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创新设计2011高考数学(理)一轮复习随堂演练--8.9直线与圆锥曲线的位置关系


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8.9
一、选择题

直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y2 1.AB 为过椭圆 2+ 2=1 中心的弦,F(c,0)为它的焦点,则△FAB 的最大面积为 . 中心的弦, 为它的焦点, 的最大面积为( 为它的焦点 a b A.b2 . B.ab . C.ac . D.bc .

)

1 解析: 解析:设 A、B 两点的坐标为 1,y1)、(-x1,- 1),则 S△FAB=2|OF||2y1|=c|y1|≤bc. 、 两点的坐标为(x 、 - ,-y , = ≤ 答案:D 答案: 2.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k 的值为 . 有且只有一个公共点, 的值为( = + A.1 B.1 或 3 C.0 D.1 或 0 B. C. D.
y=kx+2, y =8x,
2

)

解析: 解析:由

16= 64-64k 0 = 得 ky -8y+16=0,若 k=0,则 y=2,若 k≠0,则 =0,即 64-64k=0 解得
2

2

2 有且只有一个公共点, k=1,因此直线 y=kx+2 与抛物线 y =8x 有且只有一个公共点,则 k=0 或 k=1.

答案: 答案:D x2 y2 2 3.已知椭圆 C 的方程为 + 2=1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是 . , =2 16 m 椭圆的右焦点 , 的值为( ) 椭圆的右焦点 F,则 m 的值为 A.2 . B.2 2 . C.8 . D.2 3 . x2 y2 16-m2)在椭圆 + 2=1(m>0)上, - 在椭圆 上 16 m

2 则点( 解析: 解析:根据已知条件 c= 16-m2,则点 16-m2, 2 = - - 16-m2 16-m2 - - ∴ 16 + 2m2 =1 可得 m=2 2. = 答案: 答案:B

x2 4.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为 . 的最大值为( 、 两点, 的最大值为 4 A.2 . 4 5 B. 5 4 10 C. 5

) 8 10 D. 5

2 2 x +4y =4, , 解析: 两点, 解析:设椭圆截直线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0. , , 两点 + = = +, y=x+t,

4(t2-1) 8 则有 x1+x2=-5t,x1x2= 5 . , ∴|AB|= = 1+k2|x1-x2|= 2 + = 4(t2-1) 4 2 8 (- t)2-4× - × 5 = 5 5 5-t2, -

4 10 当 t=0 时,|AB|max= 5 . = 答案: 答案:C

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二、填空题 x2 y2 5.直线 y=kx+1 与椭圆 +m=1 恒有公共点,则 m 的取值范围是 . 恒有公共点, 的取值范围是______. = + . 5 x2 y2 解析: 表示椭圆, 解析:∵方程 5 +m=1 表示椭圆,∴m>0 且 m≠5.∵直线 y=kx+1 恒过 ≠ ∵ = + 恒过(0,1)点, 点 02 12 ∴要使直线与椭圆总有公共点,应有: 5 +m≤1,m≥1,∴m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5. 要使直线与椭圆总有公共点,应有: , ≥ , ≥ ≠ 答案: ≥ 答案: m≥1 且 m≠5 ≠ 6.直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A、B 不同两点,且 AB 的中点横坐标为 2,则 k 的 . 、 不同两点, , = - 是________. .
y=kx-2, y =8x,
2 2 2



解析: 解析:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由

4(k 消去 y 得 k x -4(k+2)x+4=0,

= 4 =[-4(k+2)] -4×k ×4>0, 由题意得 4(k+ 2) 2 x1+x2= k2 =2×2, 答案: 答案: 2

2

2



k>-1, >-1 =-1 k=-1或k=2,

即 k=2.

x2 π 的轨迹方程是________. 7.倾斜角为 的直线交椭圆 +y2=1 于 A、B 两点,则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是 . 、 两点, . 4 4 x2 1 解析:设 M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则有 +y2=1,① 解析: , , , , , 1 4
2 x2 2 y 1, 4 + 2= , ②

1 ①-②得4(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.③ + = ③ π y1-y2 又直线 AB 的斜率 k=tan4= =1,∴y1-y2=x1-x2.④ , ④ x 1- x 2 x 1+ x 2 y1+y2 由中点坐标公式得 2 =x, 2 =y, , , 即 x1+x2=2x,y1+y2=2y.⑤ , ⑤ =-4y, 把④⑤代入到③中得 x=- ,∴直线方程为 x+4y=0, ④⑤代入到③ 代入到 =- + = ,

x +y2=1, , 由 4 x+4y=0, + = ,

2

16 4 5 4 5 得 x2= 5 .∴x1=- 5 ,x2= 5 . ∴

4 5 4 5 ∴点 M 的轨迹方程为 x+4y=0(- 5 <x< 5 ). + = - .

