数值及其符号来判断函数的图象.

解析

设g(x)=-f(2-x),由y=f(x)的图象知f(1)=1.令2-x

= 1 , 得 x = 1 , ∴ g(1) = - f(1) = - 1 , 从 而 知 A , C 不 正
确.又由y=f(x)图象知f(0)=0. 令2-x=0,得x=2, 故g(2)=-f(0)=0.排除D,应选B. 答案 B

反思感悟

(1)确定函数图象中的定点或找到有信息价值的特

殊点,明确给出函数与已知函数、或基本初等函数之间的关
系与不同,灵活赋值,准确利用符号运算法则进行判断. (2)熟练掌握一些基本初等函数的性质,如y=ax(a>0,且a≠1) 恒过定点(0,1),f(x)=log2x,当x∈(0,1)时f(x)<0;当x∈(1, +∞)时,f(x)>0.注意一些二次函数与基本初等函数乘积形式

的函数,如g(x)=(x2-1)ln x类型的函数,要抓住函数值的符
号来确定函数的图象.显然,当x∈(0,1)时,x2 -1<0,ln

x<0,故g(x)>0;同理当x∈(1,+∞)时,g(x)>0.

[补偿训练3] 致是

?1? 函数y=?2?x+1的图象关于直线y=x对称的图象大 ? ?

(

).

解析 函数y=

?1? ? ? x+1的图象过点(0,2),且呈下降趋势,故它 ?2?

关于直线y=x对称的图象过点(2,0),且呈下降趋势. 答案 A

利用模型函数巧解抽象函数问题 函数部分有一类抽象函数问题,它给定函数f(x)的某些性 质,要证明它的其他性质,或利用这些性质解一些不等式或

方程.这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”,
若能分析猜测出这个模型函数,联想这个函数的其他性质来 思考解题方法,那么这类问题就能简单获解.

典例展示1:已知函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x)+f(y)=

f(x+y)+2,当x>0时有f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a-2)<3
的解集. [思路分析] 由已知条件可猜测f(x)是一次函数f(x)=x+1的抽 象函数,f(x)应是单调递增的函数,由此,我们就能将题目 中不等式的函数符号脱去,从而化“隐”为“显”,顺利求

解.



设x1,x2是R上任意两个值,且x1<x2,则x2-x1>0.

∵当x>0时有f(x)>2,∴f(x2-x1)>2,
又f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-2, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-2>0,即f(x2)>f(x1), ∴f(x)为R上的增函数. 又f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=3f(1)-4,

且f(3)=5.∴f(1)=3,
∴不等式f(a-2)<3可化为f(a-2)<f(1), 又f(x)为R上的增函数,∴a-2<1,解得a<3. 故不等式f(a-2)<3的解集是{a|a<3}.

反思感悟

1.从函数方程联想到一次函数模型,从而为解题

明确了前进的方向.
2.求解要抓住两点:一是赋值,由f(3)=5,得f(1)=3;二是 x>0时,f(x)>2的灵活应用,尽可能地将目标向f(x2-x1)转化.

[补偿训练4]已知函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)=f(x)
+f(y),且当x>0时有f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在[-2,1]上 的最值. 解 设x1 ,x2 是R上任意两个值,且x1<x2 ,则x2 -x1>0,∵

当x>0时有f(x)>0,∴f(x2-x1)>0. 又对任意实数x,y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y), 令x=y=0,则由f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0;

再令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.

∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,即

f(x2)>f(x1),∴f(x)为R上的增函数.
又f(-2)=f(-1-1)=2f(-1)=-4,f(1)=-f(-1)=2, ∴当x∈[-2,1]时,f(x)的最大值为f(1)=2,f(x)的最小值为 f(-2)=-4.

典例展示2: 设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满

足f(xy)=f(x)+f(y).若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求实数a
的取值范围. [思路分析] 由条件猜想f(x)是对数函数y=logax(a>0,且a≠1) 的抽象函数,类比对数的运算法则和函数的单调性去掉符号 “f”,即得到关于a的不等式(组),求解该不等式(组),即得

实数a的取值范围.



