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高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数


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高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数
一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同角三 角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、 余弦、 正切公

式, 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数,正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数,余 弦函数和函数 y=Asin(wx+ ? )的简图,理解 A、w、 ? 的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx、arccosx、arctgx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决三角形 的计算问题。 8.理解反三角函数的概念, 能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质, 能运用反三 角函数的定义、性质解决一些简单问题。? 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构 1.角的概念的推广:? (1)定义:一条射线 OA 由原来的位置 OA,绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置 OB,就形成了角α 。其中射线 OA 叫角α 的始边,射线 OB 叫角α 的终边,O 叫角α 的顶点。 (2)正角、零角、负角:由始边的旋转方向而定。 (3)象限角:由角的终边所在位置确定。 第一象限角:2kπ <α <2kπ + 第二象限角:2kπ +

? <α <2kπ +π ,k∈Z 2 3? 第三象限角:2kπ +π <α <2kπ + ,k∈Z 2 3? 第四象限角:2kπ + <α <2kπ +2π ,k∈Z 2
(4)终边相同的角:一般地,所有与α 角终边相同的角,连同α 角在内(而且只有这样的 角),可以表示为 k?360°+α ,k∈Z。 (5)特殊角的集合: 终边在坐标轴上的角的集合{α |α =

? ,k∈Z 2

? ,k∈Z} 4 ? 终边在二、四象限角平分线上角的集合{α |α =kπ - ,k∈Z} 4 ? 终边在四个象限角平分线上角的集合{α |α =kπ - ,k∈Z} 4
终边在一、三象限角平分线上角的集合{α |α =kπ + 2.弧度制: (1)定义:用“弧度”做单位来度量角的制度,叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化:
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k? ,k∈Z} 2

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1°=

?
180

弧度,1 弧度=(

180

?



(3)两个公式:(R 为圆弧半径,α 为圆心角弧度数)。 弧长公式:l=|α |R 扇形面积公式:S=

1 1 2 lR= |α |R ? 2 2

3.周期函数:? (1)定义:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得 x 取定义域内的任意值时, 都有 f(x+T)=f(x), 那么函数 y=f(x)叫做周期函数, 其中非零常数 T 叫做这个函数的一个周 期,如果 T 中存在一个最小的正数,则这个最小正 数叫做这个函数的最小正周期。 (2)几个常见结论: ①如果 T 是函数 y=f(x)的一个周期,那么 kT(k∈Z,且 k≠0)也是 y=f(x)的周期。 (1) ②如果 T 是函数 y=f(x)的一个周期,那么

T 也是 y=f(wx)(w≠0)的周期。 ?

③一个周期函数不一定有最小正周期,如常函数 y=f(x)=c。 4.三角函数定义: (1)定义: 设α 是一个任意大小的角, P(x, y)是角α 终边上任意一点, 它与原点的距离| PO|=r,那么角α 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是 sinα =

x y ,cosα = ,tg r r

α =

r x x y ,ctgα = ,Secα = ,cscα = (如图(1))。 y y r r
(2)六个三角函数值在每个象限的符号:(如图(2))

(3)同角三角函数的基本关系式: 倒数关系:sinα ?cscα =1,cosα ?secα =1,tgα ?ctgα =1 商数关系:tgα =
2

sin? cos? ,ctgα = cos? sin ?
2 2 2 2 2

平方关系:sin α +cos α =1,1+tg α =sec α ,1+ctg α =csc α (4)诱导公式: α 正弦 余弦 正切 余切 2kπ + α sinα cosα tgα ctgα -α -sinα cosα -tgα -ctgα π -α sinα -cosα -tgα -ctgα π +α -sinα -cosα tgα ctgα 2π -α -sinα cosα -tgα -ctgα

? -α 2
cosα sinα ctgα tgα

? +α 2
cosα -sinα -ctgα -tgα

上述公式可以总结为:奇变偶不变,符号看象限。
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5.已知三角函数值求角 6.三角函数的图象和性质: (1)三角函数线: 如图(3),sinα =MP,cosα =OM,tgα =AT,ctgα =BS

(2)三角函数的图像和性质: 函数 图象 {x|x∈R 且 x 定义域 R R ≠kπ + Z} [-1,1]x=2kπ + 值域 ymax=1 x=2kπ y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx {x|x∈R 且 x ≠kπ ,k∈Z}

? ,k ∈ 2

? [-1,1] 时 x=2kπ 时 ymax=1 2
x=2k π + π 时 ymin=-1

? 时 ymin=-1 2

R 无最大值 无最小值

R 无最大值 无最小值

周期性 奇偶性

周期为 2π 奇函数 在 [2kπ -

周期为 2π 偶函数

周期为π 奇函数

周期为π 奇函数

单调性

? ? ? 在[2kπ -π , 2k 在(kπ , +π ) kπ ,2kπ + ] 在(kπ - ,kπ π ]上都是增函 内都是减函数(k 2 2 2 ? 上都是增函数;在[2k 数;在[2kπ , ∈Z) + )内都是增 2 ? 2kπ +π ] 上都是 2 π+ ,2kπ + π ]上 减函数(k∈Z) 函数(k∈Z) 3 2

都是减函数(k∈Z) 7.函数 y=Asin(wx+ ? )的图像: 函数 y=Asin(wx+ ? )的图像可以通过下列两种方式得到: ? >0,图像左移 ? (1)y=sinx y=sin(x+ ? ) ? <0,图像右移| ? | w>1,横坐标缩短为原来的

1 倍 w

y=sin(wx+ ? )

0<w<1,横坐标伸长为原来的 A>1,纵坐标伸长为原来的 A 倍

1 倍 w
y=Asin(wx+ ? )

0<A<1,纵坐标缩短为原来的 A 倍
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w>1,横坐标缩短为原来的 (2)y=sinx

1 倍 w
1 倍 w

0<w<1,横坐标伸长为原来的

? >0,图像左移
y=sin(wx)

? w

? <0,图像右移
y=sin(wx+ ? )

? w
y=Asin(wx+ ? )

A>1,纵坐标伸长为原来 A 倍 0<A<1,纵坐标缩短为原来 A 倍 8.两角和与差的三角函数: (1)常用公式: 两角和与差的公式: sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ , cos(α ±β )=cosα cosβ ? sinα sinβ , tg(α ±β )=

tg? ? tg? 1 ? tg?tg?

