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2013自主招生物理精品讲义


第三部分 重要知识点专题解析
1连接体的速度关联问题

2引力势能的应用 3动量问题 4带电粒子在电磁场中的运动
5电场 电势的叠加原理及其应用

6电磁感应的综合问题

专题1连接体的速度关联问题 ?杆或(张紧的)绳约束物系各点速度的相关 特征是: 在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速 度.

?一个转动的物体的速度的特征是: 物体的角速度相等

?接触物系接触点速度的相关特征是:
沿接触面法向的分速度必定相同

1.在光滑的水平面上有一质量为M、倾角为θ的 光滑斜面,其上有一质量为m的物块,如图所 示。物块在下滑的过程中M和m对地的加速度。

N sin? ? max ? MaM

m

mg ? N cos? ? may aM sin? ? a y cos? ? a x sin?
M sin? cos? ax ? g 2 M ? m sin ?

M

( M ? m ) sin2 ? ay ? g 2 M ? m sin ?

m sin? cos? aM ? g 2 M ? m sin ?

2、如图所示,质量为M的滑块可以在光滑 的水平导轨上无摩擦地滑动,长为l的轻绳 一端系于滑块M上,另一端系一质量为m的 小球。今将轻绳沿水平方向拉直,使小球 与滑块等高,并同时释放。试问,当轻绳 与水平方向的夹角为? 时m的速度大小?
M

物理约束是什么? 几何约束是什么?

?
l m

解:系统水平方向动量守恒,有:

M

u

mv x ? Mu
系统机械能守恒,有:

?
l
vx vy

1 1 2 2 2 mgl sin? ? Mu ? m(v x ? v y ) 2 2
速度关联

m

u cos? ? v y sin? ? v x cos?
2 M gl sin ? v ? ( M ? m )(m cos2 ? ? M )
2 3 2 x

3、如图所示,B是质量为mB、半径为R的光滑半球形 碗,放在光滑的水平桌面上,A是质量为mA的细长直杆, 被固定的光滑套管C约束在竖直方向,A可自由上下运 动,碗和杆的质量关系为:mA=2mB,初始时,A杆被 握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如 图),然后从静止开始释放A,A、B便开始运动,设A 杆的位置用? 表示,? 为碗面的球心O至A杆下端与球 面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角,求A与B 速度的大小(表示成? 的函数)。
A C O R θ B

1 1 2 2 m A gR cos ? ? m Av A ? m B v B 2 2

A C O R θ B

v A ? v B tan ?
v A ? 2 gR cos ? /(1 ? 2 cot ? )
2

?

vB

vA

v B ? 2 gR cos ? /(1 ? 2 tan ? )
2

专题二、引力势能和弹性势能及其应用
?引力势能的表达式
Mm E p ? ?G r
y c b a F o x

?引力势能的应用

(1)圆轨道卫星的总机械能
Mm E ? ?G 2r

(2)椭圆轨道卫星的总机械能
Mm E ? ?G 2a

(3)椭圆轨道卫星的两个基本定律
1 GMm 1 GMm 2 2 mv1 ? ? mv2 ? 2 r1 2 r2
r1v1 ? r2v2 r1 ? a ? c r2 ? a ? c
v1
r1

y
c b a F o r2

v2 x

?弹性势能
1 2 E p ? kx 2

1、证明:在地球表面附近,重力势能是引 力势能的近似表示。
Mm Mm 1 1 ?E ? ?G ? ( ?G ) ? GMm( ? ) R?h R R R?h Mm 1 Mm ?G (1 ? ) ? G 2 h ? mgh R 1? h/ R R

A B

3、质量为m的人造地球卫星,在圆轨道上运行, 运行中受到大小恒为f的微弱阻力作用,以r表示 卫星轨道的平均半径,M表示地球质量,求卫星 在旋转一周过程中: (1)轨道半径的改变量?r;
GMm GMm ? GMm ? ?E ? ? ? ?? ? ? ? 2r 2 ?r 2( r ? ?r ) ? 2r ?

