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高中微积分教学探究


高中微积分教学探究
张哓波(B00111623) 导师:林磊副教授

【摘要】在上海的高中阶段,自上世纪 90 年代中期以来,已经试点了好几年微积分的内容。 但于全国而言, 从 2001 年推广的试验本教材才第一次出现微积分, 并将在 2004 年的高考试 卷中第一次出现微积分的内容, 而重庆直辖市也将使用这个版本的教材。 所以如何设计这部 分的教学

,特别是用怎样的视角处理,笔者认为有必要做一些探讨。本文在回顾我国微积分 教学历程及进行中西比较, 分析新大纲和考试说明中微积分的具体教学要求后, 就高中微积 分课堂教学策略和设计进行了探讨,以期在教学过程中使学生能对微积分有较深入的理解。 【Abstract】During the stage of senior middle school in Shanghai, calculus has been taught several years since the metaphase of last century ‘s 90s. But as to the whole country, calculus has just appeared in the textbook which has been used in the whole country since 2001 as well as in Chongqin, and will be involved in the 2004’s national entrance exam to university in the first time. Therefore, I think it is necessary to study how to make a plan of its teaching, especially which visual field should be used. After reviewing the process of the calculus education in our country , making comparison between China and the West, analyzing the teaching requirements in the new outline and the exam’s instruction, I will study on the strategies and teaching plans of calculus education in senior middle school to help students understand calculus deeply. 【关键字】新大纲,高中教学,微积分教学

一、 引



自上世纪 80 年代以来,二十年间高中数学课程内容一直相对稳定。尽管教 学大纲和教材也经过了几次修订,但教学内容仍然是代数、三角、立体几何、解 析几何四大部分(上海市除外) 。然而,这一局面在上世纪末被打破。原国家教 委首先于 1996 年颁发了《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验) 》 ,对原有 内容作了较大修改,加入了概率统计、微积分的初步知识和向量。随后,从 1997 年起,两省一市(江西省、山西省,天津市)的高一新生首次使用了人教社根据 这个新大纲编写的试验教材。从 2001 年起,全国所有省市都已开始使用依照新 大纲思想编写的教材(以人教版为代表) 。新大纲从一出台开始,就引起了众多 师生的关注。 因为微积分、 概率统计和向量这些在高中课堂已消失很久的内容的 重新登场,无疑给高中数学教师提出了新的课题。在新的形势下,采用合理的教 学策略有效地组织新内容的教学,变得十分迫切。本文将围绕微积分教学进行分 析,以期探究出一些较为可行的策略。

二、我国微积分教学历程回顾兼中西比较
中华人民共和国成立以后,于 1952 年编订了《中学数学教学大纲(草案) 》 , 并于 1955 年进行了修订。内容包括算术、代数、几何和三角的基础知识。不仅 微积分无缘进入, 连解析几何课程都被取消。由于这次修订使我国十二年制中学 原有的数学课程水平有所降低,教育部又于 1958 年在致力于改变传统中学数学 教材“内容贫乏,陈旧落后,脱离实际,孤立割裂,繁琐重复”的指导思想下, 1