倍角公式: sin2α =2sinα cosα , 2 2 2 2 cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α , tg2α =

2tg? . 1 ? tg 2?

半角公式: sin

1 ? cos? ? =± , 2 2 1 ? cos? ? =± , 2 2

cos

tg

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? =± = = . 1 ? cos? 1 ? cos? sin ? 2

积化和差公式:

1 〔sin(α +β )+sin(α -β )〕, 2 1 cosα sinβ = 〔sin(α +β )-sin(α -β )〕 2
sinα cosβ =
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1 〔cos(α +β )+cos(α -β )〕, 2 1 sinα sinβ =〔cos(α +β )-cos(α -β )〕 2
cosα cosβ = 和差化积公式: sinα +sinβ =2sin

???

2 2 ??? ??? sinα -sinβ =2cos sin 2 2 ??? ??? cosα +cosβ =2cos cos ,? 2 2 ??? ??? cosα -cosβ =-2sin sin 2 2
万能公式:

cos

???

,

2tg
sinα =

?
2

1 ? tg 2
,cosα =

? ?
2 ,tgα = 2

2tg

?
2

1 ? tg 2

?
2

1 ? tg 2

1 ? tg 2

?
2

(2)各公式间的内在联系:

(3)应注意的几个问题: ①凡使公式中某个式子没有意义的角,都不适合公式。 ②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。 ③在半角公式中,根号前的符号由半角所在像限来决定。 ④常具的变形公式有:cosα = β =tg(α +β )(1-tgα tgβ ). ⑤asinα +bcosα = a ? b sin(α + ? ).(其中 ? 所在位置由 a,b 的符号确定, ? 的
2 2

sin 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 ,sin α = ,cos α = ,tgα +tg 2 sin? 2 2

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值由 tg ? =

b 确定)。 a

9.解斜三角形: 在解三角形时,常用定理及公式如下表: 名称 内角和定理 公式 A+B+C=π 变形

A B ? C + = - ,2A+2B=2π -C 2 2 2 2
cosA=

b2 ? c2 ? a2 2bc a2 ? c2 ? b2 2ac

余弦定理

a =b +c -2bccosA 2 2 2 b =a +c -2accosB 2 2 2 c =a +b -2abcosC

2

2

2

cosB=

a2 ? b2 ? c2 cosC 2ab
正弦定理

a b c = = =2R sin A sin B sin C
R 为Δ ABC 的外接圆半径 acosB+bcosA=c acosC+cosA=b bcosC+ccosB=a

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=

a a c ,sinB= ,sinC= 2R 2R 2R

射影定理

面积公式

1 1 1 aha= bhb= chc 2 2 2 1 1 1 ②SΔ = absinC= acsinB= bcsinA 2 2 2 abc ③SΔ = 4R
①SΔ = ④ S
Δ

=

P(P - a)(P - b)(P - c) (P=

1 2

(a+b+c)) ⑤SΔ =

2 S? ab 2 S? sinB= ac 2 S? sinC= ab
sinA=

1 (a+b+c)r 2

(r 为Δ ABC 内切圆半径) 10.反三角函数: 名称 反正弦函数 y=sinx(x∈ 〔定义 反余弦函数 y=cosx(x ∈ 〔 0, π〕 )的反函数, 叫 做反余弦函数,记 作 x=arccosy 反正切函数 y=tgx(x∈(反余切函数

? ? , 〕 的反 2 2

函数, 叫做反正弦 函数,记 作 x=arsiny arcsinx 表示属

? )的反函数, 叫 2
做反正切函数, 记作 x=arctgy

? , 2

y=ctgx(x∈(0, π ))的反函数, 叫做反余切函 数,记作 x=arcctgy arcctgx 表示属 于(0,π )且余切

理解

arccosx 表示属于 [0,π ] ,且余弦

arctgx 表示属于

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于[-

? ? , ] 2 2

值等于 x 的角

(-

值等于 x 的角 ? ? , ),且正切 2 2

且正弦值等于 x 的角

值等于 x 的角

图像

定义域 值域 性 质 单调性 奇偶性 周期性

[-1,1] [-

[-1,1] [0,π ] 在[-1,1]上是减 函数 arccos(-x)= -arccosx π

(-∞,+∞) (-

(-∞,+∞) (0,π ) 在(-∞,+∞)上 是减函数 arcctg(-x)= π -arcctgx ctg(arcctgx)=x (x∈R) arcctg(ctgx)=x (x∈(0,π ))

? ? , ] 2 2

? ? , ) 2 2

在〔-1,1〕上是 增函数 arcsin(-x)=-arc sinx 都不是同期函数 sin(arcsinx)=x( x ∈ [ -1 , 1])arcsin(sinx )=x(x ∈ [-

在(-∞, +∞)上是增 数 arctg(-x)=-arctgx

恒等式

cos(arccosx)=x(x ∈ [ -1,1 ] ) arccos(cosx)=x(x ∈[0,π ])

tg(arctgx)=x(x ∈ R)arctg(tgx)=x(x ∈(-

? ? , ]) 2 2

? ? , )) 2 2

互余恒等式

arcsinx+arccosx=

? (x∈[-1,1]) 2

arctgx+arcctgx=

? (X∈R) 2

11.三角方程: (1) 最简单三角方程的解集: 方程 |a|>1 sinx=a |a|=1 |a|<1 |a|>1 cosx=a tgx=a ctgx=a |a|=1 |a|<1 方程的解集 Φ {x|x=2kπ +arcsina,k∈z} {x|x=kπ +(-1) arcsina,k∈z} Φ {x|x=2kπ +arccosa,k∈z} {x|x=2kπ ±arccosa,k∈z {x|x=kπ +arctga,k∈z} {x|x=kπ +arcctga,k∈z}
k