W f ? ? f (2?r )

?r ? 4?r f /(GMm)
3

(2)卫星动能的改变量?Ek。
1 1 1 GM 1 GM 2 2 ?E k ? mv2 ? mv1 ? ? 2 2 2 r ? ?r 2 r 1 GM ? ?r ? 2?fr 2 2 r

3.卫星携带一探测器在半径为3R (R为地球半径) 的圆轨道上绕地球飞行。在a点,卫星上的辅 助动力装置短暂工作,将探测器沿运动方向射 出(设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略)。 若探测器恰能完全脱离地球的引力,而卫星沿 新的椭圆轨道运动,其近地点b距地心的距离 为nR(n<3),求卫星与探测器的质量比。

解:设地球质量为M,卫星质量m1,探测器质量为m2, 半径为3R的圆运动速度为v,显然 GM 2 v ? 3R 1 GMm2 2 设分离后探测器速度为v2, m2v 2 ? ?0 2 3R 2GM 2 v2 ? 3R 设分离后卫星速度为v1,近地点速度为vb,由机械能 守恒和开普勒第二定律,得 1 GMm 1 GMm 2 2 mv1 ? ? mvb ? 2 3R 2 nR 3 Rv ? nRvb

v1 ?

2n GM 3 ? n 3R

由动量守恒,得
(m1 ? m2 )v ? m1v1 ? m2v2

m1 ? m2

2 ?1 2n 1? 3? n

4、频率为f的一个光子具有质量m,满足E=mc2, 其中E是光子的能量。从一颗星球表面向外发射 出的光子,当光子逃离星球引力场时,便会损 失能量。试论证:初始频率为f的光子从星球表 面到达无穷远处,若将它的频移(频率增量) 记为?f,证明
?f
GM ?? f Rc 2

式中G为引力恒量,R为星球半径,c为真空光 速,M为星球质量。
Mm hf ? G ? hf ? R

hf ? mc2

5.如图所示,水平弹簧一端固定,另一端系一质 量为m的小球,弹簧的弹性系数为k,小球与水 平面的动摩擦因数为?,当弹簧为原长时小球位 于O点,开始时小球位于O点右方的A点,O点与 A点之间的距离为l0,从静止释放小球。 (1)为使小球能通过 O点,且只能通过O点 一次,试问动摩擦因数 ?应满足什么条件?
m O l0 A

由能量关系,若能通过O点,则动摩擦因数 ?的最 大值 ?1满足
m

1 2 kl0 kl0 ? ?1mgl0 ? 0 ?1 ? O l0 A 2mg 2 若只能一次通过O点,则动摩擦因数 ?的最小值?2 满足 1 kl 2 ? ? mg( l ? 2l )
2
0 2 0 1

l1是小球向左运动的最远点B距O点的距离,由能量关 2? mg 系有 ?2 mg(l0 ? l1 ) ? 1 k (l02 ? l12 ) l ?l ? 2
2
1 0

k

4m 2 g 2 2 1 2 ?2 ? 3mgl0 ? ? kl0 ? 0 k 2
kl0 kl0 ??? 4mg 2mg

kl0 ?2 ? 4mg

7.如图所示,水平弹簧一端固定,另一端系一质量为m 的小球,弹簧的弹性系数为k,小球与水平面的动摩擦 因数为?,当弹簧为原长时小球位于O点,开始时小球 位于O点右方的A点,O点与A点之间的距离为l0,从静 止释放小球。 (2)在上述条件下,若小球在O点左方的B点停下来, 试问B点与O点之间的最大距离l1是多少?
m

要求小球在左边最远点B停住,除 满足上式外,小球在B点所受弹性 力不得超过最大静摩擦力,即

O l0 A

kl1 ? ?mg

l0 l1 ? 3

专题三、动量
?动量定理的应用
?动量守恒的矢量性:一维问题,二维问题。

?动量守恒的同一性:相对运动
?三种基本碰撞的特点与应用 ?动量问题中的能量问题

1、如图所示,一帆船在静水中顺风飘行, 风速为v0,问船速v为多大时,风供给船 的功率最大?设帆面与风向垂直,且风吹 到帆面后相对帆面静止。
F?t ? ?S(v0 ? v )?t ? (v0 ? v )
v0 v