提出了一个数学教学现代化改革方案——“以函数为纲” 。该方案一个很大的亮 点就是大量增加了高等数学知识,微积分甚至微分方程首次成为教学内容。但考 虑到国情和中学数学教学实际情况,1961 年后微积分又在教学大纲中消失了。 文革结束后,国家于 1978 年制定了新的教学大纲(试行草案) ,将微积分重新纳 入高中教学内容,并对不同类型的中学教育,提出了不同程度的要求。但经过几 年试验后, 发现教师和学生普遍都不能适应。 教师教得吃力, 学生学得一知半解, 并对进入大学后高等数学的学习造成了干扰。所以 1983 年底又将微积分作为选 学内容,供各校自行选择,只保留了微积分的预备知识——极限,且要求较低。 但由于高考不考, 故绝大部分学校都未将微积分作为教学内容。一直到 2001 年, 根据新大纲编写的教材在两省一市四年的试点后,在全国推广使用。微积分终于 又一次成为了高中数学正式的教学内容。 几经沉浮,微积分又回到了高中数学课堂。在新世纪制订并使用的这份新 大纲,为什么要打破二十多年的稳定局面,在课程设置上做如此大的改革呢? 这是由微积分学在数学以至整个自然科学中的重要地位所决定的。微积分 学是人类思维的伟大成果之一, 它的产生和发展被誉为“近代技术文明所产生的 关键事件之一, 它引入了若干极其成功的,对以后学习数学的发展起决定性作用 的思想” 。 微积分的思想方法是 17 世纪产生的关键性的数学思想方法,不仅是学 生以后学习高等数学以及许多数学分支的基础,而且对于培养学生的数学思维, 增强学生的解题能力也有很大的促进作用。微积分作为一个强大的工具,也可以 帮助我们解决一些用初等数学思想处理比较繁琐的数学问题。 如果将目光投向世界,与几个发达国家的高中课程设置进行比较后,更能 发现我国新大纲将微积分作为教学内容的必要性和紧迫性。 美国:1989 年 3 月 NCTM(全美数学教师协会)发表的《中小学数学课程 与评估标准》 ,9-12 年级(即初中三年级到高中毕业)的教学内容为:代数,综 合几何,解析几何,三角,函数,统计,概率,离散数学,微积分基础,数学结 构(参见[2,P318]) 。1999 年,全美国有 15 万学生参加微积分课程学习,约 10 万学生通过了美国“教学测试中心”组织的相关课程的 AP 考试。 日本:1989 年文部省修订的《学习指导要领》高等学校(高中)选修课程 数学Ⅲ的教学内容为:⑴函数和极限;⑵微分法,导函数,导函数的应用; ⑶积分法,不定积分和定积分,积分的应用(参见[2,P168-169]) 。 德国:微积分不仅为必修课程,而且要求相当高。以巴伐利亚州为例, 十一年级约 84 课时:⑴实函数(11 课时) ;⑵极限值和连续性(16 课时) ;⑶实 函数的微分(32 课时) ;⑷曲线的讨论,极值探究(25 课时) 。十二年级约 40 课时:⑴ 面积计算,定积分(9 课时) ;⑵微分和积分的基本定理及其应用(13 课时) ;⑶对数函数和指数函数,用微积分工具的处理(18 课时) 。十三年级约 16 课时,主要涉及有理函数性质,及曲线讨论。每个年级都还有难度更大的能 力课程(参见[2,P101-108]) 。可以看出德国高中要用 140 个课时讲授微积分, 且十分艰深,甚至超过我国大学的“高等数学” ! 英国:1991 年 GCE(General Certificate of Education,教育普通证书) 大 纲 中 将 微 积 分 初 步 , 微 积 分 方 法 和 微 分 方 程 作 为 必 修 课 程 ( 参 见 [2 , P272-273]) 。 法国:1990 年 4 月国民教育部颁布的高中二年级理科教学大纲专门列出序 列与数值函数一章,包括:⑴函数的全局性态及其渐近线;⑵求导;⑶序列。 高中三年级的大纲则讲授:⑴数值序列;⑵数值函数;⑶积分计算(参见[2, 2

P33-35,P39-41]) 。内容和难度也远远超过我国的新大纲。 综上所述,我们可以看出:以上国家的高中课程都有微积分。德、英、法都 是必修课,且内容都十分艰深。美国和日本虽是选修课,但也列入大学入学考试 的范围。自从 1908 年,德国数学家 F.克莱因主张微积分进入中学以来,已成为 国际潮流, 大多数国家的高中课程中都有微积分的内容。所以新大纲将微积分重 新纳入,并无“先进”可言,只是顺应时代和国际潮流,弥补了我国传统数学课 程的弱点。 当然, 可能有些人对在我国的中学数学教学中进行微积分教学的可行 性产生怀疑,担心重现二十年前的覆辙。其实,学习微积分初步的知识,决不是 高不可攀。我国进行了二十多年的改革开放,教育也得到了很大发展。当今不论 教师的整体素质还是学生的数学能力,与二十年前相比已有了很大提高。而且上 述国家在中学阶段教学微积分已有多年的经验,说明也是可行的。