(2)简单三角方程:转化为最简单三角方程。 三、知识点、能力点提示 三角函数是中学数学的主要内容之一, 也是每年高考的必考内容, 其主要内容由以下三 部分构成:三角函数的定义,图像和性质;三角恒等变形;反三角函数。在高考中,第二部 分为主要内容,进行重点考查,当然也不放弃前后两部的考查,对近几年高考试题进行分析 后,可以看出:对三角函数的考查主要有两种方式:单独考查三角函数或与其它学科综合考 查,前一部分通常是容易题或中等题,而后一部分有一定难度。 下面对常见考点作简单分析:
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1.角、三角函数定义的考点:这是对三角基础知识的直接考查,一般不会单独成题,更 多地是结合其它方面的内容(如: 三角恒等变形, 三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。 2.三角函数图像的考查:通常有三种方式:由图像到解析式:由图像到性质;图像的应 用。 3.三角函数性质的考查 (1)定义域和值域: (2)周期性:通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期,或考查与周期性相 关的问题,如:设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x, 则 f(7.5)=( ) (3)单调性:通常以处理最值问题的形式出现,总与恒等变形联系在一起,一般地二次 函数,对数函数等的最值问题相结合。 4.三角恒等变形:以化简、求值、证明等各种题型出现,以题中通常考查和、差、倍、 半各公式的运用,大题中通常考查和积互化公式的运用,这是三角函数的重要内容。 5.反三角函数: 对这部分的考查多属于容易题或中档题, 重点是反三角函数的定义和性 质。 6.代数、三角、解几、立几,不等式等的综合考查。 进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能,下面分析几种常见的解题思路: 1.角的变换:观察各角之间的和、差、倍、半关系,减少角的种类,化异角为同角。 2.函数名的变换:观察、比较题设与结论之间,等号的左右两边的函数名差异,化异名 为同名。 3.常数的变换:常用方式有 1=sin α +cos α =sec α -tg α =tg
2 2 2 2

3 ? ? , =sin 等。 4 2 3

4.次数的变化:常用方式是升次或降次:主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。 5.结构变化:对条件,结论的结构施行调整,或重新分组,或移项,或变除为乘,或求 差等 6.和积互化:这既是一种基本技能,也是一种常见解题思路,且应用比较广泛。 7.综合运用上述各种方式。 例 1 sin600°的值是( )? A.

1 . 2

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2
解:sin600°=sin(360°+240°)=sin240° =sin(180°+60°)=-sin60° =∴应选 D. 例2 已知 sinθ +cosθ =

3 2

1 ,θ ∈(0,π ),则 ctgθ 的值是_______. 5

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1 1 12 ? (sinθ +cosθ )2=( )2 ? sinθ ?cosθ =- . 5 5 25 1 12 2 2 ∴sinθ 和 cosθ 是方程 t - t=0,即方程 25t -5t-12=0 的两根. 5 25 4 3 2 25t -5t-12=(5t+3)(5t-4)=0 的两根为 t1= ,t2=- . 5 5 ∵θ ∈(0.π ) ? sinθ >0. 4 3 ∴sinθ = ,从而 cosθ =- , 5 5 cos? 3 ∴ctgθ = .=- . sin ? 4 3 应填. 4
解:sinθ +cosθ = 例3 tg20°+tg40°+ 3 tg20°?tg40°的值是_______.

tg 20 ? ? tg 40 ? 解:∵ 3 =tg60°=tg(20°+40°)= , 1 ? tg 20 ? tg 40 ?
∴tg20°+tg40°= 3 (1-tg20°?tg40°). ∴原式= 3 (1-tg20°?tg40°)+ = 3 应填 3 .

3 tg20°?tg40°).

5? ? ?cos =________. 8 8 5? ? 解:cos ?cos 8 8
例4 求值:cos =

2 2 1 3? ? 1 (cos +cos )= (+0)=. 2 4 2 4 2 2
关于函数 f(x)=4sin(2x+

例5

? ) (x∈R),有下列命题: 3 ? ); 6

①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是π 的整数倍; ②y=f(x)的表达可以改写为 y=4cos(2x-

? ,0)对称; 6 ? ④y=f(x)的图像关于直线 x=- 对称; 6
③y=f(x)的图像关于点(其中正确命题的序号是___________. (注:把你认为正确的命题序号都填上)

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解:分别讨论四个命题. ① 令 4sin(2x+

? ? )=0, 得 2x+ =k π 3 3

(k ∈ Z),x=

k? ? 2 6

(k ∈ Z), 设

x1=

k1? ? k? ? - ,x2= 2 ,k1≠k2,k1,k2∈Z, 2 6 2 6
则 f(x1)=f(x2)=0, 但 x1-x2=

? (k1-k2),当 k1-k2 为奇数时,x1-x2 不是π 的整数倍 2

∴命题①不正确. ②y=f(x)=4sin(2x+ ∵命题②正确 ③根据 2x+ X Y

? ? ? ? ? )=4cos[ -(2x+ )]=4cos(-2x+ )=4cos(2x- ) 3 2 3 6 6
? 2 ? 12
4

? 3
-

0

π

? 6
0

2? 6
0

3? 2 7? 12
-4



5? 6
0

? )的草图,如图 3 ? 由图知,f(x)的图像关于点(- ,0)对称, 6
作出 y=f(x)=4sin(2x+ ∴命题③正确 ④由图知,y=f(x)的图像不关于直线 x=∴命题④不正确 应填②、③ 例6 函数 y=sin(x-

? 对称 6

? )?cosx 的最小值是_______. 6

解:利用积化和差公式(注:今后高考试卷中会印写公式),得

1 ? ? [sin(2x- )]+sin(- )] 2 6 6 1 ? 1 = sin(2x- )- . 2 6 4 ? ∵sin(2x)∈[-1,1], 6 3 ∴ymin=- . 4 3 应填- . 4
y= 例7 y=

sin3x ? sin 3 x ? cos3x ? cos3 x +sin2x,则 y 的最小值是_____. cos2 2 x
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解:利用 3 倍公式: 3 3 sin3x=3sinx-4sin x,cos3x=4cos x-3cosx. y=

(3sinx - 4sin 3 x) ? sin 3 x ? (4cos 3 x - 3cosx)cos3 x +sin2x cos2 2 x

=

3sin 4 x - 4sin 6 x ? 4cos6 x - 3cos 4 x +sin2x cos2 2 x

3(sin 4 x - cos4 x) ? 4(cos 6 x - sin 6 x) = +sin2x cos2 2 x
=

3(sin 2 x - cos2 x) ? 4(cos 2 x - sin 2 x)(1 - cos2 xsin 2 x) +sin2x cos2 2 x - 3cos2x ? 4cos2x - 4sin 2 xcos 2 xcos 2 x +sin2x cos2 2 x 1 - sin 2 2x +sin2x cos2x

=

=

=cos2x+sin2x = 2 sin(2x+ ∴ymin=- 2 . 应填- 2 例8 在直角三角形中,两锐角为 A 和 B,则 sinA?sinB( )?

