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映射与函数


第二章 函数 映射与函数
一、知识回顾:

1、映射:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称 对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ?B” 1)A,B f 2)A,B 数集或其它集合 B

不能空 3)多对一 2、像 3、原像:给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么, 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 4、一一映射 5、函数:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值 范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域. 2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能 注意:○ 3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 使这个式子有意义的实数的集合;○ 6、函数三要素 7、判断同一函数。①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 8、定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列不等式组的 主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分 都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (8)整式时,全体实数 (9)三角函数 (10)反三角函数 (11)复合函数
二、基本训练: 1、设 f : A ? B 是集合 A 到 B 的映射,下列说法正确的是 ( )
1

A、A 中每一个元素在 B 中必有象 B、B 中每一个元素在 A 中必有原象 C、B 中每一个元素在 A 中的原象是唯一的 D、B 是 A 中所在元素的象的集合 2、下列各对函数中,相同的是 ( A、 f ( x) ? lg x 2 , g ( x) ? 2 lg x C、 f (u ) ? B、 f ( x) ? lg



x ?1 , g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 1) x ?1

3、 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的有 ( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

1? u 1? v , g (v ) ? 1? u 1? v

D、f(x)=x, f ( x) ?

x2

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

1 2

x ( )

4.函数 f ( x) ?

1 的定义域为 log 2 (? x ? 4 x ? 3)
2

A. (1,2)∪(2,3) C. (1,3) 5、函数 f ( x) ?

B. (??,1) ? (3,??) D.[1,3]

1 1 ? ex

的定义域是

6.函数 y ?

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为

三、例题分析: 1、 (1)若集合 A ? {?1,0,1} , B ? {?2,?1,0,1,2} , f :A→B 表示 A 到 B 的一个映射,且满足对任 意 x ? A 都有 x + f(x)为偶数,则这样的映射有_______ 个。 (2)设 f : A ? B 是从集合 A 到 B 的映射, A ? B ? ( x, y) x ? R, y ? R ,

?

?

f : ( x, y) ? (kx, y ? b) ,若 B 中元素(6,2)在映射 f 下的原象是(3,1), 则 k , b 的值分别为________.
2、①函数 y ?
x

25 ? x 2 ? lg cos x 的定义域为

__

②已知 f( 2 )的定义域为[1,2],则 y=f( (log1 x) 的定义域为_______.
2

③若函数 y ?

(a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ?

2 a ?1

的定义域为 R,则 a 的取值范围为____.
2

变题:若函数 y ? 3、求下列函数的值域

kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? ______。 kx ? 4kx ? 3
2

① y ? sin 2 x ? 2 cos x

② y ? x ? 1 ? 2x

? x 2 .( x ? 0) 4、 (1)已知 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? ? ,求 f ?g ( x)?, g? f ( x)? 。 ?? 1.( x ? 0)

变题:1、已知 f ( x) ? ?

( x ? 0) ?1   ,则不等式 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集是__ ( x ? 0) ??1  

2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1) 2、设函数 f ( x) ? ? ,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围是___。 ? ?4 ? x ? 1.( x ? 1) 3 (2)某汽车以 52 km 的速度从 A 地到 260 千米远处的 B 地,在 B 地停留了 小时后,再以 h 2 65km 的速度返回 A 地。试将汽车离开 A 地后行走的路程 S 表示为时间 t 的函数。 h

1 1 1 x2 , 那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) =___。 2 2 3 4 1? x (2)设函数 f ( x ) 的定义域为 N ,且满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy , f (1) ? 1 ,则 f (5) ? _
例5 (1) 已知函数 f ( x) ? __。

四、作业: 同步练习

g3.1008 映射与函数

1、从集合 A 到 B 的映射中,下列说法正确的是 (A) B 中某一元素 b 的原象可能不只一个 (B) A 中某一元素 a 的象可能不只一个 (C) A 中两个不同元素的象必不相同 (D) B 中两个不同元素的原象可能相同 2、已知集合 A= ?x 0 ? x ? 4?, B= ?y 0 ? y ? 2?,下列从 A 到 B 的对应 f 不是映射的是
3

1 1 x (B) f : x ? y ? x 2 3 2 1 (C) f : x ? y ? x (D) f : x ? y ? x 2 3 8 3、下列四组中的 f ( x), g ( x), 表示同一个函数的是

(A) f : x ? y ?

