当前位置:首页 >> 数学 >>

河北省邯郸市2015届高三上学期摸底数学试卷(理科)


河北省邯郸市 2015 届高三上学期摸底数学试卷(理科)
一.选择题 1. (5 分)已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则() A.M?N B.N=M C.M∩N={2,3} 2. (5 分)复数 z= A.第一象限 (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

D.M∪N={1,4}



3. (5 分)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从 2014-2015 学 年高一 600 人、2014-2015 学年高二 780 人、2015 届高三 n 人中,抽取 35 人进行问卷调查, 已知 2014-2015 学年高二被抽取的人数为 13 人,则 n 等于() A.660 B.720 C.780 D.800 4. (5 分)设 a=log23,b=log46,c=log89,则下列关系中正确的是() A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 5. (5 分)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=() A.120 B.105 C.90 D.75 6. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

7. (5 分)如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1cm,粗实线为某空间几何体的三视图,则

该几何体的体积为() A.2cm
3

B.4cm

3

C.6cm

3

D.8cm

3

8. (5 分)函数 f(x)=2x﹣tanx 在

上的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)设 z=x+y,其中 x,y 满足

,若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为()

A.﹣2

B . ﹣3

C . ﹣4

D.﹣5

10. (5 分)将半径为 2 的圆分成相等的四弧,再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内,现在 往该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)已知 A,B,C 点在球 O 的球面上,∠BAC=90°,AB=AC=2.球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则球 O 的表面积为() A.12π B.16π C.36π D.20π 12. (5 分)抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若△ OFM 的外接 圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 36π,则 p=() A.2 B. 4 C. 6 D.8
2

二.填空题 13. (5 分)在(x ﹣ ) 的展开式中,x 的系数为.
2 5

14. (5 分)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友, 每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有种.

15. (5 分) 在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, D 是 AB 的中点, E 为线段 AC 上一动点, 则 的取值范围为.

?

16. (5 分)如果定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不等的实数 x1,x2 都有 x1f(x1)+x2f (x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“Z 函数”给出函数: ①y=﹣x +1,②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y= 以上函数为“Z 函数”的序号为.
3

④y=



三.解答题 17. (10 分)已知递增等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 S3=2S2+1. (1)求数列{an}的通项公式; * (2)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,且{bn}的前 n 项和 Tn.求证:Tn≥2. 18. (12 分) 在三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且三角形的面积为 S= (1)求角 B 的大小 (2)若 =4,求 的值. accosB.

19. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC=A1B1C1 中,AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上. (1)求证:BC⊥A1B; (2)若 AD= ,AB=BC=2,P 为 AC 的中点,求二面角 P﹣A1B﹣C 的平面角的余弦值.

20. (12 分) 某商场组织有奖竞猜活动, 参与者需要先后回答两道选择题, 问题 A 有三个选项, 问题 B 有四个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题 A 可获奖金 25 元,正确回答 问题 B 可获奖金 30 元,活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答 正确,则继续答题,否则该参与者猜奖活动终止,假设一个参与者在回答问题前,对这两个 问题都很陌生,只能用蒙猜的办法答题. (1)如果参与者先回答问题 A,求其获得奖金 25 元的概率; (2)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰

直角三角形,直线 x+y+1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程. (2)设 P 为椭圆上一点,若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 S 和 T,且 满足 (O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围.

22. (12 分)已知函数 f(x)= (1)若 f(x)在区间[1,+∞)单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)当 a= 时,求函数 f(x)在区间[m,m+1](m>0)上的最小值.

河北省邯郸市 2015 届高三上学期摸底数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题 1. (5 分)已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则() A.M?N B.N=M C.M∩N={2,3}

D.M∪N={1,4}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 列举出 N 中的元素,求出 M 与 N 的交集即可做出判断. 解答: 解:∵M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4}={2,3}, ∴N?M,M∩N={2,3},M∪N={1,2,3}. 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)复数 z= A.第一象限

(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的运算法则和几何意义即可得出. 解答: 解:复数 z= = =1﹣i 在复平面内对应的点(1,﹣1)位于第四象限.