? ) 4

A.有最大值

1 1 和最小值 0 B.有最大值 但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D. 2 2

有最大值 1 但无最小值 解:∵A+B=

? . 2
1 sin2A, 2

∴sinA?sinB=sinA?cosA= A∈(0,

? ) ? 2A∈(0,π ) 2 1 ∴sinAcosA 有最大值 但无最小值. 2

应选 B. 2 2 例 9 求函数 y=sin x+2sinxcosx+3cos 的最大值 解:∵2sinxcosx=sin2x,sin x+cos x=1,cos x= ∴y=sin x+2sinxcosx+3cos x
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2 2 2 2 2

1? cos2x 2

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=(sin x+cos x)+2sinxcosx+2cos x =1+sin2x+2?

2

2

2

1? cos2x 2

=sin2x+cos2x+2 = 2 (sin2x?cos = 2 sin(2x+ ∴当 2x+

? ? = +2kπ 时,ymax=2+ 2 4 2 ? 即 x= +Kπ (K∈Z),y 的最大值为 2+ 2 8 24 ? 例 10 已知α 是第三象限角,且 sinα =则 tg =( ) 25 2 4 3 3 A. B. C.3 4 4
4 3

? )+2 4

? ? +cos2x?sin )+2 4 4

D.-

2tg
解:∵sinα =

?
2

1 ? tg 2
24 ∴= 25

?
2

,sinα =-

24 , 25

2tg 1 ? tg

?
2
2

?

.

2 ? ? 2 化简得 12tg 2 +25tg 2 +12=0, ? ? 即(4tg 2 +3)(3tg 2 +4)=0. 3 4 ? ? 解出 tg 2 =- 4 ,tg 2 =- 3 .
又已知α 是第三象限角,即α ∈(π +2kπ ,

?

?

∴ 2 ∈ 2 +kπ ,

? ∴tg 2 ∈(-∞,-1), 4 ? ? ∴tg 2 =- 3 (舍去 tg 2 =-1).
应选 D. 例 11 sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°?cos80°=___________.
2 2 2 2

3? +kπ ), 4

3? +2kπ ), 2

解:sina 20°+cos 80°+ 3 sin20°?cos80°
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1 - cos40? 1 ? cos160? 3 = + + ?2sin20°?cos80° 2 2 2
=1-

1 (cos40°+cos20°)+ 2

3 (sin100°-sin60°) 2

=1-cos30°cos10°+

3 3 cos10°2 4

=

1 4

应填

1 . 4
2 2

例 12 求 sin 20°+cos 50°+sin20°?cos50°的值_____________. 2 2 解:sin 20°+cos 50°+sin20°cos50° 2 2 =sin 20°+sin 40°+sin20°sin40° 2 =(sin20°+sin40°) -sin20°sin40° =(2sin30°cos10°) +
2

1 (cos60°-cos20°) 2

cos 20 ? ? 1 1 1 = + ( -cos20°) 2 2 2

3 4 3 应填 . 4
= 例 13 tg20°+4sin20°=________. 解:tg20°+4sin20° =

sin20? ? 4sin20?cos20? cos 20?

sin20? ? 2sin40? cos 20? (sin20? ? sin40?) ? sin40? = cos 20? cos10? ? sin40? = cos 20? sin80? ? sin40? = cos 20?
= =

3 cos 20 ? cos 20 ?

= 3.

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例 14 A.

cos 75°+cos 15°+cos75°?cos15°的值等于( B.

2

2

)

6 2 3 4
2 2

3 2

C.

5 4

D.1+

解:cos 75°+cos 15°+cos75°cos15° =(sin 15°+cos 15°)+ =1+ =
2 2

1 sin15° 2

1 4

5 . 4
已知 ctg

应选 C.

? =3,则 cosθ =_________. 2 ? 1 解:由已知有 tg = . 2 3 1 ? 1? 1 ? tg 2 9 =4. 2= ∴cosθ = 1 5 ? 1? 1 ? tg 2 9 2
例 15 例 16 已知 tgA+ctgA=m,则 sin2A___________. 2 解:tgA+ctgA=m ? tg A+1=mtgA ∴sin2A=

2tgA 2tgA 2 = = . 2 1 ? tg A mtgA m

例 17 已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b. (1)b≠0 时,求 tg3A 的值(用 a、b 表示); 2 (2)求(1+2cos2A) (用 a、b 表示). 解:(1)利用和差化积公式可得: a=sin3A(1+2cos2A), b=cos3A(1+2cos2A), ∴tg3A=

a . b
2 2

(2)由上可知 ab=sin3Acos3A(1+2cos2A) ∴(1+2cos2A) =

2ab . sin 6 A
a b = 2ab , a a2 ? b2 1 ? ( )2 b 2?

2tg3 A 又 sin6A= = 1 ? tg 2 3A

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∴(1+2cos2A) =

2

2ab 2 2 =a +b . 2ab a2 ? b2
)

例 18

一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为(

A.arcos

5 ?1 2

B.arcsin

5 ?1 2

C.arccos

1? 5 2

D.arcsin

1? 5 2

解:不妨设此直角三角形三内角为 A、B、C 且 A<B<C=90°. 由已知,sinA,sinB,sin90°=1 成等比数列, 2 ∴sin B=sinA 又 A+B=90°,得 sinB=cosA, 2 2 ∴cos A=sinA,1-sin A=sinA, 2 即 sin A+sinA-1=0. 解出 sinA=

?1? 5 ?1? 5 (舍去 sinA= )? 2 2 5 ?1 , 2

∴A=arcsin

应选 B. 2 2 例 19 如图,若 sin x>cos x,则 x 的取值范围是( ).

