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2012清华大学金秋营试题及解答


情华大学"金秋营"考试题目 第一题己知"是大于3的素数,求]^[(;〗^^,)的值
2 ^

解 设 ^ 二

0 0 3 ― ― , 贝 1 | ^

二 003

+1 3111

, 6^ ^ 1

整数I

一化则方程?-1=0的"-1个根为

、垆― ,有

1

"(? ^"-―)…^-1〉?-】,而户-1=0-1)2

则有^^^卩^—力,而"是大于3的素数

故"为奇数,则!^、!!"-一"!!"-^)!!
^-!
5-1

【2+1

咱 [ ? - 0 、

一 )

2 ^ , ― 2 十!)

令^— 1 +么,则
2 2

二 一 一 一 1 】 , 0 + ^ + 1 2 2

= 0

2 ^ 在 ! ^ 、 ! ! "
2

— ^

0

3

, "

1

) 中 取 口 ^ 得

2 ^

^ 。

― - ^ 。 5

,十》二

。 (-2⑦,,)二

(-⑦)2

^[(!+^ 0 0 3 — 1



" 1 一





1^



2

(! + : , , ) , ^

'?/!~77~

" 1 一 ^)
2

2

^ ^311(1

'?/!~77~ + 2 003 ― ) '

由于"是大于3的素数,故"不能被3整除,分两类讨论:

若"乂動")'则1^

= 1, ^

-

1

^ ! ,

3^(1+2

2 ^ 0 0 3 ― ^ 3

&之有^1(1

+ 2

,

^

=3

第二题己知^"为正整数,00,

7 = ^ 0 且 1 + 7 = 1,求证:

!醒0

; ~0

证明^《^7=2《-"(!―(^^^土(―

二2 土 《 " ' ^ 八 - 1 ) ^ = 2
^0 ^
2-0

土 " 丄 / ( ^

, + ― 二 ― 十 " 一 !) I ^ - ! , ^ ! . 1 乙 1 一 V 、4^-11 1"^化-1 ~ 7 ^777 :乙、—'-'~~7~ ^ (^-!) 1(^-1)1^ "+化

^ 、 -

\广^-^一、"同理有

卩 ? - & , 则

!^'"力'

卩 』0 厂―)!^)』。 二

^ + ? — ) " " 广 ? 、 厂'^^'"、 1, 厂―)!^)

厂严

^ 十 卩 产 ,
^

厂―踢』。

第三题己知^『,且"22,

、^(^",…,吣,求证:

^ + ^

+…+

^^+^'

1

^

证明用数学归纳法证明之 当"^ 2 时 , 只 需 对 任 意 正 数 证 明 ? + 7 ^ 1
1

当1,7中有任一个数不小于1时,此式显然成立

若 1 ^ 1 且 ; ^ 1,则1 — 1=^0,丄―1=^0,可设丄―1 = 2,丄—1 = 6

设 对 " 矿 , 且 & 2 , 、^广 , ^ "(了^;,…大1

二,…,化、),有&"十^ +…+ + 1》只需证寸十十…十X,

^+^1」

:性,不妨设1^是、…乂乂十】)中最大的一个,则

4'"?^4'―十4、 十^+…+ ^
1

4、则 十 ^ ^ 々 十 ^ 十 … + ^ 1 ^1 X力,^-1

第四题已知数列&;与00满足:6=1,

、^是除了 ^ ^ , … , 、 , " , … ^ 之 外 最 小 的 正 整 数 , 这 里 。 4 是 正 整 数 , 求 化 ; 与 仏 ; 的 通 项 公 式

" 丄 卞

解 由 于 。 ^ 4 , 可 设 ^ ^

― ―!-^

。 一 V。 - 4 。
2

,^

―。十V。 - 4。 ~| ―
2

^

~

| ,则易知

2

2

" - 均 为 正 无 理 数 , 且 1 5 ^ ^ = 2 , 1 + ^ = 1, ^ + ^ 。

设^ :―]'、:[解下以数学归纳法证明、^

、 且 ^ 二力

当"二1时,需证明^^&,由于&二1,只需证^^[^二】

由15^^=2,此式成立 假设对于一切不大于1的正整数^, 4 =1 , 对 于 一 切 小 于 1 的 正 整 数 乃 ^ 二 则 ^ 二 & , &十八二。^-1,而^ + &

^^^^十[^:】,又由于"^均为正无理数 =^^ — 1=^ — 1

知^±,^1均不是整数,则【^】十[^::]―1 敁有^十11^&十:1^,则1^ 二 八

由于"-均为正无理数,丄十丄^1,

:—]'

设 ; ^ ;全部项构成集合^,〖V。全部项构成集合。,则 由 贝 蒂 定 理 , 旨 ^ 0 ^ = 0 , 而 易 知 ; ^ ;与;V。均为严格单调递増数列

则知^^是除了^&,…為,巧,…^之外最小的正整数,而 1 ^ 是 除 了 & ,^,…,、,乃,^ ,…,7,之外最小的正整数,又由归纳假设 对于一切不大于^:的正整数^, 4 = 1 , 对 于 一 切 小 于 的 正 整 数 乃 ^ 二 己证、尸力,,敁有1^=1^ 则由归纳原理,对于一切正整数",、、且",^'敁 &

