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4高中数学知识点总结之排列组合概率论篇


49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

(1)分类计数原理:N ? m1 ? m2 ? ?? ? mn (mi 为各类办法中的方法数) 分步计数原理:N ? m1 ·m2 ??mn (mi 为各步骤中的方法数)
(2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一

列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m n .
Am n ? n? n ? 1?? n ? 2???? n ? m ? 1? ?
规定:0! ? 1
(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不

n! ?m ? n? ?n ? m?!

同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合个数记为C m n .

Cm n ?

n?n ? 1????n ? m ? 1? Am n! n ? ? m m! m!?n ? m?! Am

规定:C 0 n ?1
(4)组合数性质:
n? m m?1 0 1 n n Cm ,C m ? Cm n ? Cn n ? Cn n?1 ,C n ? C n ? ?? ? C n ? 2

50. 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分 组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩

x i ? 89 , 90, 91, 92 , 93 , (i ? 1, 2 , 3, 4) 且满足x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ,
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( A. 24 B. 15 解析:可分成两类: C. 12 D. 10 )

?

?

(1)中间两个分数不相等,

4 有C5 ? 5(种)

(2)中间两个分数相等

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4

相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种,∴有 10 种。 ∴共有 5+10=15(种)情况 51. 二项式定理
n 1 n?1 n ?2 2 n? r r n (a ? b) n ? C0 b ? C2 b ? ? ? Cr b ? ? ? Cn n a ? Cn a na na nb n? r r 二项展开式的通项公式:Tr ?1 ? C r b ( r ? 0,1??n) na

Cr n 为二项式系数(区别于该项的系数)
性质:
?r (1)对称性:C rn ? C n r ? 0,1, 2 ,??,n n

?

?

1 n n (2)系数和:C0 n ? Cn ? ? ? Cn ? 2 3 5 0 2 4 n?1 C1 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第

?n ? 2 ;n为奇数时,( n ? 1) 为偶数,中间两项的二项式 ? ? 1? 项,二项式系数为C n ?2 ?
n ?1 n ?1 系数最大即第 项及第 ? 1项,其二项式系数为C n 2 ? C n 2 2 2
如:在二项式? x ? 1? 的展开式中,系数最小的项系数为
11

n

n ?1

n ?1

(用数字

表示)

(∵n=11
∴共有12 项,中间两项系数的绝对值最大,且为第 12 ? 6或第 7 项 2

r 由C11 x11?r (?1) r ,∴取r ? 5即第6项系数为负值为最小: 6 5 ?C11 ? ?C11 ? ?426

又如:?1 ? 2x?

2004

? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ?? ? a 2004 x 2004 ?x ? R?,则 (用数字作答)

?a 0 ? a1 ? ? ?a 0 ? a 2 ? ? ?a 0 ? a 3 ? ? ?? ? ?a 0 ? a 2004 ? ?
(令x ? 0,得:a 0 ? 1 令x ? 1,得:a 0 ? a 2 ? ?? ? a 2004 ? 1

∴原式 ? 2003a 0 ? a 0 ? a 1 ? ?? ? a 2004 ? 2003 ? 1 ? 1 ? 2004 )
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

?

?

(1)必然事件?,P??) ? 1,不可能事件?,P(?) ? 0
(2)包含关系:A ? B,“A发生必导致B发生”称B包含A。

A

B

(3)事件的和(并):A ? B或A ? B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和(并)。

(4)事件的积(交):A·B或A ? B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

(5)互斥事件(互不相容事件):“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。

A·B ? ?

(6)对立事件(互逆事件):

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A

A ? A ? ?,A ? A ? ?

(7)独立事件:A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立,A与B,A与B,A与B也相互独立。
53. 对某一事件概率的求法: 分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

P( A ) ?

A包含的等可能结果 m ? 一次试验的等可能结果的总数 n

(2)若A、B互斥,则P?A ? B? ? P(A) ? P(B)
( 3)若A、B相互独立,则P A·B ? P?A ?·P? B?

?

?

(4)P(A) ? 1 ? P(A)
(5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
k k次的概率:Pn ( k) ? C k n p ?1 ? p? n? k

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品;

? C2 2? 4 P ? ? ? 1 ? 2 15? C10 ?
(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品;

? C 2 C 3 10 ? ? P2 ? 4 5 6 ? ? 21? C10 ?
(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件),∴n=103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
2 1 3 ∴m ? C2 3 ·4 6 ? 4
2 3 C2 44 3 ·4 ·6 ? 4 ∴P3 ? ? 3 125 10

(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析:∵一件一件抽取(有顺序)
5 2 3 ∴n ? A10 ,m ? C2 4 A5 A 6
2 3 C2 10 4A5 A 6 ∴P4 ? ? 5 21 A 10

分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐 个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要 特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样 的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和 方差。 要熟悉样本频率直方图的作法:

(1)算数据极差?x max ? x min ?;
(2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。

其中,频率 ? 小长方形的面积 ? 组距×
样本平均值:x ? 1 x 1 ? x 2 ? ?? ? x n n

频率 组距

?

?

样本方差:S 2 ?

1 ?x1 ? x?2 ? ?x 2 ? x?2 ? ?? ? ?x n ? x?2 n

?

?

如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为 ____________。
4 2 C10 C5 ( 6 ) C15


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