3? ? <x<2kπ + ,k∈Z} 4 4 5? ? B. {x|2kπ + <x<2kπ + ,k∈Z} 4 4 ? ? C. {x|kπ - <x<kπ + ,k∈Z} 4 4 3? ? D. {x|kπ + <x<kπ + ,k∈Z= 4 4
A. {x|2kπ 解:由于 sin x 和 cos x 的周期都是π ,故可先研究在[0,π ]上不等式的解. 在同一坐标系在区间[0,π ]上作出 sinx 和 cosx 的图像.
2 2

3 ? ? , ] cosx 的图像沿 x 轴上翻后, π 的 求出两曲线交点的横坐标为 x1= ,x2= . 4 2 4 3? ? 2 2 ∴在( +2kπ , +2kπ )上有 sin x>cos x. 4 4
把 [ 应选 D. 例 20 下列四个命题中的假命题是( ) A.存在这样的α 和β 的值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 和β 的值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对于任意的α 和β ,使得 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ
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D.不存在这样的α 和β 的值,使得 cos(α +β )≠cosα cosβ -sinα sinβ 解:C 是两角和的余弦展开公式,当然正确,从而 D 也正确. 对于 A,取α =β =0,则 cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A 正确. 对于 B,取α =β =2kπ ,k∈Z,则 cos(2kπ +cos2kπ )=cos2kπ cos2kπ +sin2kπ sin2k π, ∴B.不正确. 应选 B. 2 例 21 解不等式(arctgx) -3arctgx+2>0. 解: 〔(arctgx)-1〕 〔(arctgx)-2〕>0. ∴arctgx<1 或 arctgx>2.

? ? <arctgx< . 2 2 ? ∴- <arctgx<1,即有-∞<x<tg1. 2
又例 22 满足 arccos(1-x)≥arccosx 的 x 的取值范围是( ) C. [0, A.[-1,[

1 ] 2

B.[-

1 ,0] 2

1 ] 2

D.

1 ,1] 2
解:反余弦函数的定义域为[-1,1],且为减函数. -1≤1-x≤1 ∴ -1≤x≤1 1-x≤x 应选 D. 例 23 已知 cos2α =

?

1 ≤x≤1 2

7 5 3? ? ,α ∈(0, ),sinβ =,β ∈(π , ) 25 13 2 2
1 - cos2? 3 4 12 = ,从而 cosα = ,且 cosβ =2 5 5 13

求α +β (用反三角函数表示). 解:由题设得 sinα =

又α +β ∈(π ,2π )?(α +β -π )∈(0,π ),

33 . 65 33 ∴cos(α +β -π )=cos〔π -(α +β )〕=. 65 33 ∴-π +(α +β )=arccos 65 33 即α +β =π +arccos 65 1 例 24 记函数 y= 的图像为 l1, y=arctgx 的图像为 l2, 那么 l1 和 l2 的交点个数是( x
cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ =A.无穷多个 B.2 个 个? 解:作出函数草图可知有 2 个交点.
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) D.0

C.1 个

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又 x:0→

1 ? 时,arctgx:0→+∞, :+∞→0. x 2
又 arctgx 和

∴x>0 时,l1 和 l2 有一个交点.

1 都是奇函数, x

∴x<0 时,l1 和 l2 也有一个交点. 应选 B. 四、能力训练 1.设 M={第一像限角} ,N={小于 90°角} ,则 M∩N 是( ) (A){第一像限角} (B){锐角} (C) {小于 90°角} 非以上答案 (考查象限角的概念) 2.扇形圆心角为 60°,半径为 a,则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( ) (A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9 (考查扇形面积公式) 3.θ 是第四象限角,且|cos (A)第一象限 (D)第二、三象限
2 2 2

(D)

? ? ? |=cos ,则 在( 2 2 2
(B)第四象限

) (C)第一四象限

(考查象限角与三角函数值的符号) 4.sin 1°+sin 2°+?+sin 90°的值属于区间( ) (A)(43,44) (B)(44,45) (C)(45,46) (D)(46,47) (考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性) 5.已知角α 的顶点在原点, 始边与 x 轴正半轴重合, 终边为射线 4x+3y=0(x>0), sin 则 2 α (sinα +ctgα )+cos α 的值是( )

1 5 9 (D) 5
(A)

(B)

2 5

(C)

8 5

(考查三角函数定义和直线方程)

? ? logasinα logα cosα 6.己知 0<a<1, <α < ,则下列元数 M=(sinα ) ,N=(cosα ) ,P=(cos 4 2
α )
logasinα

的大小关系是( (A)M>N>P (D)M<P<N

) (B)M>P>N (C)M<N<P

(考查对数函数,指数函数的单调性,同角三角函数关系) 7.若 f(sinx)=sin3x,则 cos3x 等于( ) (A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx) (考查诱导公式与函数解析式) 8.方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错 (考查三角函数与对数函数的图像)
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9.函数 y=sin(2x+

? 4 5? (D)x= 4
(A)x=-

5? )的图像中的一条对称轴方程是( 2 ? (B)x=2

) (C)x=

? 8

(考查三角函数图像的特征) 10.如图是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的图像, 那么 f(x)的解析式可以写成( ) (A)f(x)=sin(1+x) (B)f(x)=-sin(1+x) (C)f(x)=sin(x-1) (D)f(x)=sin(1-x) (考查三角函数的图像与解析式)? 11.对于函数 y=cos(sinx),正确的命题是( ) (A)它的定义域是[-1,1] (B)它是奇函数 (C)y∈[cos1,1] (D) 不是周期函数? (考查三角函数有关性质及弧度制) 12.函数 y=tg (A)

? 2

x 1 的最小正周期是( 2 sinx
(B)π

) (C)

3? 2

(D)2π (考查三角函数的周期和恒等变形) 13.函数 y=cscxcos3x-cscxcos5x 是( (A)周期为 )

? 的奇函数 2

(B)周期为

? 的偶函数(C)周期为π 的奇函数 2

(D)

周期为π 的偶函数 (考查三角函数的性质,同角三角函数关系) 14.若 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,则下列不等式中成立的是( ) (A)a>

6 >b 2 6 2

(B)a<

b <b 2

(C)a<b<

b 2

(D)b<a<

(考查辅助角公式,三角函数的单调性) 15.下列四个命题中的假命题是( ) (A)存在这样的α 和β 的值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ (B)不存在无穷多个α 和β 的值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ (C)对于任意的α 和β ,都有 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ (D)不存在这样的α 和β 的值,使得 cos(α +β )≠cosα cosβ -sinα sinβ (考查公式的记忆,理解和逻辑语言的理解) 2 16.tgα 、tgβ 是方程 7x -8x+1=0 的二根,则 sin (α +β )2

