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必修2第四章圆与方程练习汇编


圆与方程练习汇编
一、选择题 1. 已知 ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A? ?2,3? , B ? ?2, ?1? , C ? 6, ?1? ,以原点为圆心 的圆与此三角形有唯一的公共点, 则圆的方程为(
2 2 A. x 2 ? y 2 ? 1 B. x2 ? y 2 ? 4 C. x ? y ?

) D. x 2 ? y 2 ?

1或 x 2 ? y 2 ? 37 )

16 5

2.圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 5 关于原点 O(0,0) 对称的圆的方程为( A. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 C. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 5 B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 D. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5

2 2 y ?1 (x , y ) 3. (高考题改编) N 为圆 x ? y ? 1上的一个动点, 平面内动点 M 0 0 满足 0 且

?OMN ? 300 (O 为坐标原点),则动点 M 运动的区域面积为(



8? ?2 3 A. 3

4? ? 3 B. 3

2? ? 3 C. 3

4? ? 3 D. 3

4.方程 ( x ? ? y 2 ? 2 y ? 8 ) x ? y ? 0 表示的曲线为 A.一条线段与一段劣弧 C.一条射线与半圆 5.圆心在曲线 y ? A. C. B.一条射线与一段劣弧 D.一条直线和一个圆

2 ? x ? 0 ? 上,与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切且面积最小的圆的方程为 x
2

? x ? 2? ? x ? 1?

2

? ? y ? 1? ? 5 ? ? y ? 2 ? ? 25
2

B. D.
2 2

? x ? 1? ? x ? 2?

2

? ? y ? 2? ? 5
2

2

2

? ? y ? 1? ? 25
2

6.已知点 P ( x, y ) 为圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 上的一点,则 x ? y 的最大值是
2 2

A. 2

B. 4

C. 9

D.16

7.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 为棱 A1B1 中点,点 Q 在侧面

DCC1D1 内运动,若 ?PBQ ? ?PBD1 ,则动点 Q 的轨迹所在曲线为(



A.直线

B.圆

C.双曲线
1

D.抛物线

8.以 A(?1, 2) , B(5, 6) 为直径端点的圆的方程是( A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 13 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 13



B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 13 D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 13

9.若方程 ( x ? 2 cos? ) 2 ? ( y ? 2 sin? ) 2 ? 1 (0 ? ? ? 2? ) 的任意一组解 ( x, y ) 都满足 不等式 y ?

3 x ,则 ? 的取值范围是( 3
B. ?
2



A. ?

? ? 7? ? , ?6 6 ? ?
2

? 5? 13? ? , ? 12 12 ? ?
2

C. ?

?? ? ,? ?2 ? ?

D. ?

?? ? ,? ?3 ? ?


10.方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ? 1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是( A. a ? ?2或a ?

2 3

B. ?

2 ?a?2 3

C. ?2 ? a ? 0

D. ?2 ? a ?

2 3

11.已知点 A,B,C 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上运动,且 AB ? BC,若点 P 的坐标为(2,0) ,则

??? ? ??? ? ??? ? PA ? PB ? PC 的最大值为
A.6 B.7 C.8 D.9 2 2 12.点 P(4,﹣2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点轨迹方程是( ) 2 2 2 2 A. (x﹣2) +(y+1) =1 B. (x﹣2) +(y+1) =4 2 2 2 2 C. (x+4) +(y﹣2) =1 D. (x+2) +(y﹣1) =1 13.在△ABC 中,若顶点 B、C 的坐标分别是(﹣a,0)和(a,0) ,其中 a>0,G 为△ABC 的重心(三角形三条中线的交点) ,若|AG|=2,则点 G 的轨迹方程是( ) 2 2 2 2 A.x +y =1(y≠0) B.x +y =4(y≠0) 2 2 2 2 2 C.x +y =9(y≠0) D.x +y =a (y≠0) 14.由曲线 y ? x ? 1 与 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 所围成较小扇形的面积是
2

A.

? 4

B.

3? 4

C. ?

D.

3? 2


15. 曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 与直线 y ? k ? x ? 2? ? 4 有两个交点, 则 k 的取值范围是 ( A. (0,

5 ) 12

B. (

5 , ??) 12

C. ( , ]

1 3 3 4

D. (

5 3 , ] 12 4

16.若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 A. [0, ]

y?4 的取值范围为 x?2

4 3

B. [ ,?? )

4 3

C. (??,? ]

4 3

4 D. [? ,0) 3

2 17. y ? kx ? 3 与圆 (x ? 3) ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 M , N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k

的取值范围是 A. ? ? ?,? ? 4

? ?

3? ?

B. ? ?

? 3 ? ,0 ? 4 ? ?

C. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?
2

D. ??

? 2 ? ,0 ? 3 ? ?

18.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 上的动点 P 到直线 y ? ?x 的最小距离为 A. 2 2 ? 1 B. 2 2 C.

2

D. 1

19.已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切, 则圆 C 的方程 A. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 4x ? 0
2 20.若圆 ? x ? 5 ? ? ? y ? 1? ? r ? r ? 0 ? 上有且仅有两点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离 2 2

等于 1, 则实数 r 的取值范围为( A. ? 4,6? B. ?5,7?

) C. ? 4, 6 ? D. ? 5, 7 ?

21.已知 AC , BD 是圆 x2 ? y 2 ? 4 的互相垂直的两条弦,垂足为 M 1, 2 ,则四边形

?

?

ABCD 面积的最大值为 M ,最小值为 N ,则 M ? N 的值为( A. 4 B. 3 C. 2
2 2

) D. 1

22.若直线 l1 : y ? x, l2 : y ? x ? 2 与圆 C : x ? y ? 2mx ? 2ny ? 0 的四个交点把圆 C 分成的四条弧长相等,则 m ? ( ) A.0 或 ?1 B.0 或 1 C.1 或 ?1 D.0 23.已知直线 2mx ? y ? 8m ? 3 ? 0 和圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 相交于 A, B 两点,当 弦 AB 最短时, m 的值为( A. ? ) C.6
2 2

1 6
2 2

B.-6

D.

1 6

24.圆 x ? y ? 2 x ? 8 ? 0 和圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的公共弦所在的直线方程是 ( ) B. x ? y ? 3 ? 0
2 2

A. x ? y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0
2 2

D. x ? y ? 3 ? 0 内切,那么动圆圆心 P

25.动圆 P 和圆 C1: (x+1) +y = 外切和圆 C2: (x﹣2) +y = 和已知两圆的圆心 C1、C2 构成三角形 PC1C2 的周长等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8

二、填空题
26.已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ? x ? 1? ? ? y ? a ? ? 4 相交于 A,B 两点,且
2 2

?ABC 为等边三角形,则实数 a ?
2 2



27.已知圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 ax ? by ? 3 ? 0? a ? 0, b ? 0? 对称,则

1 2 ? 的最小值为 a b



3

28.对于任意实数 k ,直线 (3k ? 2) x ? ky ? 2 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的位置 关系是___________. 29. 若圆 C : x ? y ? r
2 2 2

? r ? 0? 的周长被直线 ?1 ? t 2 ? x ? 2ty ? ?1 ? t 2 ? ? 0 ? t ? R ? 分为

1:3 两部分,则 r 的值是_________. 30 . 经 过 两 圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的 交 点 , 且 圆 心 在 直 线

x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程为
31.过三点 O ? 0,0? , M ?1,1? , N ? 4,2? 的圆的方程为

. 。

32.若直线 ax ? y ? a ? 1 ? 0( a ? R) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点(其中 O 为坐标 原点) ,则 AO?AB 的最小值为_________。 33 . 已 知 圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 8 (ab ? 0) 过 坐 标 原 点 , 则 圆 心 C 到 直 线

???? ??? ?

l:

x y ? ? 1 距离的最小值等于________. b a

34.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 上存在两点关于直线 l : x ? my ? 1 ? 0 对称,经 过点 M (m, m) 作圆 C 的切线,切点为 P ,则 MP ? _____________.
2 35. 已知圆 C : ? x ? a ? ? y ? 1? a ? 0 ? , 过直线 l : 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 上任意一点 P 作圆 C 2

的两条切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,若 ?APB 为锐角,则 a 的取值范围是______.

三、解答题
36.已知实数 x, y 满足方程 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 6 ,求 (1)

y 的最大值与最小值; x

2 2 (2) ( x ? 2) ? y 的最大值与最小值.

3? , 37. 已知以点 C 为圆心的圆经过点 A?0,?1? 和 B?4, 且圆心在直线 3 x ? y ? 15 ? 0 上.
(1)求圆 C 的方程; (2)设点 P 在圆 C 上,求 ?PAB 的面积的最大值.

4

38.已知曲线 C 的方程为: ax2 ? ay 2 ? 2a2 x ? 4 y ? 0 ,其中: a ? 0 且 a 为常数. (1)判断曲线 C 的形状,并说明理由; (2)设曲线 C 分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B(A,B 不同于坐标原点 O) ,试判断 ?AOB 的面积 S 是否为定 值?并证明你的判断; (3)设直线 l: y ? ?2 x ? 4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,且 OM ? ON (O 为坐标 原点) ,求曲线 C 的方程.