P ? Fv ? ?S(v0 ? v )2 ? v

1 答案 : v ? v 0 3

2.位于水平光滑桌面上的n个完全相同的小物块,沿一 条直线排列,相邻小物块间都存在一定的距离。自左 向右起,第1个小物块标记为P1,第2个小物块标记为 P2,第3个小物块标记为P3,……,最后一个小物块即 最右边的小物块标记为Pn。现设法同时给每个小物块 一个方向都向右但大小各不相同的速度,其中最大的 速度记作v1,最小的速度记作vn,介于最大速度和最小 速度间的各速度由大到小依次记为v2、v3、…、vn?1。 若当小物块发生碰撞时,碰撞都是弹性正碰,且碰撞 时间极短,则最终小物块P1、P2、P3、…、Pn。速度的 大小依次为____________________________。

vn、vn?1、…、v3、v2、v1

3、如图所示,三个质量均为m的弹性小球用两 根长均为l的轻绳连成一条直线而静止在光滑水 平面上。现给中间的小球B一个水平初速度v0, 方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失, 轻绳不可伸长。求: (1)当小球A、C第一次相碰时,小球A的速度;
v0 A l B

l

C

2、(1)当小球A、C第一次相碰时,小球A的速度;
v0 A l B l C A vy B l l vx

C

mv0 ? 3mv x
2 v A ? v0 3

1 1 1 2 2 2 2 mv0 ? mv x ? 2 ? m(v x ? v y ) 2 2 2

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,小球B的 v0 速度和此时绳子的张力;
mv0 ? 2mv? ? mv? A B
A
l B l C

B

1 1 1 2 2 ? ? mv? 2 mv0 ? 2 ? m v A B 2 2 2
A

vx l C vy

l

2 v ? ? v0 A 3

1 v ? ? ? v0 B 3
A l

2 v0 T ?m l

B

l

C

(3)运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根 绳的夹角θ以及绳子的张力。
1 1 2 ?? 2 mv0 ? 2 ? mv A 2 2 2 v?? ? v0 A 2
B

v??A ?
A

?
C

mv0 ? 2mv?? cos? A

4 2 ?? 2 vA 2T cos? ? maB T ? maB cos? ? m l 2 v0 T ?m 4l

??

?

??

?

4.一块足够长的木板,放在光滑水平面上,如图所示。 在木板上自左向右放有序号为1、2、3、…、n号木块, 所有的木块质量均为m,与木板间的动摩擦因数均为?。 开始时,木板静止不动,第1、2、3、…、n号木块的 初速度分别为v0、2 v0、3 v0、…、n v0,v0方向向右, 木板的质量与所有木块的总质量相等,最终所有的木 块与木板以共同速度运动,试求:
v0 1 2v0 2 3v0 3 …… nv0 n

(1)第n号木块从开始运动到与木板刚好相对静止的 过程中对地的位移;

(1)第n号木块从开始运动到与木板刚好相对静止的 过程中对地的位移;
v0 1 2v0 2 3v0 3 ……

nv0
n

(1)设系统的末速度为vt,由系统的动量守恒定律,得

mv0 ? 2mv0 ? 3mv0 ? ... ? nmv0 ? 2nmvt
对第n号木块应用动能定理(或牛顿第二定律),设 位移为xn,则 1 1 2 2 W f ? ? f ? xn ? mvt ? m( nv0 ) 2 2
15n2 ? 2n ? 2 2 xn ? v0 32?g

(2)第(n?1)号木块在其整个运动中的最小 速度。
v0 1 2v0 2 3v0 3 ……

nv0
n

由系统的动力学分析可知,第(n?1)号木块在整个运 动中的最小速度发生在第(n?1)号木块相对木板静止 时刻,此时,共有(n?1)个木块相对木板静止,设此 时第(n?1)号木块在整个运动中的最小速度为vmin,而 此时第n号木块的速度为v,由动量守恒定律,得
mv0 ? 2mv0 ? 3mv0 ? ... ? nmv0 ? [(n ? 1)m ? nm]vmin ? mv

(2)第(n?1)号木块在其整个运动中的最小 速度。 v0 2v0 3v0 nv0
1 2 3 …… n

mv0 ? 2mv0 ? 3mv0 ? ... ? nmv0 ? [(n ? 1)m ? nm]vmin ? mv

由于各木块在做匀减速运动时的加速度都相等,故有

(n ? 1)v0 ? vmin ? nv0 ? v
vmin n2 ? n ? 2 ? v0 4n

5、一质量为m的小滑块A沿斜坡由静止 开始下滑,与一质量为km的静止在水 平地面上的小滑块B发生正碰撞,如图 所示,设碰撞是弹性的,且一切摩擦均 不计,为使二者能且只能发生两次碰撞, 则k的值应满足什么条件?
A B