第五题求所有的函数7 证明记丫的"次迭代为7

(!),一—(!),碑使对任意的正数1.都有此式成立:/(/"广仏-/!^ "、小下以归纳法证明,对任意。22,有

当"^2时.命题亦即严②:収9;3"6"9^/②

即 / ( ! / " ) ) ^ / ( 小 5 知 其 成 立

假^:对千"老2,有,'(力:4","-4,―3'-;-4)'/(^):则
严 , ) : ! ^ ! ^ ^ + ^ / , ) . 即

严"卢,"增、乂,)'
7
4 X 3 十 3 X (―41 1 : ? 、 / ( ^ 3 ― (-4) ,1 [ 仏 ― / ( 幻 ]

~

-( ) '工 十

~

1

~

-'(工)



~

3 (^)十

~

- 丄 ~ ~ / ( ^ ^

1



敁 命 题 对 " 也 成 立

由归纳原理,对任意^2,有/ 1^ = 2 与"^2 十1,其中 是正整数,则有 、 产(力:

4 x 3 ^ ^ ^ ) ' 7

(―4丌

4x3& ^3x4^ 3^—4& ; ^+ ^-―/(^)

严 , ) ,

3

;^

4

;^

/(力

由于/①,),,^),敁总有/(。:^,则

/^""(^^^严 )."),则 "

4

1 + 2 ~ ― / ( ^ ) ^0



~

^

~

~

^

~

/

"

^

,



7

7

7

则必有^从而700^3^经检验,此函数满足要求 第六题5知在5上可导的非常数函数/(^与^。满足:对任意的实数1,7都有 /(^+^)^/(^/^-^)^), 30十力^/(^^+^)/^)

且/'⑨".求证/^+?'^】《这里上标表示平方) 证明一将所给两方程对7求导.得 1圍0十力^ /(^)/'(^)―30)3'(^) , 2 圍 0 十 力 ^ /(^^+^)/'(力

令 7 = 0,得/^^/(幻/'(;0卜30)3圍((!), 由于/'((^二!], ^ / ' ( ^ ^ - ^ ) ? ' ^ ) . /'(^/(^^^-^)^)^).而若^(!))^.则7'(:0

^ ( ^ / ( ^ ' ( 。 ^ ( 。 / ' ( : 。 )

/(^^)^^).相乘得 =0
3 3

与非常数函数矛盾,故^(!))",则2/'0)/0) + 2 ' 0 ) 0 ) = 0 即[/^)十^(^)]^0:则/^)十^(^)是常数

而在原题所给方程中取1 = 7 = 0,可得 /(。卢/ !;。)-?'。).
2

^。"/漏。),若3(0)^0

则/(:。)".

?,/ '。)-/,—).矛盾.故^。卢。

2

则/((^/(;。),若/(;。)",则恒有/、力+ ? ^ ^ . 与非常数函数矛盾,则/(^^〗.恒有/、幻+ ^ ; 二 ! 幻 】 证明二将所给两方程对7求导.得 1圍0十力^ /(^)/'(^) ― 30)3 '(^) , 2 圍 0 十 力 ^ / ( ^ ^

/ ( ^ ^ 2(^ = 0

+ ^)/'(力

令"0,得/'(^/(。/'(;。)-^^(;。), 由 于 / " ^ 。 , ^ / ' ( ^ ^ - ^ ) ?' ^ ) .

^(^/(^'(。^(。/'(:。)

^ ) ^ / ^ ) ^ )

若^(!)".则夕'②4与非常数函数矛盾,故^((!)^.则

设3'(;0〉化则/"②一^/②,解此微分方程得/(。^^ 则 由 7 '(幻^ - 3 0 ) 3 ) , ^ - 化 1 / '(力^ +劝

^^!^

+ ^

代入70十力^/(。/(^)-^淋得

^^(^+^+^)^

X1 ^(^

+

^+^^),若』^0,则/(。二!]

与 非 常 数 函 数 矛 盾 , 则 ^ ― + ? ^ & 0 5 ( ^ + 2^对任意实数2成立 故|斗1.则/^ + ^")"2

证明三将所给两方程平方相加.得 / 、 十 力 力 ^ [ / ( 。 / ( 力 ― ^ 。 《 ( ^ 、 [ / ( 。 ^ 力 + ^力/!^)]2 ^ / ' ( ^ ^ ^ ( ^ [ / ' ^ +^^)](拉格朗日恒等式) 若有某I。使/^。; + ^ ^ 。 ) ^ , 则 恒 有 ^ 0 。 十 力 十 ? 0 。 十 力 二 0 即700 = 800 = 0恒成立'与非常数函数矛盾,故/ 0)
2

+ ^0) : ^0

则 1 4 ? 0 十 力 十 ? 0 十 力 ] ^ " / ( ^ + ? ! ^ + ^ / ^ 力 + ?^)] 设111[/ 0) + 3 0)] = ^ ? 0 ) , 则 ^ 0 十 力 ^ ( 幻 + 巧 力 ( 柯 西 方 程 )
2 2

而?②是可导函数.故连续,则 ? + ^ "
1

卢&

" . 求 导 井 取 1 = 0,得 =7 = 0

?/^!/^

+ ^'^)^。—/:.而/'①)",在原题所给方程中取1 ^。"/漏。),若3(0)^0

可得/(。卢/2!;。)-?'。). 则/(:。)".

?,/2'。)-/,—).矛盾.故^。卢。 '(層).)二 0 , 则 义 ' ( 力 十 ^ ( ^ )

则 化 ? 9 、0誦十2

3


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