三、新大纲及 2003 年高考考试说明“微积分”分析
一:新大纲“微积分”部分分析1 虽然新大纲仍然将微积分作为选修内容(即高中会考不要求) ,但却是广大 希望进入高校继续深造的高三学生的“必修”功课。新大纲对不同类型的学生做 了不同的要求:选修Ⅰ针对文科学生,选修Ⅱ针对理科学生。选修Ⅰ和选修Ⅱ关 于微积分的教学内容和要求既有共同点,但相差也很大。总体上看,有如下几个 特点: (1) 充分考虑到文理学生对于微积分需求和自身数学能力的差异。选修 Ⅰ课时少(仅 20 课时) , 内容也较少,要求也不太高。极限部分,除加入函数 极限的概念外, 与旧大纲要求相差不大; 只要求掌握导数的概念及其几何意义 (不 涉及微分) , 且只需掌握函数 y ? x n n ? N ? 的导数公式, 会求多项式函数的导数; 而导数的应用也只要求会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最 大最小值;并且不要求学习积分。而选修Ⅱ课时则多了一倍,达到 42 课时,内 容增加了不少,相应要求也有较大提高。除选修Ⅰ要求的极限与导数外,还用了 14 个课时讲授积分。三部分的知识要点和要求均高于选修Ⅰ,更接近大学里的 “高等数学” :极限要了解连续的意义,理解连续函数有最大最小值的性质;除 了会求多项式函数的导数外, 还要熟记基本函数的求导公式,掌握求导函数的求 导法则, 并会求某些简单函数的微分和某些导数的应用;积分部分则要了解微积 分基本公式, 掌握原函数与不定积分的概念,并会用定积分解决一些几何求积问 题和物理问题。可见,选修Ⅱ的还是有一定的“份量” 。理科生学好了,对以后 学习“高等数学”有很大的帮助。 (2) 对微积分的定位比较好,充分考虑到学生的实际水平。没有过多地 涉及极限的理论知识,也没有要求严格的论证,只需直观认识。例如选修Ⅱ只需 让学生借助几何直观理解连续函数有最大最小值的性质, 这样既能对极限的一些 重要性质有所认识,也不会因严格的论证望而却步。但涉及到核心内容“变化率 的思想” ,即引入导数时,大纲则没有一味降低难度。因为变化率的思想是人类 思维进步的里程碑, 是高中生学习微积分的价值所在——既为大学作铺垫,也为 日后不学微积分的学生提供理解变化率思想的机会。 故大纲针对各部分内容的轻 重,灵活地区分对待。
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新大纲有关“微积分”的要点和教学目标参见附录一。

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(3)重视微积分在中学阶段的应用。尽管选修Ⅰ和选修Ⅱ课时相差很大, 但都用了足够的课时讲授导数的应用(选修Ⅱ还有定积分的应用) 。因为如果不 谈应用, 学生不仅学习该内容无甚兴趣, 而且也不能对微积分有一个全面的了解。 况且, 在讲授微积分的应用时, 也能加深学生对中学数学其他知识的理解。 比如, 讲导数的应用有助于进一步理解函数的变化状态,从观察基本函数的斜率开始, 判断它的单调下降,上升区间和极值。 (4) 选修Ⅰ和选修Ⅱ都要求“通过微积分初步的教学,了解微积分学产生 的时代背景和历史意义,进行客观事物相互制约、相互转化、对立统一的辩证关 系等观点的教育”,说明教师不仅应讲授微积分的基本知识和原理,还应该让学 生了解微积分发展的社会背景, 形成一定的数学思维并能上升到哲学的高度。这 其实也揭示了微积分所具有的人文价值和内涵。 二:2003 年高考考试说明“微积分”分析 2 由于大纲对文科和理科学生关于微积分的教学内容和要求相差很大,所以 考试说明对此也有不同的要求。 将考试说明与大纲比较后可以看出:文理科考试 要求均比大纲所提的教学要求有较大幅度的下降。文科将“极限“的所有内容全 部删去,理科则删去“积分”的所有内容和“微分的概念与运算”。之所以出现 这样的情况, 笔者的理解是, 考试中心可能考虑到微积分毕竟在中学数学中还是 一个新生事物, 师生对与此相关的考试应有一个适应的过程。所以考试范围和难 度低于大纲, 这样也有利于课程改革的健康发展。但笔者的观点是这并不意味着 我们在实际教学中可以因此降低要求: 不但因为微积分的重要性和培养学生辨证 思维的独特功能,而且就高考而言,从已经举行的四次新课程考试来看,微积分 的难度也是逐步加大的。比如有关导数的内容在 2000 年首次命题时,其考试要 求都是很基本的,但随后逐渐加深。同时考试形式和要求也在发生变化,导数已 经由前几年只是解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时必不可少的工 具。 所以我们应该用发展的眼光看待这份考试说明,在教学中不能过分地以其为 “纲”,受其约束。