设A与B碰撞前A的速度为v0,碰后A与B的速度 分别为v1与V1,由动量守恒及机械能守恒定律有

mv0 ? mv1 ? kmV1 1 1 1 2 2 2 mv0 ? mv1 ? kmV1 2 2 2
k ?1 v1 ? ? v0 k ?1 2 V1 ? v0 k ?1

A B

为使A能回到坡上,要求v1<0,这导致k>1; 为使A从坡上滑下后再能追上B,应有

? v1 ? V1

k?3

对于第二次碰撞,令v2和V2分别表示碰后A和B的速度, 同样由动量守恒及机械能守恒定律有:

m(?v1 ) ? kmV1 ? mv2 ? kmV2
1 1 1 1 2 2 2 2 mv1 ? kmV1 ? mv2 ? kmV2 2 2 2 2

4k ? ( k ? 1) v2 ? v0 2 ( k ? 1)
2

4( k ? 1) V2 ? v0 2 ( k ? 1)

若v2>0,则一定不会发生第三次碰撞,若v2<0, 且 ?v2>V2,则会发生第三次碰撞.故为使第三 次碰撞不会发生,要求A第三次从坡上滑下后速 度的大小(?v2)不大于B速度的大小V2,即

? v 2 ? V2
k 2 ? 10k ? 5 ? 0

5? 2 5 ? k ? 5? 2 5
最后

3 ? k ? 5? 2 5

6.在光滑的水平地面上,有一辆车,车内有一 个人和N个铅球,系统原来处于静止状态。现 车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地 向车外抛出,车子和人将获得反冲速度。第一 种过程,保持每次相对地面抛球速率均为v,直 到将球抛完;第二种过程,保持每次相对车子 抛球速率均为v,直到将球抛完。试问:哪一过 程使车子获得的速度更大?

第一过程,由于铅球每次的动量都相同,可将多次抛球 看成一次抛出。车子、人和N个球动量守恒。 0 = Nm( ?v) + MV1
Nm V1 ? v M

第二过程,必须逐次考查铅球与车子(人)的作用。 第一个球与(N–1)个球、人、车系统作用,完毕后, 设“系统”速度为u1 。

0 = m( ?v+ u1) +[M +( N?1)m]u1
m u1 ? v M ? Nm

第二个球与( N?2)个球、人、车系统作用,完毕后, 设“系统”速度为u2 。它们动量守恒方程为:

( M ? ( N ? 1)m)u1 ? m(?v ? u2 ) ? ( M ? ( N ? 2)m)u2
m m u2 ? v? v M ? Nm M ? ( N ? 1)m

第三个球作用后,设“系统”速度为u3
m m m u3 ? v? v? v M ? Nm M ? ( N ? 1)m M ? ( N ? 2)m 依次类推,全部球抛出后,速度为V2 m m m V2 ? v? v ? ... ? v M ? Nm M ? ( N ? 1)m M?m

m V2 ? ? v i ?1 M ? im
N Nm m V1 ? v?? v M i ?1 M

N

结论:第一过程使车子获得的速度较大。

专题四、带电粒子在电磁场中的运动
?带电粒子在匀强磁场中的运动—有界磁场中的运 动(平面几何 解析几何) ?洛伦兹力的应用—回旋加速器 (等距螺旋运动)质谱仪等 Hall效应 磁聚焦

?带电粒子在电场中的运动—加速(牛顿运动定律 和动能定理) 偏转(运动的合成与分解) ?带电粒子在复合场中的运动(力的矢量表示 加原理的应用) 叠

1.如图,在0≤x≤a的区域有垂直于纸面向里的匀 强磁场,磁感应强度的大小为B;在x>a的区域 有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度的 大小也为B。质量为m、电荷量为q(q>0)的 粒子沿x轴从原点射入磁场。 (l)若粒子在磁场中的轨道半径为 ?2a,求其轨 迹与x轴交点的横坐标; (2)为使粒子返回原点,粒子的入射速度应为多 大?

2.已知一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,由原点 O开始进入一个垂直于xy平面的匀强磁场中,初速为v, 方向沿x正方向。后来,粒子经过y轴上的P点,此时 速度方向与y轴的夹角为30°,P到O的距离为L,如图 所示。不计重力的影响。请你设计一个圆形区域分布 的磁场,除了满足上述的条件外,还要求这个磁场区 域最小,写出该磁场的磁感强度B的大小、圆心磁场 区的圆心位置和半径。
30°

y
P

O v

x

由几何关系可以求得带电粒子作匀速圆周运动的半 径为R=L/3,于是磁场的磁感应强度
3mv B? qL
30°

y P A

圆心磁场的圆心位置为
C
? 3 1 ? ? L, L ? ? 12 8 ? ? ?