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4 5 4 5 答案: + = - 答案:x+4y=0(- 5 <x< 5 ) 三、解答题 8.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与该椭圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ, . ,焦点在坐标轴上, = + , ⊥ , 10 |PQ|= 求椭圆方程. = 2 ,求椭圆方程.
2 2 解答: 解答:设椭圆方程为 mx +ny =1(m>0,n>0,且 m≠n),设 P(x1,y1),Q(x2,y2). , , ≠ , , .

y=x+1, = + , 2 + - = , = 2 + - , 由 2 消去 y,整理得 +n)x +2nx+n-1=0,=4n -4(m+n)(n-1)>0, ,整理得(m+ 2 , mx +ny =1,

即 m+n-mn>0,OP⊥OQ 等价于 x1x2+y1y2=0, + - , ⊥ , 代入, , + = , 将 y1=x1+1,y2=x2+1 代入,整理得 2x1x2+(x1+x2)+1=0, 2(n-1) - 2n - ∴ +1=0m+n=2,① = + = , m+n m+n + + 4(m+n-mn) + - 10 3 由弦长公式, =( 2 )2,将 m+n=2 代入,得 mn=4.② + = 代入, = ② 由弦长公式,得 2 (m+n)2 + = m=2, ①②得 解①②得 3 = n=2, 1 = m=2, 或 1 = n=2. 3

x2 3y2 3x2 y2 显然满足 >0,故所求椭圆的方程为 2 + 2 =1 或 2 + 2 =1. , 9.过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 P、Q 两点,PQ 的垂直平分线交抛物线的对称轴于 R 点,求证: . 求证: 、 两点, 1 |FR|= |PQ|. =2
2 证明:证法一: 证明:证法一:如图设抛物线方程为 y =2px,p>0 则直线 PQ 的方程为 y=k(x- ),k≠0,设 P、Q 两 0 2 2

p

点的坐标为(x1,y1),(x2,y2) 点的坐标为(

y =2px, 由 p y=k(x-2),
2 2 2 2 ∴=p (k +2) -4k = 2 2 2 2

2

2 2 2 得 k x -p(k +2)x+

2 2

2

k 2p 2
4

= 0,

k 2p 2
4

2 2 2 = 4p k + 4p .

2 2

2

2 2p(1+ k ) p ( k 2+ 2 ) p2 2 且 x 1+ x 2= ,x1x2= ,|PQ|= 1+k |x1-x2|= . 4 k2 k2 2 x 1+ x 2 p ( k 2+ 2 ) y 1+ y 2 x 1+ x 2 p p(k +2)-p=p. = ,得 =k ( - )=k 2 2 2 k 2 2k 2 2 2 2k



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1 p(k + 2) p ∴直线 PQ 垂直平分线的方程为 y- =- x- 2 , 2k k k
2 2 p ( k 2+ 2 ) p+p(k +2)-p=p(1+k ). 令 y= 0, 得 x= p+ ,∴|FR|= 2 2 2 2k 2k k2

2

1 因此| 因此|FR|= |PQ|. 2 证法二: 两点坐标为( 证法二 : 设 P 、 Q 两点坐标为 (
2 2

y2 y2 1 2 2 , y1) 、 ( , y2) , 由直线 PQ 过 F 点可证 y1y2 =- p , |PQ| = 2p 2p
2

( y 1- y 2) 2p y1 y2 2 y 2- y 1 2 ( - ) + ( y 1- y 2) = ,直线 PQ 的斜率为 2 . 2= 2p 2p 2p y 2 y 1 y 1+ y 2 - 2p 2p

y 1+ y 2 y 2+ y 2 1 2 ∴直线 PQ 垂直平分线方程为 y- =- ( x- ), 2 2p 4p y 1+ y 2
令 y= 0, 得 x= p+

y 2+ y 2 y 2+ y 2 p 1 2 1 2 ,∴|FR|=(p+ )- 4p 4p 2



1 y 2+ y 2+ 2 p 2 ( y 1- y 2) 2 1 2 = ,则|FR|= |PQ|. 4p 4p 2

证法三:如上图, 证法三:如上图,PQ 的中点为 M,过 P、Q、M 分别作 PP′、MM′、QQ′ 、 、 垂直于抛物线的准线 x=- ,连结 M′F、M′P,由抛物线的定义得 2 1 1 1 |)= |)= |MM′|= (|PP′|+|QQ′|)= (|PF|+|QF|)= |PQ|=|MP|,∴∠M′PM=∠PM′M=∠P′PM′. | | |) . 2 2 2 的公共边, 又|PP′|=|PF|,PM′为△PM′P′与△PM′F 的公共边,∴△PM′P′≌△PM′F,则 M′F⊥PQ. | 为 与 ≌△ 为平行四边形. 又 MR⊥PQ,∵M′F∥MR,又 MM′∥FR,∴四边形 FRMM′为平行四边形. ∥ 为平行四边形 1 ∴|FR|=|MM′|= |PQ|. | 2 10.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 为椭圆上的任意一点,|MF|的最大值 .已知椭圆的中心在原点, 轴上, , 为椭圆上的任意一点, 的最大值 4 10 = 和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为对称轴的点 M1 和 M2,且|M1M2|= 3 ,求椭圆 , = 方程. 方程. x2 y2 解答: 解答:设所求椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), , x2 y2 1 1 M1、M2 两点的坐标分别为 1,y1)、(y1,x1),x1>0,则(a+c)(a-c)=4,即 b2=4,且 2+ 2=1,① 两点的坐标分别为(x 、 , , + - = , , a b ,
2 y1 x2 1 1, a 2 + b 2= , ②