故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则和几何意义,属于基础题. 3. (5 分)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从 2014-2015 学 年高一 600 人、2014-2015 学年高二 780 人、2015 届高三 n 人中,抽取 35 人进行问卷调查, 已知 2014-2015 学年高二被抽取的人数为 13 人,则 n 等于() A.660 B.720 C.780 D.800 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义,建立条件关系即可得到结论. 解答: 解:∵2014-2015 学年高一 600 人、2014-2015 学年高二 780 人、2015 届高三 n 人中, 抽取 35 人进行问卷调查,已知 2014-2015 学年高二被抽取的人数为 13 人, ∴ ,

解得 n=720, 故选:B. 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立分层是解决本题的关键,比较基础. 4. (5 分)设 a=log23,b=log46,c=log89,则下列关系中正确的是() A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 常规题型. 分析: 根据换底公式变为同底的对数再比较大小.

解答: 解:log46= ∵3> ∴ >

=

;log89=

=

故选 A 点评: 本题考查了换底公式,和对数函数的单调性.当给出的对数不同底时,往往要转化 为同底的进行大小比较. 5. (5 分)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=() A.120 B.105 C.90 D.75 考点: 等比数列. 分析: 先由等差数列的性质求得 a2,再由 a1a2a3=80 求得 d 即可. 解答: 解:{an}是公差为正数的等差数列, ∵a1+a2+a3=15,a1a2a3=80, ∴a2=5, ∴a1a3=(5﹣d) (5+d)=16, ∴d=3,a12=a2+10d=35 ∴a11+a12+a13=105 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的运算. 6. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值.

解答: 解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1,a=2; 经第二次循环得到 i=2,a=5; 经第三次循环得到 i=3,a=16; 经第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条件,执行是,输出 4 故选 B 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律. 7. (5 分)如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1cm,粗实线为某空间几何体的三视图,则

该几何体的体积为() A.2cm
3

B.4cm

3

C.6cm

3

D.8cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知,两个这样的几何体以俯视图为底面的四棱锥,求出底面面积和高, 代入棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 其底面面积 S= ×(2+4)×2=6, 高 h=2, 故体积 V= Sh= ×6×2=4cm , 故选:B 点评: 本题考查的知识点是由三视图,求体积,其中根据已知分析出几何体的形状是解答 的关键.
3

8. (5 分)函数 f(x)=2x﹣tanx 在

上的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的图象. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 由题意判断函数的奇偶性以及函数在 x 大于 0 时的单调性即可推出正确结果. 解答: 解:因为函数 f(x)=2x﹣tanx 在 函数是奇函数, 故 A,B 不正确; 又 x= →0 ,函数 f(x)=2×
+

上满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,所以

﹣tan

=

>0,

故 C 正确,D 不正确. 故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性与函数的单调性的应用,特值法是解答选择题的好方法.

9. (5 分)设 z=x+y,其中 x,y 满足

,若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为()

A.﹣2

B . ﹣3

C . ﹣4

D.﹣5

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题. 分析: 确定不等式对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,及 z 的最大值为 6,即可求 得 z 的最小值.

解答: 解:由题意,

构成一个三角形区域,三个顶点的坐标为(0,0) , (k,k) ,

(﹣2k,k) ∵z=x+y 的几何意义是直线 y=﹣x+z 的纵截距 ∴在(﹣2k,k)处函数取得最小值,在(k,k)处函数取得最大值 ∵z 的最大值为 6,∴k+k=6,解得 k=3 ∴z 的最小值为﹣2k+k=﹣k=﹣3 故选 B. 点评: 本题考查简单线性规划的应用,解题的关键是确定不等式对应的平面区域,明确目 标函数的几何意义. 10. (5 分)将半径为 2 的圆分成相等的四弧,再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内,现在 往该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型. 概率与统计. 根据几何概型,求出阴影部分的面积,即可得到结论. 解:将图形平均分成四个部分,则每个图形空白处的面积为 = , , ,

阴影部分的面积为

∴根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为: 故选:D.