O

v

x

3 r? L 6

3.近代的材料生长和微加工技术,可制造出一 种使电子的运动限制在半导体的一个平面内 (二维)的微结构器件,且可做到电子在器件 中像子弹一样飞行,不受杂质原子射散的影响。 这种特点可望有新的应用价值。图1所示为四端 十字形二维电子气半导体,当电流从1端进入时, 通过控制磁场的作用,可使电流从2,3,或4端 流出。 对下面摸拟结构的研究,有助于理解电流在上 述四端十字形导体中的流动。

在图2中,a、b、c、d为四根半径都为R的圆柱体的横截 面,彼此靠得很近,形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、 4,在这此狭缝和四个圆柱所包围的空间(设为真空) 存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面指向纸里。以B表 示磁感应强度的大小。一个质量为m、电荷量为q的带 正电的粒子,在纸面内以速度v0沿与a、b都相切的方向 由缝1射入磁场内,设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞, 碰撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞不改变粒子的电 荷量,也不受摩擦力作用。试求B为何值时,该粒子能 从缝2处且沿与b、c都相切的方向射出。
4

a
3

d

1
2

v0 b

1 3 2

4

c

解析几何方法
a d

x2+(y-r)2=r2 x=2R-Rsin450 y=R-R cos450 r=3R

v0 b

1 3 2

4

c

v qv0 B ? m r
mv0 B? 3qR

2 0

4.在通电螺绕环的平均半径R处有点源P,由P 点沿磁感线方向注入孔径角为2?0很小(?0<<1) 的一束电子,束中的电子都是经过电压U0加速 后从P点发出的。假设螺绕环中磁感应强度B1的 大小为常数,并假设束中电子的库仑力可以忽 略不计。 (1)为了使电子束沿环形磁场 运动,需要另加一个使电子偏 转的均匀磁场B2,对于在环内 沿半径为R的圆形轨道运动的 一个电子,试计算所需B2的大 小;
2?0 R P

(1)为了使电子束沿环形磁场 运动,需要另加一个使电子偏 转的均匀磁场B2,对于在环内 沿半径为R的圆形轨道运动的一 个电子,试计算所需B2的大小;

2?0 R

P

对于沿半径为R的圆轨道(即沿磁感线)运动的电子, 不受环形磁场B1的作用力,因此,电子做圆周运动所 需的向心力只能由磁场B2提供,所以,B2的方向应垂 直环面向外,大小满足
2 v0 ev0 B2 ? m R

1 2 eU0 ? mv0 2

B2 ?

2mU0 eR2

(2)当电子束沿环形磁场运动时,为了使电 子束每绕一圈有四个聚焦点,即每绕过的1/4周 长聚焦一次,磁感应强度B1应多大?(注:考 虑电子轨道时,可忽略磁场B1的弯曲)
由于电子的注入速度v0并非与B1相切, 所以,可将速度v0分解为平行于B1的 分量 v//和垂直于B1的分量 v?,电子以 v// 做匀速直线运动,同时以 v?做匀速 圆周运动,即电子的运动轨迹是螺旋 线。设电子速度v0与B1的夹角为 ,则
2?0 R P

v// ? v0 cos?

v? ? v0 sin?

设电子以 v?做匀速圆周运动的半径为r,得
2 v? ev? B1 ? m r

r?
T?

mv? mv0 sin? ? eB eB1
R

电子的周期
螺距为

2?m eB 2?mv0 cos? l ? v //T ? eB1

2?0
P

因电子束要聚焦四次,有

l?