P

(x1-y1)(x1+y1) (y1-x1)(y1+x1) ①-②得 + =0, , a2 b2

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1 1 2 2 =-x ∵x1≠y1,∴(a2-b2)(x1+y1)=0,∴y1=- 1,|M1M2|= (2x1) +(-2x1) =2 2x1. = , = - 4 10 2 5 又|M1M2|= 3 ,∴x1= 3 . = x2 y2 2 5 2 5 20 5 ∴M1 点的坐标为( 点的坐标为 ,- )代入方程 2+ =1 得 2+ =1,解得 a2=5. 代入方程 , 3 3 9a 9 a 4 x2 y2 因此所求椭圆的方程为 5 + 4 =1. ★ 选做题 1.A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB(O 为坐标原点 .求证: . 、 上的两点, 为坐标原点).求证: > 上的两点 ⊥ (1)A,B 的横坐标之积为定值;(2)直线 AB 经过一定点. , 的横坐标之积为定值; 直线 经过一定点. 证明: 设 证明:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 y2=2px1,y2=2px2, , , 1 2 又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∵y2y2=4p2x1x2, ⊥ , , 1 2
2 2 2 =-x 代入, 得知, 将 y1y2=- 1x2 代入,得 x1x2=4p x1x2,得知,x1x2≠0, ,

∴x1x2=4p2,故 A,B 两点横坐标之积为定值 4p2. , y2-y1 2p (2)∵y2-y2=(y2+y1)(y2-y1)=2p(x2-x1),x1≠x2.∴ ∵ 2 1 = , ∴ = , x2-x1 y1+y2 2p (x-x1), ∴直线 AB 的方程为 y-y1= - - , y1+y2 y2 2p 2p y2 2p y1y2 1 1 x+y1- = x+ 又由 x1=2p,得 y= = + + , y1+y2 y1+y2 2p y1+y2 y1+y2 2p 4p2 2p =-x =-4p 代入, x- (x-2p), 由(1)y1y2=- 1x2=- 2 代入,可得 y= = - = - , y1+y2 y1+y2 y1+y2 过定点(2p,0). 所以直线 AB 过定点 . 2.如图,设抛物线方程为 x2=2py(p>0),M 为直线 y=- 上任意一点,过 M .如图, =-2p , =- 上任意一点, 引抛物线的切线, 引抛物线的切线,切点分别为 A,B. , (1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列; 求证: , , 三点的横坐标成等差数列; 求证 求此时抛物线的方程; (2)已知当 M 点的坐标为 ,- 时,|AB|=4 10.求此时抛物线的方程; 已知当 点的坐标为(2,- ,-2p)时 = 求此时抛物线的方程 x2 x2 1 2 解答: 证明 证明: ,-2p). 解答:(1)证明:由题意设 A(x1,2p),B(x2,2p),x1<x2,M(x0,- . , , x2 x x1 x2 由 x2=2py 得 y=2p,得 y′=p,所以 kMA= p ,kMB= p . = ′ x1 x2 因此直线 MA 的方程为 y+2p= p (x-x0),直线 MB 的方程为 y+2p= p (x-x0). + = - , + = - . x2 x1 1 所以2p+2p= p (x1-x0),① = ,
2 x2 x2 2p (x x ). 2p+ p 2- 0 .②

p

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x 1+ x 2 x 1+ x 2 由①、②得 =x1+x2-x0,因此 x0= ,即 2x0=x1+x2. 2 2 所以 A,M,B 三点的横坐标成等差数列. , , 三点的横坐标成等差数列.
2 (2)由(1)知,当 x0=2 时,将其代入①、②并整理得:x2-4x1-4p2=0,x2-4x2-4p2=0, 由 知 将其代入① 并整理得: 1 , , 2 2 的两根, =-4p2 所以 x1,x2 是方程 x -4x-4p =0 的两根,因此 x1+x2=4,x1x2=- , - , 2 x2 x1 2 -2p 2p x 1+ x 2 x 0 2 又 kAB= = 2p = p ,所以 kAB=p. x 2- x 1

由弦长公式得|AB|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2= = + 由弦长公式得

4 1+ 2 + p

16+16p2. +

又|AB|=4 10,所以 p=1 或 p=2,因此所求抛物线方程为 x2=2y 或 x2=4y. = , = = ,


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