四、高中微积分课堂教学策略及设计探究
下面我们来分析高中数学课堂中,组织微积分教学应遵循的一些原则和策 略,根据学生学习微积分可能出现的困难,探索一些可行的突破方案,以及笔者 的一些思考和看法。 一.组织微积分教学应采取的策略 (1)不断加强变量概念的教学,树立以变量为思维对象的数学观 由于学生在长期的数学学习中接触的均为常量, 即使在高中阶段系统学习函 数、自变量,并研究了一些基本函数的性质和图象,但其思维和认识方式仍然比 较习惯于常量,常量数学在头脑中已根深蒂固。譬如,笔者在假期从事补习时, 就发现不至一个学生对以下变换无法理解:

2

2003 年高考数学考试说明对于“微积分”的要求参见附录二。

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f ( x 2 ) ? x 4 ? x 2 ? 1, x ? ?1,2? ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1, x ? ?1,4?

f ( x 2 ) ? x 4 ? x 2 ? 1, x ? ?1,2? ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1, x ? ?1,4?
不仅无法理解这是同一个函数,而且对由此引入的复合函数更是“云里雾里”。 这正是学生缺乏变量思维的表现。 因为他们仍然 “有意识” 地把 x 看成一个常量, 认为两个函数中的 x 应表示“同样的量” 。但在学习极限、连续、导数、微分 等概念时,没有变量的思维是不行的。所以在组织教学时,需加强变量概念的教 学,让学生逐步熟悉和适应变量,并能思考变化过程。当然,这就需要我们在教 学中要特别注意将变量及其变化讲解清楚。 (2)要以直观描述为主,鼓励“合情推理”和“合情猜想” 其实这也是笔者认为的微积分在中学教学中较为合理的定位。对此部分的教 学应当以直观性的描述为主,以掌握方法、计算为主,对理论上的严谨性不宜要 求过高,更无须严格的证明。涉及的一些概念和结论,既要使学生正确地理解和 1 掌握,也要适可而止。例如,极限中最基本的一个结论 lim ? 0 ,学生通过作图 n ?? n 很容易从孤立点的变化趋势得到此结论。学生此时“合情推理”并得到的“合情 猜想”,在高中阶段的学习便已经足够了,无须用数学分析的方法加以论证。当 然,如果学生确有兴趣和余力,可引入“ ? ? N ”定义并用此论证。 (3)防止微积分教学退化成仅让学生记住一些公式和结论 考虑到高中生的实际水平,不需要在理论上过分要求严格。但无论是用直观 图形引入还是给予一定的推理, 都应让学生主动的参与,引导学生观察和发现图 形的“变化趋势”或亲自动手进行推导,这样才有利于培养学生的“变量思维”, 感受微积分的内涵和与初等数学的差异。否则,如果为了“体贴”学生或纯粹的 “应试心理” , 微积分教学变成了让学生在不理解的状况下死记一些公式和结论, 那么在高中教授微积分就失去了意义和价值,学生的能力也不会提高。 (4)处理好微积分与初等数学的关系 在学习导数和定积分的应用时,学生会发现微积分是一个较初等数学厉害的 工具, 能比较容易地解决用初等数学方法十分繁琐和困难的问题,而教师也可能 会在解题的演示中传达这样的讯息。一方面,学生可以掌握更为简便的方法,并 产生对微积分的兴趣; 但另一方面,也可能对他们的学习心态及思考能力带来负 面的影响。如果学生过分依赖微积分,则可能失掉许多观察与思考的机会,懒于 从多种途径考虑问题, 更不可能产生奇思妙解, 反而不利于培养学生的创造能力。 所以教师应有意识地引导学生在思考解决某些问题, 如判断函数在给定区间的单 调性和极值,除了微积分也能适当用初等数学的方法去入手。 二.微积分教学设计的一些构思 在本小节中我们将探索一些为突破微积分教学中的难点而具体设计的方 案。 (1)极限的难点在于数列极限的概念。为了让学生更好地理解和掌握这一
1? ?1 ? ? 概念, 应加强直观性, 从分析一些基本的数列入手。 如分析数列 ? ?和?1 ? n ? 的 ?n? ? 4 ?