?R
2

4 2mU0 4 2mU0 B1 ? cos? ? R e R e

5、设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强 度为E的匀强电场,磁感应强度为B的匀强磁场 和重力加速度为g的重力场。一质量为m、电荷 量为q的带正电的质点在此空间运动,已知在运 动过程中,质点速度的大小恒定不变。
(1)试通过论证,说明此质 点作何种运动,并论述题目中 所给的速率是否是唯一的。 匀速直线运动,但速率不 是唯一的
E x

z

B O

y

5、设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强 度为E的匀强电场,磁感应强度为B的匀强磁场 和重力加速度为g的重力场。一质量为m、电荷 量为q的带正电的质点在此空间运动,已知在运 动过程中,质点速度的大小恒定不变。
(2)若在某一时刻,电场和磁场 突然全部消失,已知此后该质点 在运动过程中的最小动能为其初 始动能(即电场和磁场刚要消失 时的动能)的一半,试求在电场、E x 磁场刚要消失时刻该质点的速度 在三个场方向的分量。
z

B O

y

6.带正电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运 动,与前方相距l的不带电的绝缘小球B发生弹性 碰撞,已知两小球质量相等。求从开始到发生k 次碰撞电场对小球A所做的功。不计小球的重力。
m, q>0 m

A

B

m, q>0
A

m
B

第一次碰撞前A球速度为v,B球速度为零;第二次碰撞 前A球速度为2v,B球速度为v;第三次碰撞前A球速度 3v,B球速度为2v;依次类推,第k次碰撞前A球速度为 kv,B球速度为(k?1)v。

1 1 2 2 W ? m( kv) ? m[(k ? 1)v ] 2 2 ? ( 2k 2 ? 2k ? 1)qEl

7.在示波器的YY'偏转电极上,加电压 u1=U0sin2πft,式中f为频率。同时在示波器的 XX'偏转电极上加如图1所示的锯齿波电压u2, 试在图2和图3中分别画出f=50Hz和f=100Hz荧 光屏上显示出的图线。 u2/V
0
t/s

0.04 0.08

0.12

图1

图2

8.在足够大的空间中存在水平向右的匀强电场, 已知电场力的大小是其重力的3/4.现将该小球从 电场中的某点竖直向上抛出,抛出时的初速度为 v0,求:(1)小球 在电场内运动过程中的最小 速率。(2)在小球从抛出到最小速率的过程中, 电场力和重力各对小球做了多少功?
v// v

两种方法
v?
qE
v0 E

m

mg

F

解:设存在电场、磁场时质点速度的大小为v0, 它在坐标系中的三个分量分别为v0x、v0y和v0z, 由平衡条件得

Fx=qE?qv0zB=0 Fz=?mg+qv0xB=0
Ek min

E v0 z ? B mg v0 x ? qB

1 1 1 2 2 2 2 2 ? m(v0 x ? v0 y ) ? ? m(v0 x ? v0 y ? v0 z ) 2 2 2
v0 y 1 ? (qE)2 ? ( mg)2 qB

专题五、电场电势的叠加原理及其应用
?静电场的基本概念 —电场与电势(电场力 做功特点),电势能等
q E (r ) ? k 2 r q ? (r ) ? k r

?叠加原理在静电场中的应用 矢量和与标量和 ?带电粒子在电场中的应用 动能定理 曲线运动

1.一根均匀带电的绝缘细杆AB,C为杆上一点, D为杆外一点,如图所示,已知 AB=l, AC=BD=l/4,关于C、D两点的场强,下面论述 正确的是( ) A.EC>ED,方向相同 B.EC>ED,方向相反 C.EC<ED,方向相同 D.EC< ED,方向相反
A C B D

2.有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电,一块 带负电,单位面积所带电荷量的数值相等。现把两带电 平面正交放置如图所示。图中直线A1B1和A2B2分别为带 正电的平面和带负电的平面与纸面正交的交线,O为两 交线的交点。 (1)试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强 和电势)具有对称性的特点,并取O点作为电势的零点, 在所给的整个图上画出电场(正、负电荷产生的总电场) 中电势分别为0、1V、2V、3V、?1V、?2V和?3V的等 势面与纸面的交线的示意图,并标出每个等势面的电势。
A2 ? + A1 B2 ? + B1

B2

?

+ A1

+ B1

A2

?

(2)若每个带电平面单独产生的电场的场强 是E0=1.0V/m,则可求出(1)中相邻两等 势面间的距离d等于多少?