39.已知圆心在 x 轴正半轴上的圆 C 与直线 5x ? 12 y ? 21 ? 0 相切,与 y 轴交于 M , N 两点,且 ?MCN ? 120? .

(1)求圆 C 的标准方程; (2)过点 P(0, 2) 的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A, B ,若设点 G 为 ?OAB 的重心, 当 ?MNG 的面积为 3 时,求直线 l 的方程.

40. 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上, 圆心的横坐标是整数, 且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切. (1)求圆的方程; (2)设直线 ax ? y ? 5 ? 0(a ? 0) 与圆相交于 A 、 B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a ,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(?2, 4) ? 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

5

41.已知 ?ABC 的三个顶点坐标分别为 A(?1,0), B(2,3),C(1,2 2 ) ,且定点 P(1,1) . (1)求 ?ABC 的外接圆的标准方程; (2)若过定点 P 的直线与 ?ABC 的外接圆交于 E , F 两点,求弦 EF 中点的轨迹方程.

2 2 42.已知圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 1 和圆 C2 : ? x ? 4 ? ? y ? 4 . 2 2

(1)过点 P ? ?2, ?2? 引圆 C2 的两条割线 l1 和 l2 ,直线 l1 和 l2 被圆 C2 截得的弦的中点分 别为 M , N .求过点 P, M , N , C2 的被圆直线 PC1 所截的弦长; (2) 过圆 C2 上任一点 Q ? x0 , y0 ? 作圆 C1 的两条切线, 设两切线分别与 y 轴交于点 S 和

T ,求线段 ST 长度的取值范围.

6

参考答案 1. D 【解析】 依题意, 直线 AC 的方程为

y ?1 x ? 6 ? , 化为一般式方程,x ? 2 y ? 4 ? 0 . 3 ? 1 ?2 ? 6
的 0
2



O




2

线

x ? 2 y ? ?4


2



d?

?4 5

?

4 5 ?1 5
2





OA ?

? ?2?

? 32 ? 13, OB ?

? ?2? ? ? ?1?

? 5 ,OC ? 62 ? ? ?1? ? 37 .则以

原点为圆心的圆若与三角形 ABC 有唯一的公共点,则公共点为 ? 0, ?1? 或 ? 6, ?1? , 故圆的半 径为 1 或 37 ,则圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1或 x 2 ? y 2 ? 37 .故选 D. 2.C【解析】 圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 5 的圆心为 (?2,0) 关于原点 O(0,0) 的对称点为 (2,0) ,圆

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 5 关于原点 O(0,0) 对称的圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 ,选 C.
? 3. A 【解析】 由题意知当 M 在 x ? y ? 4 上时, 从 M 向 x ? y ? 1 做的切线与 OM 成 60

2

2

2

2

2 2 y ?1 角,所以 M 应在 x ? y ? 4 内,又因为 0 ,所以 M 在直线 AB 上面或在直线 DE 下

面 , 因 此 动 点 M 运 动 的 区 域 面 积 为 两 个 弓 形 ABC 与 DEF 的 面 积 之 和

? 4? ? 8? S ? 2? ? 3? ? ?2 3 ? 3 ? 3 ,故应选 A.
y
4 3

C A
-5 -4 -3 -2 -1

2 1

B O
1 2 3 4 5 6

x

D

-1

E
-2

F
-3 -4

2 2 4.A【解析】由 ( x ? ? y ? 2 y ? 8) x ? y ? 0 得 x ? ? y ? 2 y ? 8 ? 0 或

x ? y ? 0且

?x ? 0 ?x ? 0 ? ? 2 2 2 ? ?2 ? y ? 4 ,由 x ? ? y ? 2y ? 8 ? 0 得 x ? ( y ?1) ? 9( x ? 0) ,又 ? ?2 ? y ? 4 ,所以 ?x ? y ?x ? y ? ? ?x ? 0 ? x ? y ? 0 得 x ? y ? 0 且 ? ?2 ? y ? 4 , 表 示 线 段 , 所 以 ?x ? y ?
7

表示一段劣弧,由

( x ? ? y 2 ? 2 y ? 8) x ? y ? 0 表示线段和一段劣弧.
5. 【解析】 B 由圆心在曲线 y ?

2 ? 2? 设圆心坐标为 ? a, ? , a>0, 又圆与直线 2x+y+1=0 ? x ? 0 ? 上, x ? a?

相切,所以圆心到直线的距离 d=圆的半径 r,由 a>0 得到: d ?

2a ?

2 ?1 4 ?1 a ? ? 5, 5 5

当且仅当 2 a ?

