当前位置:首页 >> 数学 >>

世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十八) 8.6


圆学子梦想 铸金字品牌

温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。

课时提升作业(四十八)
双 曲 线 60 分) (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设 P 是双曲线 则|PF2|等于( A.1 C.1 或

17
x 2 y2 ? =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9, 16 20

) B.17 D.以上答案均不对

【解析】 选 B.由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1 或 17,但应 注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17. 【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为 2>1,从而 误选 C. 2.(2015· 天水模拟)若双曲线 则 m 的值为( A.3 B.4 ) C.5 D.6
x2 y2 ? =1 的左焦点与抛物线 y2=-8x 的焦点重合, m m?2

【解析】选 A.因为双曲线 以 m+m-2=4,即 m=3. 【加固训练】与椭圆 C:

x2 y2 ? =1 的左焦点与抛物线 y2=-8x 的焦点重合,所 m m?2

y2 x 2 ? =1 共焦点且过点(1, 3 )的双曲线的标准方程为 16 12
-1-

圆学子梦想 铸金字品牌

( A.x2y2 =1 3

)

B.y2-2x2=1
y2 D. -x2=1 3 y2 x 2 ? =1 的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程 16 12

y2 x 2 C. - =1 2 2

【解析】选 C.椭圆 为

y2 x 2 ? =1(m>0,n>0), m n

?3 1 ? ? 1, 则? 解得 m=n=2,故选 C. ?m n ? ?m ? n ? 4,

3.(2015·沈阳模拟)已知双曲线

x 2 y2 ? =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a 2 b2

点 M 在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线离心率的最大值为( A.
4 3

)

B.

5 3

C.2

D.

7 3

【解析】选 A.因为|MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|, 即 2a=6|MF1|≥6(c-a), 故 8a≥6c,即 e= ? . 4.(2015·贵阳模拟)已知双曲线 的左焦点为圆心,半径为 A.
5 4 c a 4 3

y2 x 2 x 2 y2 ? ? =1(a>0) 的两条渐近线与以椭圆 =1 a2 9 25 9

B.

5 3

16 的圆相切,则双曲线的离心率为( 5 4 6 C. D. 3 5

)

【解析】选 A.双曲线

a y2 x 2 x 2 y2 x ? ? =1(a>0) 的渐近线方程为 y= 〒 ; 椭圆 =1 的 3 a2 9 25 9 16 x 2 y2 ? =1 的左焦点为圆心、 半径为 的圆 5 25 9

左焦点为(-4,0),因为渐近线与以椭圆

-2-

圆学子梦想 铸金字品牌

相切,所以

| ?4a | 3 ?a
2 2

=

16 5 ,解得 a=4,所以双曲线的离心率为 . 5 4

5.(2014·温州八校联考)设 F1,F2 是双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为 ( A. B. C. D. )

【解析】选 C.不妨设 P 是双曲线右支上的一点,根据定义可得|PF1|-|PF2|=2a, 又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,且 c>a,所以△PF1F2 的最 小内角为∠PF1F2=30°,根据余弦定理可得 cos∠PF1F2= 即 c=ae 代入化简可得 e= . = ,又 e= ,

【方法技巧】双曲线离心率的求解方法 (1)直接法:利用已知条件直接求出 a,c 的值,再利用离心率公式直接求解. (2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系 e= 求解.

(3)利用关于 a,c 的齐次式:利用已知条件,寻找 a 与 c 的关系式,然后求解. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·成都模拟)已知圆 x2+y2-4x-9=0 与 y 轴的两个交点 A,B 都在某双曲线 上 , 且 A,B 两 点 恰 好 将 此 双 曲 线 的 焦 距 三 等 分 , 则 此 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 .

【解析】易知圆与 y 轴的交点坐标为(0,3),(0,-3),因为圆 x2+y2-4x-9=0 与 y 轴 的两个交点 A,B 都在某双曲线上,所以双曲线的焦点在 y 轴上,且 a=3,又 A,B 两 点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以 c=9,所以 b2=72,所以此双曲线的标准方 程为
y2 x 2 ? =1. 9 72

-3-

圆学子梦想 铸金字品牌

答案:

y2 x 2 ? =1 9 72

7.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,P 是双曲线右支上的动点,若 A(1,4),则 |PF|+|PA|的最小值是 .

