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正弦余弦函数的定义课件


1.4.1 任意角的正弦函数、
余弦函数的定义
金秀县民族高中 李保英 2017.4.12

1. 掌握任意角的正弦、余弦函数的定义(重点)

2.识记正弦、余弦函数每个象限的取值符号(重点)
3.掌握正弦、余弦函数的计算与应用(难点)

(一)回顾旧知
在Rt三角形中,锐角正

弦、余弦函数是如何定义?
P

斜边
O

OM PM 邻边 OP sin a = _____;cos a = _____; OP
M

?

对边

(二)、
探究1-任意角的正弦、余弦函数定义

y PM = =y sinɑ= OP r

讨论:sin α 与cosα

Y P(x,y)

r=1
?
O M X

纵坐标

x OM = =x cosɑ= r OP

横坐标

单位圆

y y 思考:终边落在不同象限任意角 sinɑ、cosɑ的值还是y,x值吗? P(x,y)

α

O

A(1,0) x y

α
P(x,y)

O

A(1,0) x

sinɑ= PM
O

=y

α

A(1,0) x

OP
OM cosɑ= OP

P(x,y)

=x

一、任意角的正弦函数、余弦函数定义:
设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 y P(x,y),那么: P(x,y) (1)y 叫做α 的正弦,记

作sinα , 即y=sinα ;

α

(2)x 叫做α 的余弦,记 作 cosα ,即x=cosα

OM

x

探究2:正弦、余弦函数的取值符号

思考:当角ɑ的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时, 角ɑ的正弦、余弦函数的正负号是什么?
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

纵坐标 横坐标

sin ?

+

+ -

- -



cos ?

+

+

你有什么办法记住这些信息?

练一练 判断下列各式的符号: (1)sin105°.cos 230°; (2)sina . cosa<0,问a为第几象限角;
解:因为105°为第二象限角,230°为第三象限角, 所以 sin105°>0,cos 230°<0

sin105°.cos 230°<0

因为sina.cosa<0,所以二者异号,有两种情况: sina>0,cosa<0 或者sina <0,cosa>0 所以当sina>0,cosa<0,a 为第二象限角

当sina <0,cosa>0,a为第四象限角

探究3:入股已知角终边上一点P(x,y),而这个点不 是终边与单位圆的交点,它的三角函数定义还成立吗? 解:取终边OP与单位圆交于一 点Q(u,v),过Q点作QN⊥ON; 得到 OPM OQN 因此有: y MP QN v = = = 2 2 2 2 x ? y OQ OP u ?v = sinα

自由探讨

y

P(x,y)

?

Q(u,v) O

α
N M

x

y

同理可证:y=cosα 余弦函数也成立

=

1

新知应用: 已知任意角α 终边上有一点P(5,-12), 求角α 的正弦函数值、余弦函数值.

解 因为点P(5,-12) 在角α 的终边上,
所以

y=5, x=-12

可知r= cosα =

5 ? (?12) =13
2 2

5 则sinα = 13

-12

13

思考:如何利用正弦、余弦定义进行各种计算?

1.找出与圆相交的点的坐标值P(x,y)
2.算出原点与交点之间的距离r=

x2 ? y2

3.利用正弦余弦定义代值计算: y x sinɑ= cosɑ= 2 2 2 2 x ?y x ?y
4.得到正弦、余弦函数

变式题1---能力提升
? 已知角θ 的顶点为坐标原点,始边为x轴的 正半轴,若点P(4,y)是角θ 终边上的一点 ,且sin θ = ? 2 5 则y= ( ) ? A.-8 B.-4 C.+8

?5
D.+ 4

这一课你学到了什么?

1.正弦函数、余弦函数是如何定义的?
2.正弦余弦函数的在象限里的取值符号如何? 3.如何通过定义去应用计算?

课后作业:课本P17页,练习2.3.4.5 要求:写在课本上

变式题2:已知角a的终边过点P(12,a)且 tana=5/12,求sina+cosa的值。 解析:根据三角函数定义, tan=a/12=5/12

所以 ɑ=5, P(12,5) ,这时 r=13
所以 sina =5/13,cosa =12/13.