2 即 a=1 时取等号,所以圆心坐标为(1,2) ,圆的半径的最小值为 5,则所 a
2 2

求圆的方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 5 6.D【解析】由圆的方程可知圆心为 ? 3,0 ? ,半径为 1, x 2 ? y 2 可看作点 ? x, y ? , ? 0,0? 距离, 结合图形可知 ? x, y ? , ? 0,0? 距离的最大值 4,所以 x ? y 的最大值是 16
2 2

7.C【解析】易得 BP / / 平面 CC1D1D ,所有满足 ?PBD1 ? ?PBX 的所有点 X 在以 BP 为 轴线,以 BD1 所在直线为母线的圆锥面上,∴点 Q 的轨迹为该圆锥面与平面 CC1D1D 的交 线,而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线,∴点 Q 的轨迹是双曲 线,故选 C. 8.A【解析】AB 的中点(2,4)为圆心,圆的半径为 r ?

1 AB ? 13 ,所以圆的方程为 2

( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 13
9.D【解析】根据题意可得,方程 ( x ? 2 cos? ) ? ( y ? 2 sin? ) ? 1 (0 ? ? ? 2? ) 的任意
2 2







( x, y )













y?

3 x 3









(x ? 2 c ? o) 2 ? s( y ? 2 s ? i) 2 ? n 1 (0 ? ? ? 2? ) 在 y ?

3 x 的左上方或相切,所以 3

? 3 ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 3 ? ? ?? 1 ? ?? ? 1 ? 1 ,? sin ? ? ? ? ? ,? 0 ? ? ? 2? ? ? ? ? , ? ? ,故选 D. ? 1? 6? 2 ? ?3 ? 3 ? ? ? 2sin ? ? 3 ? 2 cos ? 3 ?
10.D【解析】根据圆的方程的一般式能够表示圆的充要条件,得到关于 a 的一元二次不等

8

式,整理成最简单的形式,解一元二次不等式得到 a 的范围,得到结果. 方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ?1 ? 0 表示圆
2 2 2

? a 2 ? 4a 2 ? 4 ? 2a 2 ? a ? 1? ? 0 ? 3a 2 ? 4a ? 4 ? 0, ? (a ? 2)(3a ? 2) ? 0,

??2 ? a ?

2 ,故选 D 3

11.B【解析】由 AB ? BC 可知 AC 过圆心 ? 0, 0 ? ? PA ? PB ? PC ? 2PO ? PB ,结合图形 可知当 B 位于 ? ?1,0? 时 PA ? PB ? PC 取得最大值为 7 12.A【解析】设圆上任意一点为(x1,y1) ,中点为(x,y) ,

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?



代入 x +y =4 得(2x﹣4) +(2y+2) =4,化简得(x﹣2) +(y+1)

2

2

2

2

2

2

=1.故选 A. 13.A【解析】由题意,|OG|=1,即可得出结论. 由题意,|OG|=1, 2 2 设 G(x,y) (y≠0) ,则 x +y =1(y≠0) ,故选:A. 14.C 【解析】在坐标系中画出曲线,一个是半径为 2 的圆,一个是一条折线,围成较小的 面积是圆的面积的四分之一,面积为

1 ? ? ? 22 ? ? ,故选 C. 4

15.D【解析】由题意曲线 y ? 1 ? 4 ? x2 表示的是以 C (0,1) 为圆心半径是 2 的上半圆,直 线 y ? k ( x ? 2) ? 4 是过定点 P(2,4) 的动直线 . 当结合图形可知当动直线经过点 A(?2,1) 时, k ?

| 3 ? 2k | 3 5 4 ? 2 ,解之得 k ? ;当动直线与圆 C 相切时,因 tan ? ? ? ,故 d ? , 4 12 3 1? k 2

所以当

5 3 ? k ? 时,直线与曲线有两个不同的交点,故应选 D. 12 4

9

L:y=k(x-2)+4 y

P(2,4)

A(-2,1)

C(0,1) O

A

x

16 . B 【 解 析 】 令

y?4 =t , 即 t x? y?2 t?4 ?0, 表 示 一 条 直 线 ; 又 方 程 x?2
2 2

,半径 r ? 1 的圆; ( 1,1) x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 可化为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,表示圆心为 由 题 意 直 线 与 圆 有 公 共 点 , ∴ 圆 心( 1,) 1 到 直 线 t x? y?2

t?4 ?0的 距 离

d?

t ? 1 ? 2t ? 4 1? t 2

? r ? 1 ,∴ t ?