极限, 并充分利用数轴和表格来进行定性分析和定量分析, 把 “无限增大” 和 “无 限趋进”给予确切的描述。而重点中学的实验班或数学提高班的课堂上,则可以 引入“ ? ? N ”的定义,加深对极限概念的理解。 5

(2)笔者有三位江西籍同学,恰好是当年“两省一市”中第一批使用新教 材的学生。笔者询问三人当时学习微积分的感受时,有一点三人都提到:当时并 不清楚为什么要学习微积分, 直到学习快要结束进入微积分的应用时,才有所感 悟。而笔者在学习“数学分析”时也有同感。实际上,微积分正是在一些数学问 题用初等数学长期无法解决的情况下才产生的。所以,如果在正式教学前就先将 这些问题展示给学生, 让学生带着问题来学习,则不仅很自然地过渡到微积分的 学习,而且能让学生理解学习微积分的必要性,产生兴趣,并为“导数的应用” 和“定积分的应用”埋下伏笔。对此,可以如下设计:在进入导数的教学之前, 先引领学生对“初等数学的内容,方法及其意义是什么”这个大问题作出反省、 思考及整理,以此为基础,提出如下问题:我们已有的工具能够处理所有的问题 吗?哪些问题还无法解决呢?然后引出下列题材: ① 较复杂的非典型几何图形(几何体)的面积(与体积)的计算 ② 过曲线上一点切线的一般求法 ③ 函数图形的描绘 ④ 近似的估计 然后带着问题进入到微积分的学习。 (3) 复合函数是高一学生学习的难点(笔者从事补习的经历已多次验证了 这一点),所以预计复合函数的导数也将是学生容易出错的地方,关键是有一些 学生不会合理地引入中间变量, 函数的复合过程中各个环节分别是什么样的函数 关系没有搞清楚。 对此, 笔者认为应先让学生多做一些分解函数复合过程的练习, 然后按照复合过程逐步计算出复合函数的导数。 待分步动作熟练之后再省略中间 过程。 三.教学设计中对人教版教材的改进 通过对比阅读人教版教材和上海市中学普遍使用的华东师大版 “一期课改” 教材(参见[7]),笔者认为:使用人教版教材讲授微积分的开篇部分——引入 变化率和导数,可以在原教材的基础上加以改进。 两种教材都是利用物体作自由落体运动这个模型, 通过求某一时刻 t 0 的 “速 度”得到的。但人教版对于“时间 ?t ? t ? t 0 越小时,用其平均速度近似表示 t 0 的 ‘速度’就越精确”这一关键的结论的推导,是通过化解 _ ?s v? ? 29.4 ? 4.9?t ?t 再利用极限思想。而华东师大版教材的处理方法,则是先不要转化,而将 t 分别 取某些值,求得平均速度 v ,然后将数据列成表格。通过数据的比较,学生首先 可以清楚地看出物体在各段时间的平均速度是不同的,并直观地感受到“ ?t 趋 于 0 时,平均速度趋于 t 0 的速度”。这种直观的方式能帮助学生构建此结论,也 符合大纲要求教学尽量直观形象的原则。 所以在实际教学时, 有必要采用这种 “实 验”的方式(表格中 g 表示重力加速度)。
_

6

t (秒)
4.1 4.01 4.001 4.000 1 ?

s ?t ? (米)
8.405g 8.04005g 8.0040005g 8.000400005 g ?

t -4(秒)
0.1 0.01 0.001 0.0001 ?

s?t ? ? s?4? (米)
0.405g 0.04005g 0.0040005g 0.00400005g ?

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s (t ) ? s ( 4 ) (米/秒) t?4

4.05g 4.005g 4.0005g 4.00005g ?

五、结束语
如何进行微积分教学在高中数学是一个全新的课题, 到 2004 年为止也只有 5 届学生学习过微积分。相对于对代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研 究,微积分的教学研究还不成熟,处于摸索的阶段。但也正因为如此,探讨微积 分的教学才更有价值和意义。 本论文也就是在这样的背景下,在阅读了一些前辈 (比如本系的陈昌平教授) 关于微积分教学看法的文章和书籍后,根据自己的理 解写成的。在此,也对这些老师表示感谢。

参考文献
[1]十三所师范大学.中学数学教材教法.上海:华东师范大学出版社,1982 [2]陈昌平.数学教育比较与研究.上海:华东师范大学出版社,1995 [3]丁尔升、唐复苏.中学数学课程导论.上海:上海教育出版社,1994 [4]张奠宙、李士琦、李俊.数学教育学导论.北京:高等教育出版社,2003 [5]中学数学教材研究.北京:北京师范大学出版社,1987 [6]饶汉昌、薛彬等.全日制普通高级中学教科书·数学选修Ⅰ.北京:人 民教育出版社,2003 [7]饶汉昌、薛彬等.全日制普通高级中学教科书·数学选修Ⅱ.北京:人 民教育出版社,2003 [8]陈昌平.高级中学课本数学三年级(实验本).上海:华东师范大学出 版社,2001 [9]全日制普通高级中学数学教学大纲 .www.pep.com.cn/download [10]2004 年高考数学(理科)考试大纲(新课程版).www.edu.sina.com.cn [11]2004 年高考数学(文科)考试大纲(新课程版). www.edu.sina.com.cn