8 1 2 sin(α +β )cos(α +β )+ cos (α +β )的值是( 7 7
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)

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(A)

1 3 1 (D) 9

(B)

1 5

(C)

1 7

(考查两角和的正切公式,同角三角函数关系及有关求值) 17.sin(α +β )=则 cos2β =( (A)-1 (D)) (B)1 (C)

3 3 3? ? ,sin(α -β )= ,且α -β ∈( ,π ),α +β ∈( ,2π )。 5 5 2 2 24 25

4 5
(考查同角三角函数关系,两角差的余弦公式)
2

18.若 ctgx=3,则 cos x+

6 5 6 (D) 5
(A)-

1 sin2x 的值是( 2 4 (B)5

) (C)

4 5

(考查同角三角函数关系,半角公式,万能公式) 19.tg9°-tg27°+tg63°+tg81°的值为( ) (A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2 (考查同角三角函数关系,倍角公式,和积互化公式) 20.在△ABC 中,(1)已知 tgA= tgA=

5 12

sinB=

4 ,则∠C 有且只有一解,(2)已知 5
) (C)(1)与(2)都正确

12 3 ,sinB= ,则∠C 有且只有一解,其中正确的是( 5 5
(B)只有(2)

(A)只有(1) (D)(1)与(2)均不正确

(

(

(考查综合有关公式,灵活处理三角形中的计算) 21.在△ABC 中,若 a,b,c 为∠A,∠B,∠C 的对边,且 cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则 ) (A)a,b,c 成等差数列 (B)a,c,b 成等差数列 (C)a,c,b 成等比数列 (D)a,b,c 成等比数列 (考查三角形的内角和定理,正弦定理,和差化积,倍角公式,两个基本数列) 22.给出下列四个命题: ①若 sin2A=sin2B,则△ABC 是等腰三角形; ②若 sinA=cosB,则△ABC 是直角三角形; 2 2 2 ③若 sin A+sin B+sin C<2,则△ABC 是钝角三角形; ④若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC 是等边三角形,以上命题正确的个数是 ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力)
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23.函数 y=cosx(π ≤x≤2π )的反函数是( (A)y=π +arccosx -arccosx (B)y=

) (C)y=

5 π -arcsinx 2

3 π +arcsinx 2

(D)y= π

(考查反函数的求法,诱异公式,反三角弦函数定义) 24.下列各组函数中表示同一函数的一组是( ) (A)y=arcsin(cosx)与 y=arccos(sinx) (B)y=sin(arccosx) 与 y=cos(arcsinx) (C)y=arctgx 与 y=arcctg y=tg(arctgx) (考查有关反三角恒等式及其运算,函数的定义) 25.设 m=arcsin (A)p>n>m >p (考查反三角函数的运算及其单调性) 26.设函数 y=2arcsin(cosx)的定义域为((A)(

1 x

(D)y=sin(arcsinx)



2 5

,n=arccos

1 ,p=arctg 2 ,则 m,n,p 的大小关系是( 2
(C)p>m>n

) (D)m>n

(B)n>m>p

? ,π ) 3

? ? , ) 3 2

(B)(

? ,π ) 3

? 2? , ),则其值域是( 3 3 ? ? (C)(, ) 3 2

) (D)(-

(考查三角函数与反三角函数的定义域和值域) 27.函数 y=logsinx 的定义域是__________。 (考查函数定义域的求法,数形结合解三角不等式) 28.f(x)=sinx-sin|x|的值域是____________ (考查绝对值定义,诱异公式,正弦函数的简图,函数值域)
(2cosx+1)

29.把 y=sinx 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 向左平移

? 单位,这样得到的图像的解析式是______________。 6

1 (纵坐标不变)。然后将新得图像 2

(考查三角函数图像的变换) 30.若函数 y=sin(x+ ? )+cos(x+ ? )是偶函数,则 ? 的值是_________。 (考查函数的奇偶性,三角恒等变形,最简单三角方程) 31:(1)tg70°+tg50°- 3 tg70°tg50°=________ (2)△ABC 中,(1+tgA)(1+tgB)=2,则 log2sinc=_________ (3)(1+tg1°)(1+tg2°)(1+tg3°)??(1+tg45°)=________ (4)己知 tgA+tgB+ 3 = 3 tgAtgB,且 sinAcosB=

3 ,则△ABC 的形状是______ 4

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(5)己知 A、C 是锐角△ABC 的两个内角,且 tgA,tgC 是方程 x - 3 px+1-p=0(p≠0,且 p∈R),的两个实根,则 tg(A+C)=________,tgA,tgC 的取值范围分别是_____和_____,P 的取值范围是__________ (考查两角和的正切公式的变形运用,倍角公式,韦达定理,对数值计算) 32.函数 y=cosx-1(0≤x≤2π )的图像与 x 轴所围成图形的面积是_________。(考查三 角函数图形的对称变换) 33.函数 y=arcsin x +arctgx 的值域是___________(考查反三角函数的定义域、 值域、 单调性) 34.关于函数 f(x)=4sin(2x+

2

? )(x∈R),有下列命题 3

① 由 f(x1)=f(x2)=0 , 可 得 x1-x2 必 是 π 的 整 数 倍 ; ② y=f(x) 的 表 达 式 可 改 写 为 y=4cos(2x-

? ); 6

③y=f(x)的图像关于点(-

? ? ,0)对称;④y=f(x)的图像关于直线 x=- 对称 6 6
kx ? + ),其中 k≠0 5 3

其中正确命题的序号是______________ (考查简单三角方程,诱导公式,图像的对称性) 35.设三角函数 f(x)=sin(

(1)写出 f(x)的极大值 M,极小值 m,最小正周期 T。 (2)试求最小的正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时, 函数 f(x)至少有一个值是 M 与一个值 m, (考查三角函数的最值、周期,以及分析问题、解决问题的能力)

36.己知 x+

1 1 n =2cosθ ,试求 x + n (n∈N)的值 x x
(结合三角函数,考查数学归纳法,增量法)

37.求值: (1)