4 y?4 4 ,即 的取值范围为 [ , ??) . 3 x?2 3

17.B【解析】圆心(3,2)到直线 y ? kx ? 3 的距离为 d ?
2 所以 MN ? 2 4 ? d ? 2 3 ,即 d?≤1,

3k ? 1 1? k 2



3 (3k ? 1) 2 ? 1 ,解得 ? ? k ? 0 . 则 2 4 1? k
18.A 【解析】由题意得,圆心为( 2,2) ,半径 r=1,由圆心到直线的最小距离公式可得

d?

2?2 2

? 2 2 ,所以圆上动点到直线的最小距离为 2 2 ?1 .

19.D【解析】设圆心 c(a,0) (a>0),则圆的标准方程为: ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 ,由题意圆心 到直线距离等于半径得: d ?

3a ? 4 3 ?4
2 2

? 2 ,解得:a=2.整理得: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .
4 ? 5 ? 3 ?1 ? 2 ? 5 ,当 r ? 4 时,有且只有一点 5

20.C【解析】圆心到直线的距离为: d ?

到 直 线 4x ? 3 y ? 2 ? 0 的 距 离 等 于 1 , 随 着 r 的 增 大 , 当 r ? 6 时 , 有 三 个 点 到 直 线
10

4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离等于 1,所以 4 ? r ? 6 ,
21 . D 【 解 析 】 设 点 O 到 直 线 AC 和 直 线 BD 的 距 离 分 别 为 d1 , d 2 , 如 图 , 做

O E? B D , O? F

则 四 边 形 OEMF 为 矩 形 , 又 M 1, 2 , 所 以 d12 ? d22 ? 3 , A,C . 则 四 边 形
2 2

?

?

AC ? 2 4 ? d12 , BD ? 2 4 ? d 2 2
S? 1 AC BD ? 2 2
2 1
2 1

A B C的 D面 积 为 :
, 所 以

? 4 ? d ?? 4 ? d ?
2 1 2 1


2 1



d22 ? 3 ? d12
2 1

S ?2
S ?2

? 4 ? d ?? 4 ? 3 ? d ? ? 2 ? 4 ? d ??1 ? d ? , 令 d
? 4 ? t ??1 ? t ? ? 2
2

?t , 则 0?t ?3 , 从 而

?t 2 ? 3t ? 4 ? 0 ? t ? 3? .对于函数 y ? ?t 2 ? 3t ? 4 ,其对称轴为

3 3 25 ?3? t ? , 根 据 一 元 二 次 函 数 的 性 质 , ymax ? ? ? ? ? 3 ? ? 4 ? , ymin ? 4 , 即 2 2 4 ?2?

M ? Sm a x? 2

25 ? 5, N ? S 4

mi n

? 2 4 ? 4 ,所以 M ? N ? 1 ,选 D.

22 . A 【 解 析 】 因 圆 心 为 C (m, n) , 半 径 r ?

m2 ? n 2 , 由 题 设


d?

|m?n| 2

?

|m?n?2| 2

?

2 r 2



?m ? n ? m ? n ? 2 ? 0 ?m ? n ? 1 ? 0 ?m ? ?1 ?m ? 0 ? ?? ?? 或? ,所以 m ? 0 或 ? 1 ,应选 ? 2 2 m n ? 0 n ? 0 n ? 1 ? | m ? n | ? m ? n ? ? ? ?
A。 23.A【解析】 2mx ? y ? 8m ? 3 ? 0 化为 2m ? x ? 4? ? y ? 3 ? 0 ,故直线过定点 M ? 4, ?3? , 这个点在圆内 . 圆心为 O ? 3, ?6? , kOM ? 3 ,故当弦 AB 最短时,直线的斜率为 ?

1 ,即 3

1 1 2m ? ? , m ? ? . 3 6
24. C 【解析】 由 x ? y ? 2 x ? 8 ? 0 和 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 相减化简可得 x ? y ? 1 ? 0 ,
2 2

2

2

故选 C.

11

25.B【解析】由圆 C1: (x+1) +y = 和圆 C2: (x﹣1) +y = 得到 C1(﹣1,0) ,半径 r1= ,C2(1,0) ,半径 r2= , 设圆 P 的半径为 r, ∵圆 P 与 C1 外切而又与 C2 内切, ∴PC1=r+ ,PC2= ﹣r, ∴PC1+PC2=(r+ )+( ﹣r)=2a=4,又 C1C2=2c=2,

2

2

2

2



∴a=2,c=1, ∴圆心 P 在焦点在 x 轴上,且长半轴为 4 的椭圆上 ∴动圆圆心 P 和已知两圆的圆心 C1、C2 构成三角形 PC1C2 的周长等于 2a+2c=6. 故选:B. 26 . 4 ? 15 【解析】圆 C 的半径是 2 ,圆心 C ?1, a ? 到直线 ax ? y ? 2 ? 0 的距离等于

1?a ? a ? 2 3 ? 2 ? 3 ,于是有 ? 3 ,即 a 2 ? 8a ? 1 ? 0 解得 a ? 4 ? 15 ,故答案为 2 2 a ?1
4 ? 15 .

