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椭圆焦点三角形的几个性质


椭圆焦点三角形的几个性质
泉州洛江区虹山中学 泉州南少林武术学校 彭传成 杨银福

文 [1] 介绍双曲线焦点三角形的性质 ,作 为补充 ,本文将介绍椭圆焦点三角形的几个 性质. 如图,设 F1, F2 是椭 x2 y 2 + = 1( a > b > 0) a 2 b2 的焦点, P 是椭圆上的任 意一点(异于长轴端点), 则称△ FPF 1 2 为椭圆的焦点三角形. 设 ∠F1 PF2 = θ , ∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β , 椭圆的离心率为 e ,则△ FPF 1 2 有如下的性质. 圆 b2 . cos2 (θ /2) 证明 在△ FPF 1 2 中由余弦定理有 性质 1 | PF1 | ? | PF2 | = | PF1 |2 + | PF2 |2 ? 2 | PF1 | ? | PF2 |cos θ = 4c 2 . 由椭圆的定义有 | PF1 | + | PF2 |= 2a , ∴ | PF1 |2 + | PF2 |2 + 2 | PF 1 | ? | PF 2 | = 4a 2 , (2) ? (1) 得 2 | PF1 | ? | PF2 | (1 + cosθ ) = 4( a 2 ? c 2 ) = 4b 2 ,
2b2 b2 = . 2 1 + cosθ cos (θ / 2) θ 性质 2 S ?FPF = b 2 tan . 1 2 2 证明 由性质 1 有 1 S ?F P F = | PF1 | ? | PF2 |sin θ 2 1 b2 θ 2 = ? ? sin θ = b tan . 2 2 cos (θ / 2 ) 2

(1)

(2)

故有 | PF1 | ? | PF2 |=

1

2

性质 3 设 P 点坐标为 ( x , y ) ,则有 ?17?

.

一般化思维方法  在数学教学中的应用( 二)  
福建省宁德师专 刘卓雄

?18?


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