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附录一、新大纲有关“微积分”的要点和教学目标
选修Ⅰ 1.极限与导数(20 课时) 数列的极限。 函数的极限。极限的四则运算。 导数的概念。多项式函数的导数。 导数的应用:变化率。利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值 和最小值。 微积分建立的时代背景和历史意义。 教学目标 (1)从数列和函数的变化趋势理解数列极限和函数极限的概念。 (2)掌握极限的四则运算法则,并会求某些数列与有理函数的极限。 (3)理解导数概念及其几何意义;掌握函数 y ? x n n ? N ? 的导数公式;会 求多项式函数的导数。 (4)会用导数求变化率;理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并 会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小 值。 (5)通过函数极限与导数的教学,了解微积分建立的时代背景和历史意义, 进行客观事物的相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系等观点的教育。 选修Ⅱ 1.极限(12 课时) 数学归纳法。数学归纳法应用举例。 数列的极限。 函数的极限。极限的四则运算。函数的连续性。 教学目标 (1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 (2)从数列和函数的变化趋势理解数列极限和函数极限的概念。 (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限。 (4)了解连续的意义,借助几何直观理解闭区间上连续函数有最大值和最小 值的性质。 2.导数与微分(16 课时) 导数的概念。导数的几何意义。几种常见函数的导数。 两个函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数。基本导数公式。 微分的概念与运算。 利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。 教学目标

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(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的 斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概 念。 (2)熟记基本导数公式( c, x m ( m 为有理数), sin x, cos x, e x , a x , ln x, loga x 的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则,会 求某些简单函数的导数。 (3)理解微分的概念,了解函数在一点处的微分是函数增量的线性近似值, 会求某些简单函数的微分。 (4)会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在 某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际 问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 3.积分(14 课时) 定积分的概念。定积分的简单性质。微积分基本公式。 原函数与不定积分的概念。不定积分的线性性质。基本积分公式。 平面图形的面积。旋转体的体积。路程问题。变力作功。 微积分学建立的时代背景和历史意义。 教学目标 (1)了解定积分概念的某些实际背景(如变速直线运动的路程,曲边梯形的 面积等);了解定积分的定义和定积分的几何意义;知道函数连续是定积分存在 的充分条件。 (2)理解定积分的简单性质(线性性质和对区间的可加性);了解微积分基 本公式(牛顿-莱布尼兹公式),会用它来求一些函数的定积分。 (3)掌握原函数与不定积分的概念, 掌握不定积分的线性性质; 熟记基本 积分公式( c, x m ( m 为有理数), sin x, cos x, e x , a x 的积分);会利用线性性质 和基本积分公式求较简单的函数的不定积分。 (4)会用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路 程、变力所作的功。 (5)通过微积分初步的教学,了解微积分学产生的时代背景和历史意义,进 行客观事物相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系等观点的教育。

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附录二、2003 年高考数学考试说明对于“微积分”的要求
文史类 导数 考试内容 导数的背景。 导数的概念。 多项式函数的导数。 利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。 考试要求 (1)了解导数概念的实际背景。 (2)理解导数的几何意义。 (3)掌握函数 y ? x n n ? N ? 的导数公式。会求多项式函数的导数。 (4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数 的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。 (5)会利用导数求最大值和最小值的方法,解决科技、经济、社会中的某些简 单实际问题。 理工农医类 极限 考试内容 数学归纳法。数学归纳法应用举例。 数列的极限。? 函数的极限。极限的四则运算。函数的连续性。 考试要求? (1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 (2)了解数列极限和函数极限的概念。 (3)掌握极限的四则运算法则。会求某些数列与函数的极限。 (4)了解函数连续的意义,理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。 导数? 导数的概念。导数的几何意义。几种常见函数的导数。 两个函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数。基本导数公式。 利用导数研究函数的单调性和极值。函数的最大值和最小值。 考试要求 (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜 率等) , 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义。 理解导函数的概念。 (2)熟记基本导数公式( c, x m ( m 为有理数), sin x, cos x, e x , a x , ln x, loga x 的 导数)。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则, 会求某些简单函数的导数。? (3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的 必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)。会求一些实际问题(一般指单 峰函数)的最大值和最小值。 10

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