27 . 3 【解析】由题设直线 ax ? by ? 3 ? 0 ? a ? 0, b ? 0? 过圆心 C (1,2) , 即 a ? 2b ? 3 , 因

1 2 1 1 2 1 2b 2a 1 ? ? (a ? 2b)( ? ) ? (5 ? ? ) ? (5 ? 4) ? 3 ,故应填 3 . a b 3 a b 3 a b 3
28.相切或相交 【解析】圆的方程化为标准式为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 22 圆心到直线的距离 d ?

2k (3k ? 2) ? k
2 2

?

2k k2

?2

所以直线与圆相切或相交. 29 . r ?
2

2 【 解 析 】 由 题 意 , 圆 C : x 2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? 的 周 长 被 直 线
2

?1 ? t ? x ? 2ty ? ?1 ? t ? ? 0 ? t ? R ? 分为1: 3 两部分,∴圆心角为 90?,
∴圆心到直线的距离为

|1? t2 | (1 ? t 2 ) 2 ? 4t 2

?

2 r ,? r ? 2 . 2

故答案为 r ?

2: .

30. x2 ? y 2 ? x ? 7 y ? 32 ? 0 【解析】由题可先设出圆系方程; x2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? ? ( x2 ? y 2 ? 6 y ? 28) ? 0 ,则圆心坐
12

标为;

(?

?

3 3? ? ? 4 ? 0, ? ? ?7 1? ? 1? ?

3 3? ,? ) , 又 圆 心 在 直 线 x? y?4 ? 0 上 , 可 得 ; 1? ? 1? ?

圆的方程为: x2 ? y 2 ? x ? 7 y ? 32 ? 0
2 31. ? x ? 4 ? ? ? y ? 3? ? 25 【解析】设圆的方程是: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 其中 r ? 0 , 2 2 2 2

将 O, M , N 坐 标 分 别 代 入 a 2 ? b2 ? r 2 ① ,

?1 ? a ?

2

? ?1 ? b ? ? r 2 ② ,
2

?4 ? a?

2

? ? 2 ? b ? ? r 2 ③, 分别将①代入②, ③得 1 ? 2a ? 1 ? 2b ? 0,16 ? 8a ? 4 ? 4b ? 0 ,
2

化 简 a? b? , 所 以 a ? 4 , b ? ?3 2 1 , 2a ? b ? 5 ,r

,5 所以圆的方程是 ?2 a ?2 b ?2
2

? x ? 4?

2

? ? y ? 3? ? 25 ,故答案为 ? x ? 4 ? ? ? y ? 3? ? 25 。
2 2

32. 4 【解析】因为圆心 O(0,0) 到直线 ax ? y ? a ? 1 ? 0( a ? R) 的距离是 d ? 所

| a ?1| a2 ?1

, 以

AO ? AB ? AO ? OA ? OB ? 4 ? 4 c

2

?A

? 4 ? 4(2 c

2

1 ?A 2

? 1) ? 8 ? 8 ?

d2 ? 8 ? 2d 2 4




(a ? 1) 2 d ?( ) ? 2 a ?1 a2 ?1
2 2

| a ?1 |





a ?1 ? t ? a ? t ?1



d2 ?

1 1 2 2 t2 1 ? , 所 以 当 ? ? , 即 t ? ?2 时 , 2 ? ? 1 取 最 小 值 为 2 t 2 t t t ? 2t ? 2 2 2 ? ?1 2 t t

???? ??? ? 1 2 , d max ? 2 ,所以 AO?AB 取最小值为 8 ? 4 ? 4 ,应填 4 。 2
33. 2 【解析】∵圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? 8 (ab ? 0) 过坐标原点,
2 2

? a2 ? b2 ? 8 ? 2ab,? ab ? 4 ,又∵圆心 C(a,b)到直线
d?
即直线 ax+by-ab=0 距离
2

l:

x y ? ?1 b a ,

a 2 ? b 2 ? ab a 2 ? b2
2

?

4 2 2

? 2
.

34.3 【解析】因为圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆心为 ?1, 2 ? ,且圆上存在两点关于直 线 l : x ? my ? 1 ? 0 对 称 , 所 以 x ? my ? 1 ? 0 过 点 ?1, 2 ,得 ? , 所 以 1 ? 2m ? 1 ? 0

13

m ? ?1, MC ? 13, r 2 ? 4 ,切割线 MP ? 13 ? 4 ? 3 ,故答案为 3 .
35. ?

