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2014优化方案数学必修4第一章1.2.2


第一章

三角函数

1.2.2 同角三角函数的基本关系

第一章

三角函数

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学习目标 同角三角函数的 了解 理解 基本关系式的推 ― → 三角函数线 ― → ― ― 导过程

同角三角函 同角三角函数 掌握 数的基本关 ― → 的基本

关系式 ― 系式 的应用 重点难点 重点:同角三角函数基本关系的应用.

难点:运用同角三角函数关系进行化简证明.

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三角函数

新知初探思维启动
同角三角函数的基本关系式

sin2α+cos2α=1 (1)平方关系:____________________.
sin α π (2)商数关系:tan α= (α≠kπ+ ,k∈Z). 2 cos α 这就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商
π kπ+ ,k∈Z 2 等于角 α 的正切(α≠_____________) .

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三角函数

想一想 同角三角函数基本关系式对任意角α都成立吗?
sin α 提示:sin α+cos α=1 对于任意角 α∈R 都成立, = cos α
2 2

π tan α,只有当 α≠kπ+ (k∈Z)时成立. 2

做一做 sin22 014°+cos22 014°=________. 答案:1

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三角函数

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用同角三角函数关系求值
4

例1 (1)若 sin α=- ,且 α 是第三象限角,求 cos α,tan α 的值; 5
2sin α-2cos α (2)已知 tan α=2,求 的值. 4sin α-9cos α

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三角函数

【解】

4 (1)∵sin α=- ,α 是第三象限角, 5
2

∴cos α=- 1-sin α=-

?-4 ?2=-3, 1- 5 ? ? 5

sin α 4 ? 5? 4 tan α= =- × -3 = . 5 ? ? 3 cos α (2)∵tan α=2, 2sin α-2cos α 2tan α-2 2×2-2 ∴ = = =-2. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9

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三角函数

【名师点评】 已知某角的一个三角函数值,求该角的其 他三角函数值时要注意: (1)角所在的象限; (2)用平方关系求值时, 所求三角函数的符号由角所在的象 限决定; sin α (3)用商数关系时, 不要另加符号, 只需用公式 tan α= cos α 代入 sin α、cos α 的值即可求得 tan α.

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三角函数

题型二 例2

三角函数式的化简
1 -1,其中 α 是第二象限角. sin2α

化简 tan α

【解】 因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0. 故 tan α 1 -1 = tan α sin2α 1-sin2α = tan α sin2α

cos2α sin α cos α sin α -cos α = · | |= · =-1. sin2α cos α sin α cos α sin α

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三角函数

【名师点评】

化简三角函数式的一般要求是:

(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低; (2)尽量使分母不含三角函数式; (3)根号内的三角函数式尽量开出来; (4)能求得数值的应计算出来.

注意在对三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的变形.

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三角函数

跟踪训练
sin θ-cos θ 1.化简:(1) ; tan θ-1 (2) sin2θ-sin4θ,θ 是第二象限角.

sin θ-cos θ sin θ-cos θ sin θ-cos θ 解:(1) = = =cos θ. sin θ tan θ-1 sin θ-cos θ -1 cos θ cos θ (2)由于 θ 为 第二 象限 角, 所以 sin θ>0, cos θ<0, 故 sin2θ-sin4θ= sin2?1-sin2θ?= sin2θcos2θ =|sin θcos θ|=-sin θcos θ.

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三角函数

题型三 例3

三角恒等式的证明

求证:(1)sin4α-cos4α=2sin2α-1;

tan αsin α 1+cos α (2) = . sin α tan α-sin α

【证明】

(1)左边=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)

=sin2α-cos2α=sin2α-(1-sin2α) =2sin2α-1=右边, ∴sin4α-cos4α=2sin2α-1.

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三角函数

sin2α cos α sin2α (2)左边= = sin α sin α-sin αcos α -sin α cos α 1-cos2α 1+cos α = = =右边,所以原等式成立. sin α sin α?1-cos α?

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三角函数

【名师点评】

证明三角恒等式常用的方法有:

(1)由繁到简,从结构复杂的一边入手,经过适当的变形、配 凑,向结构简单的一边化简,或从等式两边同时入手,使它

们等于同一个数(式).
(2)从已知或已证的恒等式出发,根据定理、公式进行恒等变 形,推导出求证的恒等式. (3)比较法,证明待证等式的左、右两边之差为0. (4)从待证的恒等式出发,利用三角恒等变形公式,找出一个

显然成立的恒等式或已有的结论.
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跟踪训练

?1+ 1 ?= 1 + 1 . 2.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ? tan θ? sin θ cos θ
?1+sin θ ?+cos θ?1+cos θ ? 证明:左边=sin θ ? cos θ ? ? sin θ ?
sin2θ cos2θ =sin θ+ +cos θ+ cos θ sin θ cos2θ ? ? sin2θ ? =?sin θ+ + cos θ+ ? sin θ ? ? cos θ ? sin2θ+cos2θ ? ?sin2θ+cos2θ ? =? + ? sin θ ? ? cos θ ? 1 1 = + =右边.∴原式成立. sin θ cos θ
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方法感悟
1.解读同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的 三角函数的运算规律,这里,“同角”有两层含义:一

是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义
的前提下).关系式成立与角的表达形式无关, 如sin23α+cos23α=1.

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(2)注意公式的变形,如 sin2α=1-cos2α, cos2α= 1- sin α sin α,sin α=cos αtan α,cos α= 等. tan α
2

(3)在应用平方关系式求 sin α 或 cos α 时,其正负号是由 角 α 所在的象限决定的,不可凭空想象.

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2.三角函数式化简技巧 (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少 函数名称,达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式, 然后去根号达到化简的目的.

(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解或构
造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.

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精彩推荐典例展示
名师解题
例析 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 的密切关系
1 已知-π<x<0,sin x+cos x= . 5

例4

(1)求 sin xcos x 的值并指出角 x 所处的象限; (2)求 tan x 的值.

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抓信息

破难点

1 (1)由 sin x+cos x= ,两边平方可得 sin xcos x 的 5 值,由 sin xcos x 的符号再结合-π<x<0 可判断 sin x、cos x 的符号,从而确定 x 的象限. (2)利用(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x 关系, 可求得 sin x-cos x 的值,再结合条件可求 sin x、cos x 的 值,问题可以解决.

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三角函数

【解】
2

1 (1)由 sin x+cos x= ,两边平方,得 5
2

1 cos x+sin x+2sin xcos x= , 25 1 12 ∴1+2cos xsin x= ,即 cos xsin x=- . 25 25 ∵sin xcos x<0,且-π<x<0, ∴x 为第四象限角.

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49 (2)∵(sin x-cos x) =1-2cos xsin x= , 25
2

7 ∴sin x-cos x=± .∵x 为第四象限角,sin x<0,cos 5 7 x>0,∴sin x-cos x<0,∴sin x-cos x=- . 5 1 联立 cos x+sin x= ,得 5

? ? 4 ?cos x=5,

3 sin x=- , 5

sin x 3 ∴tan x= =- . 4 cos x

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知能演练轻松闯关

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