从而 sina+cosa=17/13

问题3:对于给定的角a,点P的横、纵坐标都是唯一的, 那么正、余函数又是一个什么函数呢? y

y

P(u,v)
α OM

P(u,v)

x(1,0)

x

O

α

A(1,0) x

对于给定的角α ,点P的横、纵坐标都是唯一确定 的,所以,正弦、余弦函数都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标为函数值的函数。
如果我们用x表示自变量,即x表示角的大小,用y表 示函数值,则得到任意角的正弦函数y=sinx ; 余弦函数y=cosx。

问题4:
上述定义中,正、余弦函数的定义域 与值域在分别是什么?
y=sinx
y=cosx

因为: x表示任意角的大小,所以定义域为: 全体实数R;

而在单位圆中显然y∈[1,1],故值域 为:[1,1]

得出结论:
正弦、余弦函数是以角度为自变量,

以单位圆上的点的坐标或坐标的比值
为函数的函数。又因为角的集合之间

可以建立一一对应关系,故它们也看
成以实数为自变量的函数。

y P(u,v)

在给定的单位圆中, 对于任意角α (正角、 负角)的三角函数定义 都成立,那么对于零角, 它是否还成立?

α
O

A(1,0) x

成立

(三)
设α 是一个任意的象限角,那么当α 在第
一、二、三、四象限时,sinα 的取值符号分

别如何?cosα 的取值符号分别如何?

sin ? ? v

cos ? ? u

3 变式题1: 已知角α 终边上一点P( ? , 2), 求角α 的正 2
弦函数值、余弦函数值.

3 解 因为点P ( ? , 2)在角α 的终边上, 2 3 2 5 2 3 所以 x ? ? , y ? 2, 可知 r ? OP ? (? ) ? 2 ? . 2 2 2 3
则sinα =

y 2 4 ? ? , r 5 5 2

cosα =

x 3 2 ? ?? . 5 r 5 2

?

记忆法则:
从象限出发来记忆:(sin a,cos a) “一正正,二正负,三负负,四负正“
课堂练习--巩固提升

1.判断下列各式的符号: (1) < (1)sin 105°.cos230° (2)cos3.tan(-2/3 π) (2) <

在直角坐标系的单位圆中,画出下列各特殊角, 求各个角终边与单位圆的交点坐标,并将各特殊角 的正弦函数值、余弦函数值填入下表

(五)拓展延伸

0 1

1 2

3 2

2 2 2 2

3 2 1 2

1 0

3 1 2 2 1 3 2 2

0

-1

1 3 2 2 3 - 1 2 2 -

-1

0

3 - 1 2 2 1 3 2 2

0 1

观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和 y=cosx的变化有什么特点吗?

观察右图,在单位圆中,由任意角 的正弦函数、余弦函数定义不难得到: 终边相同的角的正弦函数值相等,即

sin(x+2kπ) =sinx, k ∈ z
终边相同的角的余弦值相等,即

cos(x+2kπ) =cosx, k ∈ z

上述两个等式说明:对于任意一个 角x,每增加 2π 的整数倍,其正弦函

数值、余弦函数值均不变.所以,正弦
函数值、余弦函数值均是随角的变化呈 周期性变化的.我们把这种随自变量的 变化呈周期性变化的函数叫作周期函数.

正弦函数、余弦函数是周期函数,称 2kπ(k∈ z,k≠0)为正弦函数、余弦函数的 周期. 例如,-4π,-2π,2π,4π等都是它们的周

期.其中 2π 是正弦函数、余弦函数正周期
中最小的一个,称为最小正周期.

二、周期函数
一般地,对于函数f(x),如果存在非零常

数T ,对定义域内的任意一个x值,都有

f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)称为周期函数,
T称为这个函数的周期.

判断分析:
若函数y=sinx是周期函数,且 f(π/4+π/2)=f(π/2),为什么π/2不是它的周期?

解析:据周期函数的定义,对于定义域内的任意的 x 值都应该满足 f(x+T)=f(x),我们才

p p p p p p 称 T 为此函数的周期 .虽然 f ( + ) = f ( ) ,但是 f ( + ) ? f ( ) ,不符合周 4 2 4 3 2 3 期函数的定义,实际上,函数 y=sinx 的周期为 2p .

解析:根据周期函数的定义:对定义域内的任意一个x 值,都有f(x+T)=f(x),函数f(x)称为周期函数,但 正弦、余弦函数的最小周期为2π,所以,虽然 f(π/4+π/2)=f(π/2),

1.已知角的终边过点P(-3,-4),求角的正弦、余弦值.

4 sin ? ? ? 5
?

3 cos ? ? ? 5
?

2.确定下列三角函数值的符号.

9? (1)cos 250 ;(2)sin( ? ) ; (3) cos ; 4 4 (1) ? (2) ? (3) ?

不辞艰险出夔门,救国图强一片心;莫谓
东方皆落后,亚洲崛起有黄人。

——吴玉章


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