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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第三章精要课件 回归分析(一)


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§3.2(一)

【学习要求】 1.理解回归分析的基本思想,会建立线性回归模型. 2.会对两个变量进行相关性检验.
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【学法指导】 两个变量之间的相关关系可以通过画散点图形象展示,线性 相关是最重要的回归模型,相关系数可以刻画回归的拟合 效果.

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填一填·知识要点、记下疑难点

§3.2(一)

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1.线性回归模型 回归直线方程y =a +b x 中,
^ ^ ^

∑ ?xi- x ??yi- y ?
i=1
^

n

n

∑xiyi-n x y
i=1

b =

∑ ?xi- x ?
i=1

n

2



∑x2-n x 2 i
i=1

n

,a = y -b x .
^

^

2.相关性检验:①相关系数 r 的性质:|r|≤1 且|r|越接近于 1, 线性相关程度越 强 ;|r|越接近于 0,线性相关程度越 弱 ; ②|r|> r0.05 时,表明有 95%的把握认为两个变量 具有线

性相关关系;|r|≤r0.05 时,认为寻找回归直线方程毫无意义.

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§3.2(一)

探究点一
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回归直线方程

问题 1 答

什么叫回归分析? 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析

的一种方法.

问题 2 对具有线性相关关系的两个变量进行回归分析有哪几 个步骤? 答 基本步骤为画散点图,求回归直线方程,用回归直线方 程进行预报.

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例 1 某班 5 名学生的数学和物理成绩如表: 学科
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§3.2(一)

学生

A 88 78

B 76 65

C 73 71

D 66 64

E 63 61

数学成绩(x) 物理成绩(y) (1)画出散点图;

(2)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的回归直线方程; (3)一名学生的数学成绩是 96,试预测他的物理成绩. 解 (1)散点图如图.

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1 (2) x = ×(88+76+73+66+63)=73.2. 5 1 y =5×(78+65+71+64+61)=67.8.

§3.2(一)

∑xiyi=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25 054.
i=1

5

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∑x2=882+762+732+662+632=27 174. i
i=1

5

∑xiyi-5 x y i=1 ∴b = 5 ≈0.625. 2 2 ∑xi -5 x
^ i=1

5

∴a = y -b x =67.8-0.625×73.2=22.05.
∴y 对 x 的回归直线方程是y =0.625x+22.05. ^ (3)当 x=96 时,y =0.625×96+22.05≈82.
可以预测他的物理成绩是 82.
^

^

^

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§3.2(一)

小结
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(1)由回归直线方程给出的是一个预报值而非精确值.

(2)回归系数由最小二乘法估计得到. (3)解释变量只解释预报变量的一部分而非全部.

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§3.2(一)

跟踪训练 1 某企业上半年产品产量与单位成本资料如下: 月份 产量(千件) 1
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单位成本(元) 73 72 71 73 69 68

2 3 4 3 4 5

2 3 4 5 6

(1)已知两变量有近似的线性相关关系,求出回归直线方程; (2)指出产量每增加 1 000 件时,单位成本平均变动多少? (3)假定产量为 6 000 件时,单位成本为多少元?

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解 (1)n=6,∑xi=21,∑yi=426, x =3.5,
i=1 i=1 6 6 6

§3.2(一)

∑xiyi-6 x y 1 481-6×3.5×71 i=1 本 b = 6 = ≈-1.82. 2 2 79-6×3.52 课 ∑xi -6 x
^

6 2 y =71,∑xi =79,∑xiyi=1 i=1 i=1 6

481,

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i=1

a = y -b x =71+1.82×3.5=77.37.

^

^

回归直线方程为y =a +b x=77.37-1.82x.
(2)因为单位成本平均变动b =-1.82<0,且产量 x 的计量单位 是千件,所以根据回归系数b 的意义有:
^ ^

^

^

^

产量每增加一个单位即 1 000 件时, 单位成本平均减少 1.82 元.

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§3.2(一)

(3)当产量为 6 000 件时,即 x=6,代入回归直线方程: y =77.37-1.82×6=66.45(元)
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^

当产量为 6 000 件时,单位成本为 66.45 元.

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探究点二 问题 1 答 相关性检验

§3.2(一)

给出 n 对数据,按照公式求出的回归直线方程,是否 如果数据散点图中的点都大致分布在这条直线附近, 这

一定能反映这组成对数据的变化规律?
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条直线就能反映这组成对数据的变化规律, 否则求出的方程 没有实际意义.

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§3.2(一)

问题 2
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怎样定量确定两个变量的相关关系?

答 可以通过计算相关系数 r 来确定, 若|r|>r0.05, 可以有 95% 的把握认为两个变量具有线性相关关系;若|r|≤r0.05,则没 有理由认为两个变量具有线性相关关系, 此时寻找回归直线 方程毫无意义.

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例 2

§3.2(一)

维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化

度”y 来衡量,这个指标越高,耐热水性能也越好,而甲醛浓 度是影响缩醛化度的重要因素, 在生产中常用甲醛浓度 x(g/L)
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去控制这一指标,为此必须找出它们之间的关系,现安排一 批实验,获得如下数据:
甲醛浓度(g/L) 18 20 22 24 26 28 30

缩醛化度(克分子%) 26.86 28.35

28.75 28.87 29.75 30.00 30.36

(1)画散点图; (2)求回归直线方程; (3)求相关系数 r,并进行相关性检验.

