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2012-2013学年浙江省余姚中学高一上学期期中数学理试卷


余姚中学

2102 学年度 第一学期

高一数学期中考试试卷

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、已知集合 A ? ? x ? R | x 2 ? a? ,使集合 A 的子集个数为 2 个的 a 的值为( A、-2 B、4 C、0

D、以上答案都不是 ( ) )

2、函数 y ? log a ? 4 x ? 1? ? 1 ,(a>0 且 a≠1) 图象必过的定点是 A、 (4,-1)
? ? 1

B、 (1,0)
? ?

C、 (0, -1)
?

D、 ( , ?1 )
2

1

3、设 ? ? ? ?1, , ,1, 2, 3? ,则使 f ? x ? ? x 为奇函数且在 ?0,?? ? 上单调递增的 ? 的值的
2

个数是 A 、1 4、函数 y ?
xa
x

( B、2 C、3 D、4 (



(0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是



|x|

5、设函数 f ( x) ? ? A、 ?4 或 ?2

? ? x, x ? 0, ? x , x ? 0,
2

若 f (? ) ? 4 ,则实数 ? ? C、 2 或 ?4
c a ? c b ?

( D、 ?2 或 2 ( D、 4

)

B、 4 或 ?2
c

a b 6、若 5 ? 2 ? 10 2 且 abc ? 0 ,则



A、 2

B、 1

C、 3

7、若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”, 例如函数 y ? x , x ? ?1,2? 与函数 y ? x , x ? ?? 2,?1?即为“同族函数”.请你找出
2 2

下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是





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A、 y=

1 x

B、 y ? 2 x

C、 y ?

4 | x ?3|

D、 y ? lg( x ?

x ? 1)
2

8、 设对任意实数 x ? [?1,1] , 不等式 x 2 ? ax ? 3a ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 (



A、 a ? 0

B、 a ?

1 2

C、 a ? 0 或 a ? ?12

D、 a ?

1 4

9、已知定义在 R 上的函数 y ? f (x) 满足下列三个条件: ①对于任意的 x ? R都有f ( x ? 4) ? f ( x) ;②对于任意的 0 ? x1 ? x 2 ? 2都有f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ③函数 y ? f ( x ? 2)的图象关于 y 轴对称. 则下列结论正确的是 A、 f (6.5) ? f (5) ? f (15.5) C、 f (5) ? f (15.5) ? f (6.5) 10、已知函数 f ( x) ? ?
?(3a ? 1) x ? 5a, ? log a x ,



) B、
f (5) ? f (6.5) ? f (15.5)

D、 f (15.5) ? f (5) ? f (6.5)
x ?1 x ?1
1 8

,现给出下列命题: ;

① 当图象是一条连续不断的曲线时,则 a =

② 当图象是一条连续不断的曲线时,能找到一个非零实数 a ,使得 f ( x) 在 R 上是增函数; ③ 当 a ? ?m |
? ? 1 8 ?m? 1 ? , m ? R ? 时,不等式 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ? 0 恒成立; 3 ?
2

④当 a ?

1 4

时,则方程 f ( x ? 1) ? f (2 x ? 4) ? 0 的解集为 ??1, 3? ;

⑤函数 y ? f

? x ? 1 ? 是偶函数

. 其中正确的命题是 C、 ①③④

( D、 ①②③④⑤



A 、 ①②③

B、 ②④⑤

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、求值: log 8 (log 2 16) = 12、已知函数 f ( x) ? ? x ? log 2
1? x

1? x 1? x

,则 f (

1 2012

) ? f (?

1 2012

)=

.

13、函数 f ( x) ? 2

x

的值域为

.

? 2 ?x +1,x≥0, 14、已知函数 f(x)=? 则满足等式 f(1-x2)=f(2x)的实数 x 的集合是______. ?1,x<0, ?

15、设函数 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 在区间[0,2]上有两个零点,则实数 m 的取值范围
2

是 16、下列各式中正确的有 ...

. .(把你认为正确的序号全部写上)

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(1) [(?2) 2 ]

?

1 2

??

1 2;

(2)已知 log a
?x

3 4

? 1, 则 a ?

3 4



(3)函数 y ? 3 的图象与函数 y ? ?3
x 2

的图象关于原点对称;
1

(4)函数 y ? lg(? x ? x) 的递增区间为 (??, ] ;
2

(5)若函数 f ( x) ? 2 lg( x ? a ) ? lg( x ? 1) 有两个零点,则 a 的取值范围是 (?
? lg x
2

5 4

, ?1] .

17 、 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) ? ?

( x ? 0)

? ? x ? 2 x ( x ? 0)

, 若 关 于 x 的 方 程

则 2 f ( x ) ? 2bf ( x ) ? 1 ? 0 有 8 个不同的实数根, b 的取值范围为
2

.

三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18、 (本题满分 14 分)设全集 U ? R ,集合 A ? { x | | x ? a | ? 1} , B ? { x | (1)求集合 B ; (2)若 A ? ? B ,求实数 a 的取值范围. U
2 2 ?1
x

x ?1 x?2

? 2}.

19、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ?