因为f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1,

∴2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(9). 又f(a)>f(a-1)+2,所以f(a)>f(a-1)+f(9),再由f(xy)=f(x)+ f(y),可知f(a)>f[9(a-1)]. 因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, ?a>0 ? ? 9 从而 ?9?a-1?>0,解得1<a<8. ? ?a>9?a-1? ? 9 1<a< . 8

故所求实数a的取值范围为

反思感悟

1.(1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关

键之处.(2)本题是增函数概念“若任意x1<x2,则f(x1)<f(x2)” 的逆用.利用这个性质可以去掉函数的符号“f”,从而使问题 得以解决. 2.解答此类抽象不等式,不仅要注意函数单调性的应用,还 要注意定义域的限制,以保证转化的等价性.如本题中容易 产生漏掉 致错误.
?a>0, ? ? ?9?a-1?>0, ?

而是直接利用单调性得出a>9(a-1)导

3.从条件中猜想模型函数,以此模型函数为桥梁,找出证
明抽象函数其他性质的方法.常见的抽象函数的性质与对应 的特殊模型函数的对照表如下:

抽象函数的性质

特殊模型函数

①f(x+y)=f(x)+f(y)(x>0,y>0); 正比例函数f(x)= ②f(x-y)=f(x)-f(y)(x>0,y>0) ①f(x)f(y)=f(x+y)(x,y∈R); kx(k≠0) 指数函数f(x)=ax

f?x? ② =f(x-y)(x,y∈R,f(y)≠0) (a>0,且a≠1) f?y? ①f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0); x ②f(y)=f(x)-f(y)(x>0,y>0) 对数函数 f(x)=logax (a>0,且a≠1)

[补偿训练5]

设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,

恒有f(m+n)=f(m)· f(n),且当x>0时,0<f(x)<1. (1)求证:f(0)=1,且当x<0时,有f(x)>1; (2)判断f(x)在R上的单调性. 证明 (1)由题意知f(m+n)=f(m)· f(n),

令m=1,n=0,则f(1)=f(1)· f(0), 因为当x>0时,0<f(x)<1,所以f(0)=1. 设m=x<0,n=-x>0,则f(0)=f(x)· f(-x), f?0? 1 所以f(x)= = >1. f?-x? f?-x? 即当x<0时,有f(x)>1.

(2)设x1 ,x2 是R上任意两个值,且x1<x2 ,则f(x1)>0,f(x2)>0,

x2-x1>0,所以0<f(x2-x1)<1.
因为f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1], 又f(x1)>0,f(x2-x1)-1<0, 所 以 f(x1)[f(x2 - x1) - 1]<0 , 即 f(x2) - f(x1)<0 , 即

f(x2)<f(x1).所以f(x)在R上单调递减.

图表信息型应用问题 以图表信息为背景的函数应用问题是高考中的一道亮丽的风 景线,这类问题是由图表给出数据信息,探求变量之间的关

系,再综合应用有关函数知识加以分析,从而解决实际问题
的.

典例展示:某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查

与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图(1),B产
品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2)(注: 利润与投资的单位:万元) (1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品

的生产.
问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,其

最大利润约为多少万元.(精确到1万元)

[思路分析]

从给出的函数图象形状及特殊点确定函数的对

应关系,进而建立函数模型求出最大利润.



(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利

润为g(x)万元,设f(x)=k1x,g(x)= 1 5 1 5 由题图形知f(1)= ,g(4)= ,∴k1= ,k2= , 4 2 4 4 1 ∴f(x)= x(x≥0),g(x)= 4 (x≥0).

(2)设投入A产品x万元,则投入B产品(10-x)万元,设企业利 润为y万元,则有: x 5 y=f(x)+g(10-x)= + 4 4 令 =t, (0≤x≤10),

10-t2 5 1? 5?2 65 则y= + t=- ?t-2? + (0≤t≤ 10), 4 4 4? 16 ? 5 65 25 当t= 时,ymax= ≈4,此时x=10- =3.75, 2 16 4 故当投入A产品3.75万元,投入B产品6.25万元时,企业获得利 润最大且最大利润约为4万元.

反思感悟

函数的图象便于观察研究函数的变化趋势,根据

函数的图象易于确定函数的类型;准确识图、用图是解决图
表信息型问题的关键.

[补偿训练6] 某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药 后感觉好多了,中午时他的体温基本正常(正常体温约为37

℃),但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上
不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体 温变化情况的图象是 ( ).

解析

观察选项A中的图象,体温逐渐降低,不符合题意.

选项B中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一

过程.选项D中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”
与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”这一过程. 答案 C


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