3tg12 ? ? 3) csc12 ? 4 cos2 12 ? ? 2

(2)sec50°+tg10°

(考查同角三角函数关系,倍角公式,辅助角公式,和差化积等)

38.解答下列各题: (1)己知 A、B 均为钝角,且 sinA=

5 10 ,sinB= ,求 A+B 5 10

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(2)己知α 、β ∈(0,π ),且 tg(α -β )=
2

1 1 ,tgβ =- ,求 2α -β 2 7
2

(3)己知α 、β 都是锐角,且 3sin α +2sin β =1,3sin2α -2sin2β =0,求证:α +2β =

? 2
(4)求证:arcsin

3 5 16 +arcsin()=arcsin 5 13 65
(考查如何求角,如何证明关于角的等式)

39.根据下列所给条件,分别求出 cos(α +β )的值: (1)己知 sinα -sinβ =

1 1 ,cosα -cosβ = 2 4 1 1 + i; 4 2

(2)己知α 、β 是方程 2cosx-sinx+b=0 的两个根(α ≠2kπ +β ,k∈z); (3)己知 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ +isinβ ,z1-z2=
2 2

(4)己知直线 y=2x+m 与圆 x +y =1 有两个公共点 M,N,且 x 轴正半轴逆转到两射线 OM, ON(O 为原点)的最小正角依次为α 、β (考查三角与方程、复数、解几的联系,万能公式的运用) 40.解答下列各题: (1)锐角△ABC 中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC (2)锐角△ABC 中,求证:tgAtgBtgC>1 (3)α 、β ∈[0,

sin 2 ? sin 2 ? ? ? ] ,己知 + =2,求证:α +β = 2 2 2 2 cos ? cos ?
(考查三角函数的单调性)

41.解答下列各题: (1)若 y=acosx+b 的最大值是 1,最小值是-7,求 acosx+bsinx 的最大值。 (2)求 y=

2 - sinx 的最值 2 - cosx
2

(3)设函数 y=-2sin x-2cosx-2a+1 的最小值是 f(a),①写出 f(a)的表达式;

1 的 a 的值。 2 sin x cos x (4)求 f(x)= 的值域 1 ? sinx ? cosx
②试确定能使 f(a)= (5)求 y=2sinxsin2x 的最大值 (6)若θ 为钝角,求 y=

a2 b2 + (a>b>0)的最小值 cos2 ? sin 2 ?

(7)己知 sinxsiny=
2

1 ,求 cosxcosy 的取值范围 2
2 2 2

(8)己知 3sin α +2sin β =2sinα ,求 cos α +cos β 的最值 (考查三角函数常见最值的求法)

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42.a、b、c 是△ABC 的三边,求证:

1 ? cos(A - B)cosC a 2 ? b 2 = 1 ? cos(A ? C ) cos B a 2 ? c 2
(考查三角形中恒等式的证明)

43.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a+c=2b,A-C= 值。

? ,求 sinB 的 3

(考查三角形中的有关计算) 44.在△ABC 中,sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若△ABC 的周长为 12,求其面积的最 大值。(考查三角形中的最值问题) 45.己知 f(x)=tgx,x∈(0,

1 ? ? ),若 x1,x2∈(0, ),且 x1≠x2,证明: [f(x1)+f(x2)] 2 2 2

>f(

x1 ? x2 2

) (综合考查三角函数与不等式)

2 2 46.己知实数 x,y 满足 x 1 - y +y 1 - x =1,问

x +y 是否为定值?若是,请求该值:否则求其取值范围。 (考查代数与三角的综合题) 47.在高出地面 30m 的小山顶 C 处建造一座电视塔 CD(如图), 今在距离 B 点 60m 的地面 上取一点 A,若测得 CD 对 A 所张的角为 45°,求电视塔的高度。 (考查应用数学知识处理实际问题的能力) 48.如图,海中小岛 A 周围 20 海里内有暗礁,船向正南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的 角偏东 30°,在 C 处测得 A 在船的南偏东 60°,如果此船不改变航向,有无触礁的危险? ? (考查应用正弦定理处理实际问题的能力)?

2

2

49.外国船只,除特许者外,不得进入离我海岸线 D 里以内的区域,设 A,B 是我们的观 测站,A 与 B 间的距离是 S 里,海岸线是过 A,B 的直线,一外国船只在 P 点,在 A 处测得 ∠BAP=α ,同时在 B 处测得∠ABP=β ,问α 及β 满足什么三角不等式时,就应当问这艘未经 特许的外国船发出警告,命令退出我海域?

(考查灵活应用三角知识处理实际问题的能力) 50.半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆周长的动点,以 AB 为边,向形外作等边△ABC,问 B 点在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大?并求出这个最 大值。 (考查分析问题和解决问题的能力)

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51.己知半径为 1, 圆心角为

? 的扇形, 求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。 3

(考查三角函数在圆形最值中的运用)

52.腰为 a 的等腰△ABC 中,∠A=90°,当 A,B 分别在 x 轴,y 轴正半轴上移动,且点 C 与原点 O 在 AB 的两侧时,求 OC 长的最大值。 (综合考查三角、解几、最值问题)

53.如图所示,水渠横断面为等腰梯形,渠深为 h,梯形面积为 S,为使渠道的渗水量达 到最小,应使梯形两腰及下底边长之和最小,问此时腰与下底夹角α 应该是多少?? (考查代数与三角的综合)

54.用一块长为 a, 宽为 b(a>b)的矩形木块, 在二面角为α 的墙角处围出一个直三棱柱 的储物仓(使木板垂直于地面的两边紧贴墙面, 另一边与地面紧贴)试问, 怎样围才能使储物 仓的容积最大?并求出这个最大值 (考查代数、三角、立几的综合运用)

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55.如图所示,在平面直角坐标系中,在 y 轴的正半轴上给定两点 A,B,试在 x 轴正半轴 上求一点 C,使∠ACB 最大。 (考查代数,三角,解几的综合运用)

参考答案 1.D 17.A 2.B 3.B 4.C 5.C 20.B 21.D 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 18.D 19.B 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D ,且 x≠2kπ +

27.{x|2kπ <x<2kπ + 30. ? =kπ +
23

? 4

2? 3

? 2

,k∈z=

28.[-2,2]

29.y=sin(2x+

(k∈z)

31.(提示:应用公式 tgα +tgβ =tg(α +β )(1-tgα tgβ ))(1)(4)正三角形 (5)

? ) 3 1 3 (2)2
33.