(1)判断函数 f ( x) 的单调性,并证明; (2)若 f ( x) 为奇函数,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,解不等式: f (log 1 x) ? f (1) ? 0
4

20、 (本题满分 14 分)已知函数 y ? (1)求 M ;

2? x 2? x

? lg(? x ? 4 x ? 3) 的定义域为 M ,
2

(2)当 x ? M 时,求函数 f ( x) ? a ? 2

x?2

? 3 ? 4 ( a ? ?3) 的最小值。
x

21、 (本题满分 15 分)已知函数 f ? x ? ? ?

? x ? 1, x ? 1 ? ?1 ? ? x, 0 ? x ? 1

(1)当 0 ? a ? b ,且 f ? a ? ? f ? b ? 时,求 a ? b 的值; (2)是否存在 ? a, b ? ? ?1, ?? ? , 使得 f ? x ? 在 [a, b] 上的值域为 ? ma, mb ? ? m ? 0 ? ?如果存在, 请求出 m 的取值范围;反之,请说明理由。
1

22、 (本题满分 15 分)设 f ( x) ? ax ? bx ? 1 , (a, b 为常数) .若 f ( ) ? 0 ,且 f ( x) 的最
2

2

小值为 0 , (1)若 g ( x) ?

f ( x) ? k ? 1 x

在 ?1, 2? 上是单调函数,求 k 的取值范围.

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(2)若 g ( x) ?

f ( x) ? k ? 1 x

,对任意 x ? ?1, 2? ,存在 x0 ? ? ?2, 2? ,使 g ( x) ? f ( x0 ) 成立。

求 k 的取值范围。

余姚中学

2102 学年度 第一学期

高一数学期中考试答题卷
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一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
题目 选项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、 12、 13、 14、

15、

16、

17、

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 座位号 18、 (本题满分 14 分)

19、 (本题满分 14 分)

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20、 (本题满分 14 分)

21、 (本题满分 15 分)

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22、 (本题满分 15 分)

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余姚中学第

2 0 12 学年度 一 学 期

高一数学期中试题答卷

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
题目 选项 1 C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 A 7 C 8 B 9 A 10 C

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 2/3 12. 0 13.
{x | x ? 0, 且x ? 2}

14. x | x ? ?1, 或x ?

?

2 ? 1 15 . ?

?

3 2

? m ? ?1

16. (3) (5)

17. b ? (? , ? 2)
2

3

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)

(1)B ? ( ??, 2) U [5, ??) (2)?u B ? [2, 5), A ? {x | a ? 1 ? x ? a ? 1} 1 ? a ? 5? ? ? a ? [3, 4] a ? 1 ? 2?
19. (本小题满分 14 分)
(1)设x1 ? x 2 , 则f ( x1 ) ? f (x 2 ) ? a ? f (x)在R上单调递增。 (2) Q f (0) ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1, 这时有f ( ? x) ? ?f (x). (3)f (log 1 x) ? ?f (1) ? f ( ?1)
4

2 2
x1

?1

-(a2

2
x2

2(2 1 ? 2 2 ) )? ?0 x x ?1 (2 1 ? 1)(2 2 ? 1)
x x

log 1 x ? ?1
4

所以不等式的解集为 ?x | 0 ? x ? 4?

20. (本小题满分 14 分)
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(1) ? ? 2?x ? 2?x ? 0 2] ? ? 1 ? x ? 2,? M ? (1, ? 2 ? x ? 4x ? 3 ? 0 ? ? ?0
(2)令2 ? t ? (2, 4], f (x) ? g(t) ? 4at ? 3t ? 3(t ?
x 2

2?x

2a 3

) ?
2 2

4a 3

2

1 ? 6 ? a ? ?3, 即2<0

2a 3

? 4, g(t) min ? g(-

2a 3

)??

4a 3

2 a ? ?6,即0

2a 3

? 4, g( t ) min ? g(4) ? 48 ? 16a

? f ( x ) min

?16a ? 48, a ? ?6 ? 2 ?? 4a , ? 6 ? a ? ?3 ?? 3 ?

21. (本小题满分 15 分) (1) y ? f ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数,?1, ?? ? 上为增函数;由 0 ? a ? b ,且 f ? a ? ? f ? b ? , 可得 0 ? a ? 1 ? b 且 1 ? a ? b ? 1 ?
a? b ? 2;
? a ? 1 ? ma ? ? b ? 1 ? mb ?

(2)

? a, b ? ? ?1, ?? ? , y ? f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,有 ?
x ? 1 ? 0 的两个根
1 x 1 x 1 x

,此时 a, b 是方程

mx ?

m??

?

, x ? 1 ,令 t ?

? ? 0,1? , m ? ?t ? t ? 0 ? m ?
2

1 4



?m ? 0 ? 1 1 ? 1 2 ?1 ?0?m? 或t ? ? ? 0,1? , g ? t ? ? mt ? t ? 1 ,有 ? 4 x ? 2m ? g ?1? ? 0, g ? 0 ? ? 0 ?

22. (本小题满分 15 分)

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(1) f ( x) ? 4 x ? 4 x ? 1, g ( x) ? 4 x ?
2

k x

?4

k的取值范围是k ? 4, k ? 16. (2) f ( x)的最大值为25,x ? 4 在[ ,]恒成立,等价于 1 2 4x ? 29 x ? k ? 0在[ ,]恒成立 1 2 所以k<25
2

k x

? 4 ? 25

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