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解 (1)散点图如下图:

§3.2(一)

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§3.2(一)

(2)可以看出, 两变量之间有近似的线性相关关系, 下面用列表 的方法计算a ,b . i
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^ ^

xi 18 20 22 24 26 28 30

yi 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36

x2 i 324 400 484 576 676 784 900

xiyi 483.48 567 632.5 692.88 773.5 840 910.80

1 2 3 4 5 6 7

∑ 168 202.94 4 144 4 900.16

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§3.2(一)

168 202.94 x= =24, y = , 7 7 7 202.94 ∑xiyi-7 x y 4 900.16-7×24× 7 ^ i=1 b = 7 = ≈0.264 3, 2 2 4 144-7×242 ∑xi -7 x i=1 ^ ^ 本 a = y -b x =202.94-0.264 3×24≈22.648, 7 课 ^ 时 ∴回归直线方程为y =22.648+0.264 3x.
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(3)∑yi2≈5 892,
i=1

7

∑xiyi-7 x y r=
i=1 7 7 2 2 ?∑xi -7 x ??∑yi2-7 y 2? i=1 i=1

7



202.94 4 900.16-7×24× 7

?4 144-7×242?×[5

?202.94? 892-7×? 7 ?2] ? ?

≈0.96.

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§3.2(一)

∵r=0.96>r0.05=0.754. ∴有 95%的把握认为“甲醛浓度与缩醛化度有关系”, 求得的
本 回归直线方程有意义. 课 时 小结 根据已知数据求得回归直线方程后,可以利用相关系数 栏 目 和临界值 r0.05 比较,进行相关性检验. 开 关

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跟踪训练 2

§3.2(一)

为了研究 3 月下旬的平均气温(x)与 4 月 20 日前

棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系,某地区观察了 2007 年至 2012 年的情况,得到了下面的数据:
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年份 x(℃) y(日)

2007 2008 2009 2010 2011 2012 24.4 19 29.6 6 32.9 1 28.7 10 30.3 1 28.9 8

(1)对变量 x、y 进行相关性检验; (2)据气象预测,该地区在 2013 年 3 月下旬平均气温为 27℃, 试估计 2013 年 4 月化蛹高峰日为哪天.

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解 由已知条件可得下表: i xi yi
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§3.2(一)

1 24.4 19

2 29.6 6

3 32.9 1
6

4 28.7 10

5 30.3 1

6 28.9 8

x ≈29.13, y =7.5, ?x2=5 130.92, i
i=1 6 2 yi =563, xiyi=1 i=1 i=1

?

6

?

222.6

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§3.2(一)

?xiyi-6 x y
i=1

6

(1)r=
6 2 2 ? xi -6 x ?? y2-6 y 2? i i=1 i=1

≈-0.934 2.

?

6

?

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查表知:r0.05=0.811.由|r|>r0.05,可知变量 y 和 x 存在线性相关 关系. 1 222.6-6×29.13×7.5 ^ (2)b= ≈-2.23, 5 130.92-6×29.132
a= y -b x ≈72.46.
^ ^

所以回归直线方程为y=-2.23x+72.46.
当 x=27 时,y=-2.23×27+72.46≈12.
据此,可估计该地区 2013 年 4 月 12 日为化蛹高峰日.
^

^

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§3.2(一)

本 1.下列变量之间:①人的身高与年龄;②产品的成本与生产 课 数量;③商品的销售额与广告费;④家庭的支出与收入. 时 栏 其中不是函数关系的有 ( D ) 目 开 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 关

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§3.2(一)

2.对变量 y 和 x 进行相关性检验,已知 n 为数据的对数,r 是 相关系数, 且已知①n=3, r=0.995 0; ②n=7, r=0.953 3; ③n=15,r=0.301 2;④n=17,r=0.499 1.则变量 y 和 x 具有线性相关关系的是
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( C ) C.②和④ D.③和④

A.①和②
解析

B.①和③

①n=3 时,r0.05=0.997,所以|r|<r0.05,我们没有理由拒

绝原来的假设,这时寻找回归直线方程是毫无意义的.
②n=7 时,r0.05=0.754,所以|r|>r0.05,表明有 95%的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关关系.
③n=15 时,r0.05=0.514,所以|r|<r0.05,我们没有理由拒绝原来 的假设,这时寻找回归直线方程是毫无意义的.
④n=17 时,r0.05=0.482,所以|r|>r0.05,表明有 95%的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关关系.所以②和④满足题意.

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§3.2(一)

3.已知一个回归直线方程为y =1.5x+45,xi∈{1,7,5,13,19},
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^

58.5 则 y =________.

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§3.2(一)

4.许多因素都会影响贫穷,教育是其中之一,在研究贫穷与 教育的关系时收集了美国 50 个州的成年人受过 9 年或更少 教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本
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州人数的百分比(y)的数据, 建立的回归直线方程为y =0.8x +4.6,斜率的估计值等于 0.8,说明___________________.
^ ^ ^ ^

^

解析
答案

本题考查回归直线方程y =b x+a 中的斜率b 的几何
^

意义,即自变量每改变一个单位,因变量平均变化|b |个单位.
一个地区受过 9 年或更少教育的百分比每增加 1%, 收入 低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加 0.8%左右

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§3.2(一)

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1.对具有相关关系的两个变量进行统计分析,可从散点图观 察大致呈条状分布,可以求回归直线方程并进行预报. 2.通过求相关系数并和临界值 r0.05 比较可以判断两个变量是 否有线性相关关系,求得的回归直线方程是否有意义.


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