【解析】因为 A 点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为 F′(4,0),于是由双 曲 线 的 定 义 得 |PF|-|PF ′ |=2a=4. 而 |PA|+|PF ′ | ≥ |AF ′ |=5. 两 式 相 加 得 |PF|+|PA|≥9,当且仅当 A,P,F′三点共线时,等号成立. 答案:9 【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法 与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和 求最值,然后再借助于平面几何的性质求解. 8.过已知双曲线
x 2 y2 2 2 ? 2 =1(b>0)的左焦点 F1 作☉O:x +y =4 的两条切线,记切点为 4 b

A,B,双曲线的左顶点为 C,若∠ACB=120°,则双曲线的离心率为 【解析】如图,

.

因为∠OCA=60°,|OC|=|OA|=2, 所以∠AOC=60°,∠AF1C=30°, 所以 e= ? 答案:2
-4-

c a

1 =2. sin30?

圆学子梦想 铸金字品牌

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.过双曲线
x 2 y2 ? =1 的右焦点 F2,倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A,B 两点,O 3 6

为坐标原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|. (2)求△AOB 的面积. 【解析】(1)由双曲线的方程得 a= 3 ,b= 6 , 所以 c= a 2 ? b2 =3,F1(-3,0),F2(3,0). 直线 AB 的方程为 y= 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
? 3 y? ? x ? 3? , ? ? 3 由? 2 2 ? x ? y ? 1, ? ?3 6
3 (x-3). 3

得 5x2+6x-27=0. 所以 x1+x2=- ,x1x2=6 5 27 . 5

所以|AB|= 1? k2 |x1-x2|
? 1? ( ? 4 3 3 2 ) 3

? x1 ? x 2 ?

2

? 4x1x 2

36 108 16 3 ? ? . 25 5 5

(2)直线 AB 的方程变形为 3 x-3y-3 3 =0. 所以原点 O 到直线 AB 的距离为 d=
?3 3 3 ? . 2

? 3?

2

? ? ?3?

2

所以 S△AOB= |AB|〃d= 〓

1 2

1 2

3 12 3 16 3 〓 = . 2 5 5
-5-

圆学子梦想 铸金字品牌

10.已知椭圆 C1 的方程为

x2 +y2=1,双曲线 C2 的左、 右焦点分别是 C1 的左、 右顶点, 4

而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程. (2)若直线 l:y=kx+ 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 中 O 为原点),求 k 的取值范围. 【解析】(1)设双曲线 C2 的方程为 则 a2=4-1=3,c2=4,再由 a2+b2=c2, 得 b2=1, 故 C2 的方程为
x2 2 -y =1. 3 x2 -y2=1, 3
x 2 y2 ? =1(a>0,b>0), a 2 b2

·

>2(其

(2)将 y=kx+ 2 代入

得(1-3k2)x2-6 2 kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得
?1 ? 3k 2 ? 0, ? ? ? ? ?6 2k ? ?

?

?

2

? 36 ?1 ? 3k 2 ? ? 36 ?1 ? k 2 ? ? 0,

所以 k2≠ 且 k2<1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 所以

1 3



?9 6 2k ,x1x2= , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k



=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+ 2 )(kx2+ 2 )
-6-

圆学子梦想 铸金字品牌

=(k2+1)x1x2+ 2 k(x1+x2)+2 =
3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1

又由



>2,得 ②

1 3k 2 ? 7 >2,解得 <k2<3, 2 3 3k ? 1

由①②得, <k2<1. 故 k 的取值范围为(-1,3 3 )∪( ,1). 3 3

1 3

(20 分钟 1.(5 分)(2014· 杭州模拟)如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

40 分)
x 2 y2 ? =1(a>0,b>0)的左、 a 2 b2

右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )

A.