E ? 2E0

U d? E

2 d? m 2

3.如图所示为一块很大的接地导体板,在与导体 板相距为d的A处放置一带电量为?q的点电荷。 (1)试求导体板上感应电 荷在导体内P点产生的电场 强度,已知P点与A点的距 离为R;

E?
P M d ?q A

q E? ? k 2 R

(2)试求导体板上感应电荷在导体外M 点产生的电场强度,已知M点与P点对导 体板右表面是对称的;
q E ?? ? k 2 R
E?
P M

E??
A

d ?q

(3)就本题情形,根据场强分析证明导 体表面附近的电场强度的方向与导体表 面垂直。 M
P

?q
d A

(4)试求导体板上的感应电荷对点电荷?q 的作用力; 2 q F ?k 4d 2

4.两个点电荷位于x轴上,在它们形成的电场中, 若取无限远处的电势为零,则在正x轴上各点的 电势如图中曲线所示,当x?0时,电势 ??+ ?; 当x?+?时,电势??0 ;电势为零的点的坐标 为x0,电势为极小值??0的点的坐标为?x0 (?>2)。试根据图线提供的信息,确定这两个 点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在 x轴上的位置。 ?
? x0
x

??0

O x 0

分析:由图象可知,两个电荷是异种电荷,正电荷 Q1位于x=0,负电荷?Q2位于x轴负半轴上,设横坐 标为?d,于是有

Q1 Q2 k ?k ?0 x0 x0 ? d

Q1 Q2 k ?k ? ?? 0 ?x0 ?x0 ? d
? ?x0

Q1 Q2 k ?k ?0 2 2 (?x0 ) (?x0 ? d )

??0

O x 0

x

5.总电量为+Q的电荷均匀分布在半径为R的固 定绝缘环上,今将电量为?q、质量很小的质点 A以v0=10m/s的初速度由圆环中心O点沿轴线 射出,如图所示。若质点A可沿轴线运动到最 远处P点,已知 OP=?3R,试求: (1)若使质点A能够从O点沿轴线到达无穷远 处,其初速度至少为多少?
1 Qq Qq 2 mv0 ? k ?? 2 R 2R
1 Qq 2 mv ? k ?0 2 R
A v0 O P x

v ? 2v0 ? 10 2m / s

(2)若将质点A换成质量相同、q?=+q的质点B, 初速度仍为v0=10m/s,那么质点B到达P点的速度 为多少?
A v0 O

P

x

1 Qq 1 Qq 2 2 mv0 ? k ? mv ? ? 2 R 2 2R

v? ? 2v0 ? 10 2m / s

专题六、电磁感应的综合问题
与动生电动势相关问题的几类问题
?含电容器问题 ?含源问题

?定轴转动的导体杆切割磁感线问题的灵活应用, 法拉第圆盘发电机(或电动机) ? 功、功率和能量问题,电路产生的电能等于克服 安培力做功
?数学方法的应用 函数图象的物理意义

与感生电动势相关的问题
?感生电动势和涡旋电场的计算 ?复杂电路的计算

1.如图,平行长直金属导轨水平放置,导轨间 距为l,一端接有阻值为R的电阻,整个导轨处 于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为 B。一根质量为m的金属杆置于导轨上,与导轨 垂直并接触良好。己知金属杆在导轨上开始运 动的初速度大小为v0,方向平行于导轨。忽略 金属杆与导轨的电阻,不计摩擦。当金属杆运 动到总路程的λ(0≤λ≤1)倍时,求安培力的瞬 时功率。

对于微元过程应用动量定理

Blv?t ? ? m?v
两边求和得总路程S

mv0 S? Bl

设路程为?S时,速度为v,同理可得

m(v0 ? v ) ?S ? Bl 于是,可得到瞬时速度 v ? (1 ? ? )v0
2 (1 ? ? )2 B 2 l 2 v0 故安培力的瞬时功率 P ? I 2 R ? R

2.在倾角为θ的足够长的两光滑平行金属导轨 上,放一质量为m,电阻不计的金属棒ab,所 在空间有磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂 直轨道平面向上,导轨宽度为d,如图所示, 电源电动势为E,电源内阻为r,导轨电阻不计, 电容器的电容为C。求(1)当开关S接1时, 棒ab的稳定速度是多大?(2)当开关S接2时, 达到稳定状态时,棒ab将做何运动?
E B a C 2 1 S

b


(1)当开关S接1时,棒ab的稳定速度是多大?
当ab棒稳定时,安培力的大小等于重力沿导轨的分力, 此时,电源电动势E成为反电动势,于是有
Blv ? E BIl ? mg sin? I? r EBl ? mgr sin? v? B 2l 2
E