点评: 本题主要考查几何概型的概率计算,求出阴影部分的面积是解决本题的关键. 11. (5 分)已知 A,B,C 点在球 O 的球面上,∠BAC=90°,AB=AC=2.球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则球 O 的表面积为() A.12π B.16π C.36π D.20π 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由∠BAC=90°,AB=AC=2,得到 BC,即为 A、B、C 三点所在圆的直径,取 BC 的 中点 M,连接 OM,则 OM 即为球心到平面 ABC 的距离,在 Rt△ OMB 中,OM=1,MB= , 则 OA 可求. 解答: 解:如图所示:取 BC 的中点 M,则球面上 A、B、C 三点所在的圆即为⊙M,连接 OM,则 OM 即为球心到平面 ABC 的距离, 在 Rt△ OMB 中,OM=1,MB= , ∴OA= ,即球的半径为 , ∴球 O 的表面积为 12π. 故选:A.

点评: 本题考查球的有关计算问题,点到平面的距离,是基础题.

12. (5 分)抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若△ OFM 的外接 圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 36π,则 p=() A.2 B. 4 C. 6 D.8 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,可得△ OFM 的外接圆的圆心到准线 的距离等于圆的半径,由此可求 p 的值. 解答: 解:∵△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切, ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为 36π,∴圆的半径为 6, 又∵圆心在 OF 的垂直平分线上,|OF|= , ∴ + =6, ∴p=8, 故选:D. 点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查学生的计算能力,属于基础题. 二.填空题 13. (5 分)在(x ﹣ ) 的展开式中,x 的系数为﹣10.
2 5

2

考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: 根据题意,可得(x ﹣ ) 的通项为 Tr+1,令 x 的幂指数等于 1,可得 r=3,将 r=3 代入通项可得 x 的系数. 解答: 解:根据二项式定理(x ﹣ ) 的通项为 Tr+1=C5 ?(x)
r r 10﹣3r 2 5 r 10﹣2r 2 5

?(﹣



r

=(﹣1) C5 ?(x) , 令 10﹣3r=1,可得 r=3, 3 3 将 r=3 代入通项公式,可得含 x 项的系数为: (﹣1) C5 =﹣10, 故答案为:﹣10. 点评: 本题考查二项式定理的运用,注意二项式系数与某一项的系数的区别. 14. (5 分)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友, 每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 10 种. 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合.

分析: 本题是一个分类计数问题,一是 3 本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行了 4 种,另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册,只要选两个人拿画册 C4 种,根据分类计数原理得到 结果 解答: 解:由题意知本题是一个分类计数问题 一是 3 本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行了 4 种 2 另一种情况是 2 本画册 2 本集邮册,只要选两个人拿画册 C4 =6 种 根据分类计数原理知共 10 种, 故答案为:10. 点评: 本题考查分类计数原理问题,关键是如何分类,属于基础题,
2

15. (5 分) 在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, D 是 AB 的中点, E 为线段 AC 上一动点, 则 的取值范围为[ ,3].

?

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 得到 ? 和 的夹角为 60°,设| |=x,x∈[0,2],根据的向量的之间的关系

的表达式,借助于二次函数求出最值,即得它的取值范围. 和 ﹣ 的夹角为 60°,设| )= ﹣ |=x,x∈[0,2], ﹣ + =2×1﹣2xcos60°﹣

解答: 解:由题意可得 ∵ ? =(
2



) ?(

xcos60°+x
2

=x ﹣ x+2= 故当 x= 时, 故 ? ?