2 3 6     B.     C. 2    D. 3 3 2
b x, ac bc ac bc a ,y ? , 即 Q( , ). 可解得 x ? b c?a c?a c?a c?a ? x ? c? , c

? y? ? ? 【解析】选 B.由 ? ?y ? ? ?

b ? y ? ? x, ? ac bc ? a ,y ? , 由? ,可解得 x ? ? c?a c?a ?y ? b ? x ? c? ? c ?
-7-

圆学子梦想 铸金字品牌

即 P (?

ac bc , ). c?a c?a

设 PQ 的中点为 N,则 N (

a 2c bc 2 , ), c2 ? a 2 c2 ? a 2

b bc2 c ?? , 而 M(3c,0).所以 kMN〃 =-1,即 2 3 c 4a c ? 3c b

整理得 2c3=3a2c,即 e2= , 解得 e=

3 2

6 . 2

【一题多解】本题还可以用如下方法求解: 直线 BF1 的方程为 y= x+b,
b ? y ? x ? b, ? ac bc ? c , ). 由? 得 P (? b c ? a c ? a ? y ? ? x, ? a ? ? y? ? ? 由? ?y ? ? ? b x ? b, ac bc c , ). 得 Q( b c?a c?a x, a
b c

a 2c c2 c2 c a 2c 从而 N 点坐标为 ( 2 , ) ,则直线 MN 的方程为 y ? ? ? (x ? 2 ). b b b b b

从而得 M (c ?

a 2c , 0), b2

又 M(3c,0),则 c+

a 2c 6 =3c,得 a2=2b2,得 e= . 2 b 2

【加固训练】已知双曲线 mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为 2,则椭圆 mx2+ny2=1 的 离心率为( )

1 6 3 2 3 A. ??????????????????B. ??????????????????C. ??????????????????D. 3 3 3 3

【解析】选 B.由已知双曲线的离心率为 2,得:

-8-

圆学子梦想 铸金字品牌

1 1 ? m n =2, 1 m

解得:m=3n,又 m>0,n>0,所以 m>n,即 ?
y2 x 2 故由椭圆 mx +ny =1 得 ? ? 1. 1 1 n m
2 2

1 n

1 , m

所以所求椭圆的离心率为:
1 1 ? e= n m ? 1 n 1 1 ? n 3n ? 6 . 3 1 n

2.(5 分)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成的角为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( A.( C.(
2 3 ,2] 3 2 3 ,+∞) 3

)

B.[ D.[

2 3 ,2) 3 2 3 ,+∞) 3
b a

【解析】选 A.设双曲线的焦点在 x 轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率 必须满足

1 b 4 b 2 b 3 b ? ? 3, 所以 ? ( ) 2 ? 3, ? 1 ? ( ) 2 ? 4, 即有 3 ? 1 ? ( ) 2 ? 2. 又双曲 3 a 3 a 3 a 3 a

线的离心率为 e ? ? 1 ? ( )2 , 所以
b a

c a

b a

2 3 <e≤2. 3

【误区警示】本题极易漏掉 ? 3, 其原因是对问题考虑不全,造成漏解. 【方法技巧】双曲线离心率取值范围的验证技巧 已知双曲线
x 2 y2 ? =1(a>0,b>0). a 2 b2
-9-

圆学子梦想 铸金字品牌

则:(1)当 a>b>0 时,双曲线的离心率满足 1<e< 2 . (2)当 a=b>0 时,e= 2 (亦称为等轴双曲线). (3)当 b>a>0 时,e> 2 .
x 2 y2 3.(5 分)(2015·苏州模拟)已知 P 为双曲线 C: ? =1 上的点,点 M 满足 9 16

|

|=1,且

· .

=0,则当|

|取得最小值时的点 P 到双曲线 C 的渐近线的

距离为

【解析】因为点 M 满足|

|=1,所以点 M 的轨迹是以原点为圆心,1 为半径的单 〃 =0,所以 OM⊥PM,所以

位圆.不妨设 P 为双曲线右支上的任一点,因为

△OPM 为直角三角形,且∠OMP=90°,|OP|为该直角三角形的斜边长;因为 P 为双 曲线 C:
x 2 y2 ? =1 上的点,在 Rt△OPM 中,要使直角边| 9 16

|最小,则只需|OP|最

小,因为当点 P 为双曲线 C 的右支与 x 轴的交点时,|OP|最小,此时 P(3,0),所以 此时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为 答案:
12 5 12 . 5

4.(12 分)设 A,B 分别为双曲线

x 2 y2 ? =1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴 a 2 b2

长为 4 3 ,焦点到渐近线的距离为 3 . (1)求双曲线的方程. (2)已知直线 y= 点 D,使 +
3 x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支上存在 3

=t

,求 t 的值及点 D 的坐标.

