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高中数学3.1.5空间向量运算的坐标表示教案新人教版选修1-1


§3.1.5 空间向量运算的坐标表示 【学情 分析】 : 平面向量有座标表示,空间向量也有座标表示,在上一节中 ,单位正交分解就能够完 成向量坐标向空 间直角坐标系坐标的转化。现在,通过本节的学习,我们可以将向量的地定性公式定量化,在解题特别是 在解决立体几何问题的过程中,可以大大简化问题的难度。 【教学目标】 : (1)知识与技能:能用坐标表示空间向量 (2)过程与方法:由平面坐标运算类别空间坐标运算,掌握空间向量的坐标运算 (3)情感态度与价值观:类比学习,注重类比,运用向量的运算解决问题,培养学生的开拓能力。 【教学重点】 : 空间向量的坐标运算 【教学难点】 : 空间向量的坐标运算 【教学过程设计】 : 教学环节 一.温故 知新 平面向量的坐标运算 教学活动 设计意图 1.空间向量的直角坐标运算律 z (1)若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , A(a1,a2,a3) b ? (b1, b2 , b3 ) ,则 k i x O j B(b1,b2,b3) y 二.新课 讲授 a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , 注重类比学习, 举一反三, 在平面向量中有坐标运 算,空间向量中也有,运 ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , (2)若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2.数量积:即 a ? b = a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 3.夹角: cos a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3 4.模长公 式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 . 2 2 2 5.平行与垂直: 算规律和结论的本质是一 样的。 a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? 0 6.距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 , 或 d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 . 例 1.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E1 , F1 分 别是 A1 B1 , C1 D1 的一个四等分点,求 BE1 与 DF 1 所成的 角的余弦值。 解:不妨设正方体的棱长为 1,分别以 DA , DC , 三.典例 A1 D1 F1 E1 B1 C1 2 DD1 为单位正交基底建立空 间直角坐标系 Oxyz , 则 B(1 , 1 , 0) , E1 (1 , A D C B 将空间向量的运算与向量 的坐标表示结合起来,不 仅可以解决夹角和距离的 计算问题,而且可以使一 些问题

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