+

, ,当 x=2 时, ? 取得最大值为 3,

取得最小值为 ,

的取值范围为

点评: 本题题主要考查两个向量的加减法的法则、其几何意义、两个向量的数量积的定义 以及二次函数配方求最值,属于基础题. 16. (5 分)如果定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不等的实数 x1,x2 都有 x1f(x1)+x2f (x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“Z 函数”给出函数: ①y=﹣x +1,②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y= 以上函数为“Z 函数”的序号为②. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用.
3

④y=



分析: 不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f (x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. ①函数 y=﹣x +1 在定义域上单调递减.不满足条件. ②y=3x﹣2sinx﹣2cosx,y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2(sinx﹣cox)=3﹣2 数单调递增,满足条件. ③f(x)=y= 足条件. ④y= ,当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满足条 ,当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满 sin(x﹣ )>0,函
3

件. 故答案为:② 点评: 本题主要考查函数单调性的应用,将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的 关键. 三.解答题 17. (10 分)已知递增等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 S3=2S2+1. (1)求数列{an}的通项公式; * (2)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,且{bn}的前 n 项和 Tn.求证:Tn≥2. 考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设公比为 q,由题意 1+q+q =2(1+q)+1,由此能求出 (2) 由 bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2
n﹣1 2

. =n +2
2 n



﹣1,由此能证明 Tn≥2. 解答: (1)解:设公比为 q,由题意:q>1,a1=1, 则 a2=q, ,

∵S3=2S2+1,∴a1+a2+a3=2(a1+a2)+1,…(2 分) 2 则 1+q+q =2(1+q)+1, 解得:q=2 或 q=﹣1(舍去) , ∴ .…(4 分)
n﹣1

(2)证明:bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2

,…(6 分)

=
2 n

+

=n +2 ﹣1.…(8 分) 又∵ 在[1,+∞)上是单调递增的,

∴Tn≥T1=2, ∴Tn≥2.…(10 分) 点评: 本题考查不等式的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意分组求和法的合理运 用.

18. (12 分) 在三角形 ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且三角形的面积为 S= (1)求角 B 的大小 (2)若 =4,求 的值.

accosB.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)在三角形 ABC 中,由条件可得 S= 得 B 的值. (2)由 =4 以及 B= ,可得 b =ac,由正弦定理可得 sin B=3sinAsinC,求出 sinAsinC ,
2 2

,求得 tanB 的值,可

的值.再利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式把要求的式子化为 从而求得结果. 解答: 解: (1)在三角形 ABC 中,∵ ,∴tanB= 再由 0<B<π,∴ (2)∵ sin B=3sinAsinC. ∵ ∴ . , =
2

,由已知

,可得



. ,又∵ ,由正弦定理可得

点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系、两角和的正 弦公式,属于基础题.

19. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC=A1B1C1 中,AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上. (1)求证:BC⊥A1B; (2)若 AD= ,AB=BC=2,P 为 AC 的中点,求二面角 P﹣A1B﹣C 的平面角的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由已知得 A1A⊥平面 ABC,A1A⊥BC,AD⊥BC.由此能证明 BC⊥A1B. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC⊥平面 A1AB,从而 BC⊥AB,以 B 为原点建立空间直角坐标系 B﹣xyz, 利用向量法能求出二面角 P﹣A1B﹣C 的平面角的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱, ∴A1A⊥平面 ABC,又 BC?平面 ABC,∴A1A⊥BC, ∵AD⊥平面 A1BC,且 BC?平面 A1BC, ∴AD⊥BC.又 AA1?平面 A1AB,AD?平面 A1AB,A1A∩AD=A, ∴BC⊥平面 A1AB, 又 A1B?平面 A1BC,∴BC⊥A1B. (5 分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 BC⊥平面 A1AB,AB?平面 A1AB,从而 BC⊥AB, 如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系 B﹣xyz ∵AD⊥平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上, ∴AD⊥A1B. 在 Rt△ ABD 中,AD= ,AB=2, sin∠ABD= = ,∠ABD=60°,