(A) f ( x) ? 1, g ( x) ? x

0

x2 ?1 (B) f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x

(C) f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 4 (D) f ( x) ? x 3 , g ( x) ? 3 x 9 ? 1 x ( x ? 4) ?( ) , 4、给出函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (log2 3) ? ? ? f ( x ? 1), ( x ? 4) 23 1 1 1 (A) ? (B) (C) (D) 8 11 24 19 5.函数 y ? log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域为
2

( A ) [? 2,?1) ? (1, 2 ] ( B ) (? 2,?1) ? (1, 2 ) (?2,?1) ? (1,2)
2 ? ?( x ? 1) 6.设函数 f ( x) ? ? ? ?4 ? x ? 1

( C ) [?2,?1) ? (1,2]

(D)

x ?1 x ?1

,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围为 (C) (??,?2] ? [1,10] (D)

(A) (??,?2] ? [0,10]

(B) (??,?2] ? [0,1]

[?2,0) ? [1,10] 7.若 f ( x) 和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 x ? f [ g ( x)] ? 0 有实数解,则 g[ f ( x)] 不可能 是( ) ...

1 1 1 1 (B) x 2 ? x ? (C) x 2 ? (D) x 2 ? 5 5 5 5 8、 点 ( a, b) 在映射 f 的作用下的象是 (a ? b, a ? b) , 则 f 的作用下点 (3,1) 的原象为点____ 1 9、 (1)函数 y ? 的定义域为 log3 (3 ? x)

(A) x 2 ? x ?

(2)函数 y ? log( 2 x?1) (3x ? 2) 的定义域为 10、 (1)函数 y ? ? x 2 ? 4x ? 2, x ? [0,3) 的值域为 (2)函数 y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域为 (3)函数 y ? sin 2 x ? 3sin x ? 4 的值域为

. . . .

4

11、某商人如果将进价每件 8 元的商品按每件 10 元出售时,每天可销售 100 件。现在他 采用提高售价、减少进货量的办法增加利润。据估计,该商品每件每涨 1 元,销售数减 少 10 件。问将售价定为多少时,获得最大利润。

12、已知函数 f ( x) 的定义域为 ?a, b? ,且 a ? b ? 0 ,求下列各函数的定义域: (1) f ( x 2 ) ; (2) g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ; (3) h( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m)

(m ? 0)

5

答案: 基本训练:1、A 例题:1(1)12 [1, 9] 2、C (2)2,1 3、C

变题: ?0,

? 3? ? ? 4?

? 1 ? ?3 ? ? ,1? ? 4 ? ?4 ? 1 1 3 ? ? ? ? ? ? 3? ? ? 2(1) ? ?5, ? ? ? ? ? , ? ? (2)[ , ] (3) ,5? 16 4 2 ? ? 2 2? ? 2 ? ? 2 ?2 x ? 1( x ? 0) 3 ( 1 ) [-2,2] (2) ? ??,1? 4(1) f ( g ( x)) ? ? , ( x ? 0) ??3
4、A 5、{x|x<0}. 6、 ? ? , 0 ?

1 ? (2 x ? 1) 2 ( x ? ) ? 3? ? ? 2 g ( f ( x)) ? ? 变 题 1 、 ? ??, ? 2 、 ? ??, ?2? [0,10] 1 2? ? ??1 (x ? ) ? 2 ? ? ?52t (0 ? t ? 5) ? 7 13 ? (2) S ? ?260(5 ? t ? ) 5(1) (2)15 2 2 ? 13 21 ? 260 ? 65t ( ? t ? ) ? 2 2 ? 参考答案:同步练习 g3.1008 映射与函数 2 1—7、ACDDA AB 8、(2,-1) 9(1) (??, 2) (2) {x | x ? 且x ? 1} 3 10(1)[-2, 2] (2) ? ??, 4? (3)[2, 8] 11、售价为 14 元/件,利润最大为 360 元

12(1)当 a ? 0 时, x ?[? b , b ] ;当 a ? 0 时, x ?[? b , ? a ] [ a , b ] (2) 当 a ? 0 时 , x ? {0}; 当 a ? 0 时 , x ? ? , 函 数 无 意 义 ; 当 a ? 0 时 , x ? [ a,? a] b?a a?b b?a b?a x ?{ }; (3) 当m ? 时, 当m ? 时, 无意义; 当m ? 时, x ?? a ? m, b ? m? 2 2 2 2

6


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