【解析】(1)由题意知 a= 2 3, 所以一条渐近线为 y=
b 2 3

x.即 bx-2 3 y=0.所以
- 10 -

bc b ? 12
2

? 3.

圆学子梦想 铸金字品牌

所以 b2=3,所以双曲线的方程为

x 2 y2 ? =1. 12 3

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3 x+84=0, 则 x1+x2=16 3 ,y1+y2=12.
? x0 4 3 , ? ? ? 3 ? y0 ?x ? 4 3 所以 ? 所以 ? 0 2 2 ? y0 ? 3. y0 ? x0 ? ? ? 1. ? 3 ? 12

所以 t=4,点 D 的坐标为(4 3 ,3). 5.(13 分)(能力挑战题)双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 标原点到直线 AB 的距离为 ,其中 A(a,0),B(0,-b). (1)求双曲线的方程. (2)若 B1 是双曲线虚轴在 y 轴正半轴上的端点,过点 B 作直线交双曲线于点 M,N, 求 B1M ? B1N 时,直线 MN 的方程. 【解析】(1)设直线 AB: - =1,由题意,
?b ? 3, ? ?a ? 3, ?a 所以 ? ? ab 3 ?b ? 3, ? ? , 2 2 2 ? ? a ?b

x,坐

所以双曲线方程为 - =1. (2)由(1)得 B(0,-3),B1(0,3),设 M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线 MN 的斜率存在. 设直线 MN:y=kx-3,

- 11 -

圆学子梦想 铸金字品牌

所以 ?

? y ? kx ? 3, ?3x ? y ? 9,
2 2

所以 3x2-(kx-3)2=9,

整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,① 所以 x1+x2= x1x2= ,y1+y2=k(x1+x2)-6= ,

,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.

因为 B1M =(x1,y1-3), B1N =(x2,y2-3),
B1M 〃 B1N =0,所以 x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,



+9-

+9=0, 代入①有解,

解得 k2=5,所以 k=〒 所以 lMN:y=〒 x-3.

【加固训练】双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2,经 过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知| 差数列,且 与 同向. |,| |,| |成等

(1)求双曲线的离心率. (2)设直线 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d, 由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2, 得 d= m,tan∠AOF= , tan∠AOB=tan2∠AOF=
2?
1 4 b a

4 ? , OA 3

AB

b a ? 4 , 解得 b ? 1 , 由倍角公式,得 b a 2 1 ? ( )2 3 a

则离心率 e=

5 . 2
- 12 -

圆学子梦想 铸金字品牌

(2)不妨设过 F 与 l1 垂直的直线方程为 y=联立,将 a=2b,c= 5 b 代入, 化简有
15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0, 4b2 b

a x 2 y2 (x-c),与双曲线方程 2 ? 2 =1 b a b

a 4 ? 1 ? ( ) 2 x1 ? x 2 b a 2 ? [1 ? ( ) 2 ] ?? x1 ? x 2 ? ? 4x1x 2 ? , ? b ? 32 5b 2 28b 2 将数值代入, 有4 ? 5[( ) ?4 ], 15 5
x 2 y2 解得 b=3,故所求的双曲线方程为 ? =1. 36 9

关闭 Word 文档返回原板块

- 13 -


相关文章:
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十六) 8.4
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十六) 8.4_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴...
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十九) 8.7
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十九) 8.7_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚...
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十四) 8.2
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十四) 8.2_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚...
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十) 7.3
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十) 7.3_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴...
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十五) 8.3
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十五) 8.3_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴...
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(八) 2.5
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(八) 2.5_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调...
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(五十八) 选修4-1 2
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(十八) 选修4-1 2_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑...
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(一) 1.1
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(一) 1.1_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,...
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(五十四) 10.1
世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(十四) 10.1_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标...
更多相关标签:
世纪金榜课时提升作业 | 金榜题名 | 五粮液金榜题名价格 | 世纪金榜 | 金榜题名 电影 | 五粮液金榜题名酒 | 五粮液金榜题名 | 鸿蒙金榜 |