在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1A⊥AB. 在 Rt△ ABA1 中,AA1=AB?tan60°=2 , 则 B(0,0,0) ,A(0,2,0) ,C(2,0,0) , P(1,1,0) ,A1(0,2,2 ) , , 设平面 PA1B 的一个法向量 =(0,2,2 ) , , ,

则 得

,即 ,



设平面 CA1B 的一个法向量





,即









∴二面角 P﹣A1B﹣C 平面角的余弦值是

.…(12 分)

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 20. (12 分) 某商场组织有奖竞猜活动, 参与者需要先后回答两道选择题, 问题 A 有三个选项, 问题 B 有四个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题 A 可获奖金 25 元,正确回答 问题 B 可获奖金 30 元,活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答 正确,则继续答题,否则该参与者猜奖活动终止,假设一个参与者在回答问题前,对这两个 问题都很陌生,只能用蒙猜的办法答题. (1)如果参与者先回答问题 A,求其获得奖金 25 元的概率; (2)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大. 考点: 离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)随机猜对问题 A 的概率 与者先回答问题 A,且获得奖金 25 元概率. ,随机猜对问题 B 的概率 .由此能求出参

(2)参与者回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:①先回答问题 A 再回答问题 B,参与者 获奖金额 ξ 可取 0,25,55,②先回答问题 B 再回答问题 A,参与者获奖金额 η 可取 0,30, 55.分别求出相应的期望能得到应该先答问题 A,再答问题 B 能使该参与者获奖金额的期望 值较大. 解答: 解: (1)随机猜对问题 A 的概率 随机猜对问题 B 的概率 . ,

设参与者先回答问题 A,且获得奖金 25 元为事件 M, 则 ,

即参与者先回答问题 A,且获得奖金 25 元概率为 . (5 分) (2)参与者回答问题的顺序有两种,分别讨论如下: ①先回答问题 A 再回答问题 B,参与者获奖金额 ξ 可取 0,25,55, 则 , , (8 分) . ②先回答问题 B 再回答问题 A,参与者获奖金额 η 可取 0,30,55 则 , , , . 因为 E(ξ)>E(η) ,所以应该先答问题 A,再答问题 B. (12 分) 点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的期望的求法,是中档题,在历年 2015 届高考中都是必考题型.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰

直角三角形,直线 x+y+1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程. (2)设 P 为椭圆上一点,若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 S 和 T,且 满足 (O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)写出满足条件的圆的方程,再由直线与圆相切得到 d=a,再由等腰直角三角形 得到 b=c,解方程即可得到 a,b 的值; (2)设 P(x0,y0) ,设出直线 l:y=k(x﹣2) ,联立椭圆方程消去 y,得到 x 的方程,运用韦 达定理和判别式大于 0,再由向量加法运算得到 x0,y0 的关系,代入椭圆方程,结合判别式大 于 0,即可得到 t 的范围. 解答: 解: (1)由题意得,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径 2 2 2 的圆的方程为(x﹣c) +y =a , ∴圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= *,

∵椭圆 C: 则 b=c,

+

=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ,代入*式得 b=c=1 即 a= +y =1;
2

b=



故所求椭圆方程为

(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y=k(x﹣2) ,设 P(x0,y0) , 2 2 2 2 将直线方程代入椭圆方程得: (1+2k )x ﹣8k x+8k ﹣2=0, 4 2 2 2 ∴△=64k ﹣4(1+2k ) (8k ﹣2)=﹣16k +8>0 ∴ ,

设 S(x1,y1) ,T(x2,y2)则



当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=0,此时 t=0, 当 t≠0 时 得 tx0=x1+x2= ,ty0=y1+y2=k(x1+x2)﹣4k=

成立,故 t=0 符合题意.









将上式代入椭圆方程得:



整理得:
2



知 0<t <4,

所以 t∈(﹣2,2) .