2

| 2a ? 3 | ?1 ? ,当 ?APB ? 900 时, PC ? 2 , , ?? ?【解析】 由于圆心到直线的距离 d ? 2 2 2 ? ? | 2a ? 3 | 1 ? 2 ,即 | 2a ? 3 |? 4 ,注意到 a ? 0 ,故 2a ? 3 ? 4 ,即 a ? . 2 2 2
y , 表示圆上点 P ( x, y ) 与原点连线的斜率, 直线 OP 的方程为 y ? kx , x

所以

36. 【解析】 (I) 设k ?

当直线 OP 与圆 C 相切时,斜率取得最值, 点 C 到直线 y ? kx 的距离 d ?

3k ? 3 k 2 ?1

? 6,

即 k ? 3 ? 2 2 时,直线 OP 与圆 C 相切, 所以 ( ) max ? 3 ? 2 2 , ( ) min ? 3 ? 2 2 (Ⅱ)代数式 ( x ? 2) ? y 表示圆 C 上点到顶点 (2,0) 的距离,
2 2

y x

y x

圆心 (3,3) 与定点 (2,0) 的距离为 (3 ? 2) ? 3 ? 10 ,
2 2

又圆 C 的半径是 6 , 所以 ( ( x ? 2) ? y ) max ? 10 ? 6 , ( ( x ? 2) ? y ) min ? 10 ? 6
2 2 2 2

37. 【解析】 (Ⅰ)解法一:设所求圆的方程为

依题意得; 所求圆的方程是 解法二:依题意所求圆的圆心 中点为 ,直线 为 的垂直平分线和直线 的交点,

斜率为 1, 即

垂直平分线方程为

联立

解得

即圆心

,半径

14

所求圆方程为 (Ⅱ) 所以圆心 到 到 , 由已知知直线 的距离为 的方程为

距离的最大值为

所以

面积的最大值为

考点: (1)圆的方程算法。 (2)圆内三角形面积的最大值问题。 38. 【解析】 (1)将曲线 C 的方程化为 x +y -2ax-
2 2

4 2 2 2 2 y=0?(x-a) +(y- ) =a a a



2 4 4 ,可知曲线 C 是以点(a, )为圆心,以 a 2 ? 2 为半径的圆. 2 a a a

(2)△AOB 的面积 S 为定值. 证明如下:在曲线 C 的方程中令 y=0,得 ax(x-2a)=0,得点 A(2a,0) , 在曲线 C 方程中令 x=0,得 y(ay-4)=0,得点 B(0,

4 ) , a

1 |OA|·|OB| 2 1 4 = ·|2a|·| |=4(定值) . 2 a
∴S= (3)∵圆 C 过坐标原点, 且|OM|=|ON|, ∴OC⊥MN,∴

1 2 = ,∴a=±2, 2 2 a

当 a=-2 时,圆心坐标为(-2,-1) ,圆的半径为 5 , 圆心到直线 l:y=-2x+4 的距离 d=

?4 ? 1 ? 4 5



9 > 5, 5

直线 l 与圆 C 相离,不合题意舍去, a=2 时符合题意. 2 2 这时曲线 C 的方程为 x +y -4x-2y=0.
2 2 39.(1) ( x ? 1) ? y ? 4 ; (2) y ? ? x ? 2 或 y ? ?

1 x ? 2. 3

【解析】 (1)由题意知圆心 C (a, 0) ,且 a ? 0 ,
0 ? 由 ?MCN ? 120 知 Rt ?MCO 中, ?MCO ? 60 , | OC |? a ,则 | CM |? 2a ,

于是可设圆 C 的方程为 ( x ? a) ? y ? 4a
2 2

2

15

又点 C 到直线 5x ? 12 y ? 21 ? 0 的距离为 d ? 所以 a ? 1 或 a ? ?

| 5a ? 21| ? 2a , 13

21 (舍) , 31

故圆 C 的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 .

1 | MN || xG |? 3 | xG |? 3 ,所以 | xG |? 1 . 2 x ? x2 ? 0 若设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 xG ? 1 ,即 x1 ? x2 ? 3xG , 3 当直线 l 斜率不存在时, ?ABO 不存在,
(2) ?MNG 的面积 S ? 故 可 设 直 线 l 为 y ? kx ? 2 , 代 入 圆 C 的 方 程 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 中 , 可 得

(1 ? k 2 ) x2 ? (4k ? 2) x ? 1 ? 0 ,
? ?(1 ? k 2 ) x 2 ? (4k ? 2) x ? 1 ? 0 ? 4 ? 则 ? ? ? 0 ? k ? 0或k ? , 3 ? 2 ? 4k ? x1 ? x2 ? ? 1? k 2 ?
1 2 ? 4k 2 ? 4k ? 3或 ? ?3 ,得 k ? ?1 或 k ? ? , 2 2 3 1? k 1? k 1 故满足条件的直线 l 的方程为 y ? ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 . 3
所以

2 2 40. (1) ( x ?1) ? y ? 25 ; (2) a ?

