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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案72 数系的扩充与复数的引入


学案 72

数系的扩充与复数的引入

导学目标: 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示 法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、 减运算的几何 意义.

自主梳理 1.数系的扩充 数系扩充的脉络是:________→________→______

__,用集合符号表示为________? ________?________,实际上前者是后者的真子集. 2.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+ bi (a, b∈R)的数叫复数,其中 a, b 分别是它的 ________和 ________.若 ________,则 a+bi 为实数,若________,则 a+bi 为虚数,若________________,则 a+ bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?____________(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?____________(a,b,c,d∈R). (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面, 叫做复平面. ______叫做实轴, ______叫做虚轴. 实 轴上的点表示 ________ ;除原点外,虚轴上的点都表示 ________ ;各象限内的点都表示 ____________. 复数集 C 和复平面内________组成的集合是一一对应的,复数集 C 与复平面内所有以 ________为起点的向量组成的集合也是一一对应的. (5)复数的模 → 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z = a + bi 的模,记作 ______ 或 ________ ,即 |z| = |a + bi| = ____________. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=______________; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=________________; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=________________; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ④除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di? =________________________(c+di≠0). (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3∈C,有 z1+z2=________,(z1 +z2)+z3=______________________. 自我检测 2-i 1.(2011· 山东)复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(2011· 广东)设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 z 等于( ) A.1+i B.1-i C.2+2i D.2-2i 3.(2011· 大纲全国)复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数,则 z z -z-1 等于(
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)

A.-2i C.i

B.-i D.2i

i2+i3+i4 4.(2011· 重庆)复数 等于( ) 1-i 1 1 1 1 A.- - i B.- + i 2 2 2 2 1 1 1 1 C. - i D. + i 2 2 2 2 5 . (2011· 江 苏 ) 设复 数 z 满 足 i(z + 1) = - 3 + 2i(i 为 虚 数 单 位 ) , 则 z 的 实 部是 ________.

探究点一 复数的基本概念 例 1 设 m∈R,复数 z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i). (1)若 z 为实数,则 m=________; (2)若 z 为纯虚数,则 m=________. a2-7a+6 变式迁移 1 已知复数 z= 2 +(a2-5a-6)i (a∈R),试求实数 a 分别取什么值 a -1 时,z 分别为: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

探究点二 复数的四则运算 ?3-i?2 等于( 例 2 (2010· 全国Ⅱ)复数? ) ? ?1+i? A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i 变式迁移 2 计算: ?-1+i??2+i? (1) ; i3 2 ?1+2i? +3?1-i? (2) ; 2+i 1- 3i (3) . ? 3+i?2

D.3+4i

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例3

(2011· 唐山模拟)计算:

-2 3+i ? 2 ?2 012 ?4-8i?2-?-4+8i?2 +? . ? + 1+2 3i ?1+i? 11- 7i

变式迁移 3 (1)(2010· 四川)i 是虚数单位,计算 i+i2+i3 等于( ) A.-1 B.1 C.-i D.i 1+i 4 (2)(2010· 福建)i 是虚数单位,( ) 等于( ) 1-i A.i B.-i C.1 D.-1 1+i 1-i (3)i 是虚数单位, + 等于( ) ?1-i?2 ?1+i?2 A.i B.-i C.1 D.-1 探究点三 复数的点坐标表示 例 4 如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示 0,3+2i,-2+4i,试 求:

→ → (1)AO所表示的复数,BC所表示的复数; → (2)对角线CA所表示的复数; (3)求 B 点对应的复数.

变式迁移 4 (2011· 江苏苏北四市期末)复数 z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i 在复平面 内对应的点分别为 A,B,C,若∠BAC 是钝角,则实数 c 的取值范围为________________.

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?实数?b=0? 1.复数?a+bi?? ?b≠0? ― →纯虚数?a=0? ?虚数―
a+bi ?a+bi??c-di? 2.乘法法则:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;除法法则: = = c+di c2+d2 ac+bd bc-ad + i(c+di≠0).特别地:(a± bi)2=a2± 2abi-b2=a2-b2± 2abi,(a+bi)(a- c2+d2 c2+d2 2 2 bi)=a +b . 3.进行复数运算时,熟记以下结果有助于简化运算过程: + + + + + + (1)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,in+in 1+in 2+in 3=0 (n∈N); 1+i 1-i (2)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, =i, =-i. 1-i 1+i

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1+2i 1.(2011· 江西)若 z= ,则复数 z 等于( ) i A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 2.(2010· 北京)在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( ) A.-4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 3π 5π 3.(2011· 平顶山调研)若 θ∈( , ),则复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i 在复平面内 4 4 所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2+i 4.(2011· 课标全国)复数 的共轭复数是( ) 1-2i 3 3 A.- i B. i 5 5 C.-i D.i 5.下面四个命题: ①0 比-i 大; ②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数; ③x+yi=1+i 的充要条件为 x=y=1; ④如果让实数 a 与 ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) i+z2 6.已知 z1=2+i,z2=1-3i,则复数 的虚部为______. z1 z1 7.已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若 为实数,则实数 m=________. z2 8.(2011· 上海九校联考)复数 z=x+yi (x,y∈R)满足|z-1|=x,则复数 z 对应的点 Z(x,
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y)的轨迹方程为__________. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)已知|z|-z=1-2i,求复数 z.

