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【数学】2.1.4《数乘向量》课件(新人教B版必修4)


7.1.4平面向量的数乘运算
生活中有向量 生活中用向量

向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.

b

作法:

a
a A

在平面中任取 一点o,

o

过O作OA= a

a+b b
B

过A作AB= b

则OB= a+b.

向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.

a
a A

b o a+b

作法:在平面中任取一点o, b B
过O作OA= a 过O作OB= b 以OA,OB为边作 平行四边形

C

则对角线 OC= a+b

向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.

a o

b

作法:
在平面中任取一点o,

b
a-b

B

过O作OA= a 过O作OB= b

a
A

则BA= a-b

一只兔每次位移向量

a

,

3次位移多少?

3a

n次位移多少? na

位移与速度的关系: s= tv

已知非零向量 a (如图) a 试作出: a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a) a a a
O A B C

-a
N M

-a
Q

-a
P

相同向量相加以后, 和向量的长度与方向有什么变化?

一般地,实数λ与向量a的积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa, 它的长度和方向规定如下:
(1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0

课本30页
对于两个非零向量共线的条件是什么?(平 行) 两个向量共线的条件

a∥b等价于a=λb

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和 2a+2b,并进行比较。 a 3(2a) 3(2a)=6a b a a+b 2(a + b)=2a+2b 2a 2a+2b 2b

设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:

①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb

特别地:

-λa=-(λa) =λ(-a) λ(a-b)=λa-λb
向量的加法、减法、数乘向量的综合运算叫向量的线性运算

例1 . 计算: -12a (1) (-3)×4a 5b (2) 3(a+b) –2(a-b)-a (3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c) -a+5b-2c 2μa-2λb (4) (λ+μ)(a-b)-(λ-μ)(a+b)
例2.设x是未知向量,解方程 5(x+a)+3(x-b)=0
练习1:若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b 是已知向量,求m,n.

问:什么是两个向量的线性组合? 什么是向量的线性表示?
? 一般地,__ 叫做_ ,_ 的一个线性组合 (其中_ , _均为系数). ? 如果_ ,则称_ 可以用_,_ 线性表 示.公式是 ___ (课本31页练习)

练习2.在⊿ABC中,设D为BC的中点,求证: 求证:AD= 2 (AB+AC)
1 A

B

D

C

、 练习3. 已知任意两个向量 a b ,试作 OA=a+b , OB=a+2b,OC=a+3b 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
C

a

b

3b

B

2b

A

b
O

a


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