5 3 ; (3) a ? 12 4

【解析】 (1) 设圆心为 M (m, 0)(m ? Z ) , 由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切, 且半径为 5, 所以

| 4m ? 29 | ? 5 ,且 m ? Z ,故 m ? 1 .圆的方程: ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 5
16

(2)将 ax ? y ? 5 ? 0 代入圆的方程得 (a2 ? 1) x2 ? 2(5a ?1) x ? 1 ? 0 ,

? ? 4(5a ?1)2 ? 4(a2 ? 1) ? 0 ,即 12a 2 ? 5a ? 0 ,且 a ? 0 得 a ?
(3)假设 a 存在,由于 a ? 0 ,则 k ? ?

5 . 12

1 ,所以直线方程: x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 . a 3 由于 l 垂直平分 AB ,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上,所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ? , 4 3 5 3 由于 ? ( , ??) ,故存在实数 a ? . 4 12 4 3 2 1 2 1 41. (1) ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 ; (2) ( x ? ) ? ( y ? ) ? . 2 2 2
【解析】 (1) 由题意得 AB 的中点坐标为 (0, 2 ) ,k AC ? 2 , AC 中垂线的斜率为 ?

2 , 2

3 1 ? y ? ? ? ( x ? ) ? ?x ? 2 2 2 ? 由? 得? ,∴ ?ABC 的外接圆圆心为 (2,0) ,半径 r ? 2 ? 1 ? 3 ,故 y ? 0 2 ? y? ? 2 ? ? x ? ? 2 ?
?ABC 外接圆的标准方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9
(2)设弦 EF 的中点为 M ,坐标为 ( x, y ) , ?ABC 外接圆的圆心 N ,则 N (2,0) 由垂径定理的推论知 MN ? MP ,即 MN ? MP ? 0 ,
2 2 ∴ ( x ? 2, y) ? ( x ? 1, y ? 1) ? 0 ,故弦 EF 中点的轨迹方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?

3 2

1 2

1 . 2

42. (1) 2 5 ; (2) ? 2,

? ?

5 2? ?. 4 ?

【解析】 (1)依题意, 过点 P, M , N , C2 的圆即为以 PC2 为直径的圆,其圆心 ?1, ?1? ,半径

?

1 2 6 ? 22 ? 10 ,? 直线 PC1 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 , 2

? 圆心 ?1, ?1? 到直线 PC1 的距离为

2 ?1? 2 5

? 5,?所求弦长为 2 10 ? 5 ? 2 5 .
?k ? kx0 ? y0 1? k 2
k


(2)设过 Q ? x0 , y0 ? 的直线与圆 C1 切线 y ? k ? x ? x0 ? ? y0 ,则 即

? 1,
方 程

? k ? kx0 ? y0 ? ? 1? k 2
2 0













?x

2 ? 2 x0 ? k0 ? ? 2 y0 ? 2 x0 y0 ? k ? y0 ? 1 ? 0 ,①

17

判别式 ? ? ? 2 y0 ? 2 x0 y0 ? ? 4 y0 ? 1 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0 ,
2 2 2 2 2

?

??

?

?k ?

2 2 2 y0 ? 2 x0 y0 ? 4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0 2 2 ? x0 ? 2 x0 ?

.

直线 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 与 y 轴的交点为 ? 0, y0 ? kx0 ? 设 S ? 0, y0 ? k1x0 ? , T ? 0, y0 ? k2 x0 ? ,则 ST ? k2 ? k1 x0 ,而 k2 , k1 是①是程的两根,则
2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0 2 2 ST ? k2 ? k1 x0 ? ,又 ? x0 ? 4 ? ? y0 ? 4 , x0 ? 2 2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0 40 x0 ? 48 5 x0 ? 6 ? ? 2 2? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

? ST ?

.



? 5x0 ? 6 ? t t ? ? ?2, 2 6 ? ,
6上单调递增,所以 则 函 数 f ?t ? 在 区 间 ?2 , 4 ? 是 单 调 递 减 , 在 区 间 ?4 , 2 ? ? ?

?

?

? f ?t ??

max

? 10, ? f ?t ??min ? 8 ,

? 5 2? ? ST ? ? 2, ?. 4 ? ?

18


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