10.(12 分)(2011· 上海)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚 部为 2,且 z1· z2 是实数,求 z2.

m?m-2? 11. (14 分)已知 m∈R, 复数 z= +(m2+2m-3)i, 当 m 为何值时, (1)z∈R; (2)z m-1 是纯虚数;(3)z 对应的点位于复平面第二象限;(4)z 对应的点在直线 x+y+3=0 上.

学案 72

数系的扩充与复数的引入

自主梳理 1.自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2.(1)实部 虚部 b=0 b≠0 a=0 且 b≠0 (2)a=c,b=d (3)a=c,b=-d (4)x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 所有的点 原点 O (5)|z| |a+bi| a2+b2 3 . (1) ① (a + c) + (b + d)i ② (a - c) + (b - d)i ③ (ac - bd) + (ad + bc)i ④

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?ac+bd?+?bc-ad?i c2+d2 (2) z2+z1 z1+(z2+z3) 自我检测 2-i ?2-i?2 4-4i-1 3 4 1.D [∵z= = = = - i, 5 5 5 2+i ?2+i??2-i? 3 4 ∴复数 z 对应的点的坐标为( ,- ),在第四象限.] 5 5 2.B [方法一 设 z=x+yi, 则(1+i)(x+yi)=x-y+(x+y)i=2, ? ? ?x-y=2, ?x=1, 故应有? 解得? 故 z=1-i. ?x+y=0, ?y=-1, ? ? 2?1-i? 2 方法二 z= = =1-i.] 1+i ?1+i??1-i? 3.B [∵z=1+i,∴ z =1-i,∴z·z =|z|2=2, ∴z·z -z-1=2-(1+i)-1=-i.] i2+i3+i4 -1-i+1 -i ?-i??1+i? 4.C [ = = = 1-i 1-i 1-i ?1-i??1+i? 1-i 1 1 = = - i.] 2 2 2 5.1 解析 设 z=a+bi(a、b∈R),由 i(z+1)=-3+2i, 得-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1=2,∴a=1. 课堂活动区 例 1 解题导引 根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念,利用它们的充要条件可 分别求出相应的 m 值.利用概念解题时,要看准实部与虚部. 1 (1)1 或 2 (2)- 2 解析 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. (1)若 z 为实数,则 m2-3m+2=0.∴m=1 或 2. 2 ? ?2m -3m-2=0, (2)若 z 为纯虚数,则? 2 ?m -3m+2≠0, ? 1 解得 m=- . 2 2 ? ?a -5a-6=0 变式迁移 1 解 (1)当 z 为实数时,则有? 2 , ?a -1≠0 ?
?a=-1或a=6 ? ∴? ,∴a=6,即 a=6 时,z 为实数. ? 1 ?a≠± (2)当 z 为虚数时, 则有 a2-5a-6≠0 且 a2-1≠0, ∴a≠-1 且 a≠6 且 a≠± 1.∴a≠± 1 且 a≠6. ∴当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时, z 为虚数.

a -5a-6≠0 ? ?a -7a+6 =0 (3)当 z 为纯虚数时,有? a -1 ? ?a -1≠0
2 2 2

2

a≠-1且a≠6 ? ? ,∴?a=6 ? 1 ?a≠±

.