B a
C b )θ 2

1 S

(2)当开关S接2时,达到稳定状态时,棒ab 将做何运动?
设ab棒任一时刻t的速度为v,加速度为a,此时电流 为i=ΔQ/Δt,由牛顿运动定律,得
?Q mg sin? ? Bl ? ma ?t

ab两端的电势差与电容器两端电势差相等,有

Q Blv ? C

?v ?Q Bl ? ? t C? t

E B a C 2 1 S

mg si n? a? m ? CB 2 l 2

b


3、如图所示,已知电源的电动势为E,内阻为r, 与电阻R连接后再与足够长的间距为L的平行金属 导轨相连接,ab为可在导轨上自由滑动的金属杆。 金属杆和导轨电阻忽略不计,彼此间有滑动摩擦 力f(可视为恒力),垂直于导轨平面有匀强磁场 B. (1)求电键S闭合后金属杆的极限速度vl;
a

E ? BLv BL ? f ? ma R?r
E f (R ? r) vl ? ? BL B 2 L2

E R
S

B

b

(2)如果这一极限速度vl是磁场B的函数,问B取 何值时,极限速度vl有最大值?此时对应的电流是 多大? a
E f (R ? r) vl ? ? BL B 2 L2
E R S b B

vl L B ? LEB ? f ( R ? r ) ? 0
2 2

E vl ? 4 f (R ? r)

2

E ? BLE ? I? ?1 ? 4 f ( R ? r ) ? R? r ? ?

(3)如果r>R,当ab杆的速度为vp时,电源有 最大输出功率Pmax,求Pmax与vp的关系式。
P ? EI ? I 2 r
E ? BLv I? R?r
B 2 L2 r P? ( R ? r )2
E R
2

a
B

? E 2 ( R ? r )2 ? E ( r ? R) ? ??v ? ? ? 2 2 2 2 BLr ? ? ? 4B L r ?

? ? ? ?

S

b

E ( r ? R) vP ? 2 BLr

Pmax

E ? 4r

2

Pmax

B 2 L2 r 2 ? v 2 P ( r ? R)

4.电子感应加速器的基本原理如下:一个圆环真空室处 于分布在圆柱形体积内的磁场中,磁场方向沿圆柱的 轴线,圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中 两个同心的实线圆代表圆环的边界,与实线圆同心的 虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场的 磁感应强度B随时间t的变化规律为B(t)=B0 sin(2?t/T) , 其中T为磁场变化的周期。B0为大于0的常量。当B为正 时,磁场的方向垂直于纸面指向纸里。若持续地将初 速度为v0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内(如图 所示),则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加 速的时间是从t= 到t= 。

v0

B(t)=B0 sin(2?t/T)

v0 B

O

t

5.一半径为R的光滑绝缘大圆环上套有一质量为 m带电为+q的小环。大圆环水平放置,与一强 度为B0的均匀恒定磁场垂直。从时间t=0开始该 磁场变为 B(t)=B0+?t,且? >0。求任意时刻小 环对大圆环的作用力的表达式。
B
E?

?R
2
?qR
2m t

qE ?qR a? ? ? m 2m
f ? qvB( t ) ?

m

v ? a? t ?

?q 2 R
2m

t ( B0 ? ?t )

v2 N? f ?m R

N ??

? 2q 2 R
4m

t2 ?

?q 2 RB0
2m

t

6.如图所示,两根平行金属导轨固定在水平面上,每 根导轨每米的电阻为r,导轨的端点P、Q用电阻可以 忽略的导线相连接,两导轨间的距离l,有随时间变化 的匀强磁场垂直于水平面,已知磁感强度B与时间的 关系B=kt,其中k为大于零的恒量。一电阻不计的金属 杆可在导轨上无摩擦的滑动,在滑动过程中保持与金 属导轨垂直,在t=0时刻,金属杆紧靠在P、Q端,在 外力作用下,杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的 另一端滑动,求金属杆所受的安培力F与时间t的关系 式。

解:设金属杆的加速度为a,任意时刻t,磁通量
1 ? ( t ) ? B( t ) S ( t ) ? alkt3 2 3 ? ( t ) ? d? ( t ) / dt ? alkt2 2

电动势为 电阻为 电流为 安培力为

R(t ) ? 2 xr ? art 2
3lk I ( t ) ? ? ( t ) / R( t ) ? 2r

3l 2 k 2 F ( t ) ? lB( t ) I ? t 2r


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