点评: 本题考查椭圆的方程和性质,以及直线与圆相切的条件,考查联立直线方程和椭圆 方程消去一个未知数, 运用韦达定理, 注意判别式大于 0 的条件, 考查运算能力, 属于中档题.

22. (12 分)已知函数 f(x)= (1)若 f(x)在区间[1,+∞)单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)当 a= 时,求函数 f(x)在区间[m,m+1](m>0)上的最小值.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)函数 f(x)在上为增函数,故 在[1,+∞)上

恒成立,即可解得; (2)利用导数判断函数的单调性,进而得出函数的最小值,注意对 m 的讨论. 解答: 解: (1)由题知:函数 f(x)在上为增函数,故 [1,+∞)上恒成立, 又由 e >0,x >0,则 ax﹣1≥0,即 又
ax 2



在[1,+∞)上恒成立,

,故 a≥1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

(2)当 当 当

时,





时,即 x>2 时,f'(x)>0; 时,即 x<0 或 0<x<2 时,f'(x)<0;

则 f(x)的增区间是(2,+∞) ,减区间是(﹣∞,0) , (0,2) 由于 m>0,则 m+1>1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 当 m+1≤2 时,即 0<m≤1 时,f(x)在[m,m+1]上单调递减, 则 ;

当 m<2<m+1 时,即 1<m<2 时,f(x)在[m,2]上单调递减,在(2,m+1]单调递增. 则 ;

当 m≥2 时,f(x)在[m,m+1]上单调递增.则



综上可知:当 0<m≤1 时, 当 1<m<2 时, ;



当 m≥2 时,

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题,考查学生分类讨论思想的运 用能力及运算求解能力,综合性逻辑性强,属于难题.


相关文章:
河北省邯郸市2015届高三上学期摸底数学试卷(理科)
河北省邯郸市2015届高三上学期摸底数学试卷(理科)_高中教育_教育专区。河北省邯郸市 2015 届高三上学期摸底数学试卷(理科)一.选择题 1. (5 分)已知集合 M={1...
河北省邯郸市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)
河北省邯郸市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。河北省邯郸市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)一.选择题 2 1. (3 分)已知...
【解析】河北省邯郸市2015届高三上学期1月质检数学(理)试题
【解析】河北省邯郸市2015届高三上学期1月质检数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。邯郸市 2015 届高三质检考试 理科数学试卷综述】重点考查基本知识和基本...
河北省邯郸市2015届高三摸底考试
河北省邯郸市2015届高三摸底考试_数学_高中教育_教育专区。河北省邯郸市 2015 届...河北省邯郸市 2015 届高三摸底考试 语文试题 第Ⅰ卷 阅读题 一、现代文阅读(...
河北省邯郸市2015届高三上学期摸底考试数学理试题
河北省邯郸市2015届高三上学期摸底考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。河北省邯郸市2015届高三上学期摸底考试数学试题邯郸市 2015 届高三摸底考试理科数学答案...
2015届河北省邯郸市高三摸底考试理科数学试题
绝密★启用前 2015 届河北省邯郸市高三摸底考试理科数学试题 理科数学考试时间:120 分钟 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2....
河北省邯郸市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)
河北省邯郸市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。河北省邯郸市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)一.选择题 2 1. (3 分)已知...
河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷(理科)
(2)>5,求 m 的取值范围. 河北省唐山市 2015 届高三上学期摸底数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分...
河北省保定市2015届高三数学上学期11月摸底试卷 理(含解析)
文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 河北省保定市 2015 届高三上学期 11 月摸底数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 ...
更多相关标签:
河北省邯郸市 | 河北省邯郸市永年县 | 河北省邯郸市大名县 | 河北省邯郸市邮编 | 河北省邯郸市魏县 | 河北省邯郸市峰峰矿区 | 河北省邯郸市区号 | 河北省邯郸市涉县 |