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∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数. 例 2 解题导引 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项), 复 数的乘除运算是复数运算的难点, 在乘法运算中要注意 i 的幂的性质, 区分(a+bi)2=a2+2abi -b2 与(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分 母的共轭复数),此时要注意区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2 与(a+b)· (a-b)=a2-b2,防止实数 中的相关公式与复数运算混淆,造成计算失误. ?3-i?2=??3-i??1-i??2=?2-4i?2 A [? ? 2 ? ? 2 ? ?1+i? ? 2 =(1-2i) =-3-4i.] ?-1+i??2+i? -3+i 变式迁移 2 解 (1) = =-1-3i. i3 -i ?1+2i?2+3?1-i? -3+4i+3-3i (2) = 2+i 2+i i?2-i? 1 2 i = = = + i. 5 5 5 2+i 1- 3i ? 3+i??-i? -i ?-i?? 3-i? (3) = = = 4 ? 3+i?2 ? 3+i?2 3+i 1 3 =- - i. 4 4 + + + 例 3 解题导引 注意 in (n∈N)的周期性,i4k 1=i,i4k 2=-1,i4k 3=-i,i4k=1 (其 1+i 1-i 中 k∈N),以及(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, =i, =-i 等运算结果在解题中的应用, 1-i 1+i 运算的最后结果化为 a+bi (a,b∈R)的形式. ?-2 3+i??1-2 3i? ? 2 ?1 006 ?4-8i?2-?4-8i?2 解 原式= + ?1+i?2 ? ? + 12+?2 3?2 11- 7i 13i ?1?1 006 = +? i ? +0 13 =i+(-i)1 006=i+i2=i-1=-1+i. 变式迁移 3 (1)A (2)C (3)D 解析 (1)i+i2+i3=i+(-1)+(-i)=-1. 1+i 4 1+i 2 2 2i 2 (2)( ) =[( ) ] =( ) =1. 1-i 1-i -2i 1+i 1-i 1+i 1-i (3) + = + ?1-i?2 ?1+i?2 -2i 2i -1-i+1-i -2i = = =-1. 2i 2i 例 4 解题导引 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某 个向量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可. → → → 解 (1)∵AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → → (2)∵CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → → → (3)∵OB=OA+AB=OA+OC, → ∴OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. 49 变式迁移 4 c> 且 c≠9 11

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→ → 解析 在复平面内三点坐标分别为 A(3,4), B(0,0), C(c, 2c-6), 由∠BAC 是钝角得AB· AC 49 → <0 且 B、A、C 不共线,由(-3,-4)· (c-3,2c-10)<0,解得 c> ,其中当 c=9 时,AC= 11 → (6,8)=-2AB,三点共线,故 c≠9. 课后练习区 1+2i ?1+2i?i 1.D [∵z= = =2-i, i -1 ∴ z =2+i.] 2.C [复数 6+5i 对应 A 点的坐标为(6,5),-2+3i 对应 B 点的坐标为(-2,3).由中点 坐标公式知 C 点坐标为(2,4),∴点 C 对应的复数为 2+4i.] 3π 5π 3.B [由三角函数线知识得当 θ∈( , )时, 4 4 sin θ+cos θ<0,sin θ-cos θ>0,故选 B.] 2+i ?2+i??1+2i? 2+i+4i-2 4.C [方法一 ∵ = = 5 1-2i ?1-2i??1+2i? =i, 2+i ∴ 的共轭复数为-i. 1-2i 2+i -2i2+i i?1-2i? 方法二 ∵ = = =i. 1-2i 1-2i 1-2i 2+i ∴ 的共轭复数为-i.] 1-2i 5.A [(1)中实数与虚数不能比较大小; (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数,但两个复数的和为实数时这两个复数不一定 是共轭复数; (3)x+yi=1+i 的充要条件为 x=y=1 是错误的,因为没有标明 x,y 是否是实数; (4)当 a=0 时,没有纯虚数和它对应.] 6.-1 i+z2 i+1-3i ?1-2i??2-i? 解析 = = =-i, z1 5 2+i 故虚部为-1. 3 7.- 2 z1 m+2i ?m+2i??3+4i? 解析 = = z2 3-4i 25 3m-8+?6+4m?i 3 = 是实数,∴6+4m=0,故 m=- . 25 2 2 8.y =2x-1 解析 由|z-1|=x 得|(x-1)+yi|=x, 故(x-1)2+y2=x2,x≥0,整理得 y2=2x-1. 9.解 设 z=a+bi (a、b∈R), 则 a2+b2-(a+bi)=1-2i.(5 分) 由两复数相等的充要条件得

? a2+b2-a=1, ? ?-b=-2,
3 ? ?a=2 解得? .(10 分) ? ?b=2,
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3 所以所求复数为 z= +2i.(12 分) 2 10.解 (z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i.(4 分) 设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1· z2∈R,∴a=4.∴z2=4+2i.(12 分) 11.解 (1)当 z 为实数时,则有 m2+2m-3=0 且 m-1≠0 得 m=-3,故当 m=-3 时,z∈R.(2 分) m?m-2? ? ? =0 (2)当 z 为纯虚数时,则有? m-1 ? ?m2+2m-3≠0. 解得 m=0,或 m=2. ∴当 m=0 或 m=2 时,z 为纯虚数.(4 分) m?m-2? ? ? <0. (3)当 z 对应的点位于复平面第二象限时,则有,? m-1 ? ?m2+2m-3>0 解得 m<-3 或 1<m<2, 故当 m<-3 或 1<m<2 时, z 对应的点位于复平面的第二象限. (8 分) (4)当 z 对应的点在直线 x+y+3=0 上时, m?m-2? 则有 +(m2+2m-3)+3=0, m-1 m?m2+2m-4? 得 =0, m-1 解得 m=0 或 m=-1± 5. ∴当 m=0 或 m=-1± 5时, 点 Z 在直线 x+y+3=0 上.(14 分)

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