(3)2 (提示: 用(2)的结论)

3; (0, 3 ); (0, 3 ); [

2 , 1) 3

32.2π

[0,

3 π] 4
n

34.①②

35.(1)M=1,m=-1,T=

10? k

(2)k=32

(提示:令 T≤1)

36.2cos θ 方法(一):用数学归纳法 方法(二):设 x=cosθ +t,则 ∴t =-sin θ 于是取 t=isinθ 37.(1)-4 ∴x=cosθ +isinθ (2) 代入即可
2 2

1 1 = =cosθ x cos? ? t

-t

3

3
∴A+B=

38.(1)∵A+B∈(0,π ),sin(A+B)=1 (2)tgα =tg[(α +β )-β ]= ∴β ∈(

? 2

3? 4

1 ∈(0,1) 3

α ∈(0,

? ) 4

tgβ =-

1 7

∈(-1,0)

,π )

∴2α -β ∈(-π ,(3)α +2β ∈(0,

? ) 4

又∵tg(2α +β )=tg[α +(α -β )]=1 sin(α +2β )=1 ∴α +2β =

∴2α -β =-

3 π) 2

? 2

3? 4

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(4)arcsin

3 5 ? +arcsin()∈(5 13 2



? ), 2

arcsin

16 ? ∈(0, 65 2

)

又两边正弦相等

∴等式成立。 39.提示:问题都可归结为 tg

? ? ? cos? ? cos ? = sin ? ? sin ? 2

=-

1 ? cos(α 2

+β )=

3 5

40.提示: (1)~(2)A+B>

? 2



? ? >A> -B>0 2 2

∴sinA>sin(

? -B)=cosB 2

同理:sinB>cosC,sinC>cosA

(3)显然: α ∴α +β ≤

sin 2 ? sin 2 ? , cos 2 ? cos2 ?

必定一个大于 1, 一个不小于 1, 不妨设 sin α ≤cos β

2

2

sin β ≥cos

2

2

? 2

α +β ≥

? 2

∴α +β =

? 2
(提示:有三种解法 :万能公式,解析法:转化为

41.(1)5

(2)ymax=

4? 7 3

,ymin=

4? 7 3

asinx+bcosx=c(处理) 1 (a≤-2)

(3)①f(a)=

-

a2 2

-2a-1

(-2<a<2= (a≥2)

1-4a

②a=-1(提示:通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题)

(4)[-

2 ?1 ,-1]∪(-1, 2
2

2 ?1 ] 2

(5)y=4sin xcosx

2

∴y =8sin x?sin ?x2cos x≤

2

2

2

2

sin 2 x ? sin 2 x ? 2cos2 x 8( ) 3
∴ymax=

8 3 9
2

(6)y=a (1+tg θ )+b (1+ctg θ )=a +b +(a tg θ +b ctg θ )≥(a+b)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴ymin=(a+b)

(7)设 cosxcosy=M,则 M+ ∴M∈[1] ∴sinα ∈[0,

1 1 , ] 2 2 2 ] 3

1 1 =cos(x-y)∈[-1,1] M- =cos(x+y)∈[-1,1] 2 2 1 1 3 3 (8)cos α +cos β = (sinα - ) + 又 sin β =sinα - sin α 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∈[0,

∴ (cos α +cos β )max=2,(cos α +cos β )min=

14 9

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42.提示:左=

1 ? cos(A ? B) cos(A ? B) 2 ? cos 2 A ? cos 2 B sin 2 A ? sin 2 B = = =右 1 ? cos(A ? C ) cos(A ? C ) 2 - cos2A - cos2C sin 2 A ? sin 2 C

43.

39 8
∴ A=

44.由条件可知 cosA=0

? 2

∴12=b+c+

b2 ? c2

≥2

bc + 2bc



bc =6(2- 2 )

∴Smax=108-72

2

45.分析: ?

sin(x1 ? x 2 ) cos x1 cos x 2



2sin(x1 ? x 2 ) ? 1+cos(x +x )>2cosx cosx ? cos(x -x )<1 1 ? cos(x1 ? x 2 )
1 2 1 2 1 2

46.设 x=cosα ,y=cosβ (α ,β ∈[0,π ]),则 sin(α +β )=1,∴α +β = 47.150m 48.∵A 离航向所在直线的距离为 15 ∴继续航行没有触礁的危险 49.设 P 到 AB 的距离为 d,则 S=d(ctgα +ctgβ ) 当 d≤D,即 ctgα +ctgβ ≤

? 2

∴ x +y =1

2

2

3 >20

S 时,应向外国船发出警告。 D
5 3 4
+2sin(α -60°)

50.设∠AOB=α (0°<α <180°=,则 S=

∴α =150°时,Smax=2+

5 3 4 3 3
(cos(2α -

51.设∠BOC=α ,则 S=

? 1 )- ) 3 2

∴α =

? 时,S 6

max

=

3 6
2 2

52.设∠BAO=α ,则 OC =a (

3 1 +sin2θ + cos2θ 2 2

)

∴|OC|max=-

5 ?1 a 2
h

53.三边之和 l= ∴α

S 2 ? cos? + sin ? h S =30°时,l = + 3 h h
min

54.设木板在地面上的两顶点在墙角的距变分别是 x、y

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优秀文档,精彩无限! (1)若长边紧贴地面,则 a =x +y -2xycosα ≥2xy(1-cosα ) ∴此时 Vmax=
2 2 2

1 ? a bctg =V 4 2
2 2 2

1

(2)若短边紧贴地面,则 b =x +y -2xycosα ≥2xy(1-cosα ) ∴ 此时 Vmax=

2

2

1 ? b actg =V 4 2

2

∵a>b>0

∴V1>V2

∴当长边紧贴地面,且仓的底面是以 a 为底边的等腰三角形时容积最大,最大值为 55.设 A(0,a),B(0,b),C(x,0) tg∠ACB=tg(∠ACO-∠BCO)= 则

1 ? a bctg 4 2
2

a?b ab ( x ab ? ab ) x

∴当 x=

ab 时,(∠ACB)

max

=arctg

a ?b 2 ab

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