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1.2.2函数的表示


函数的表示方法
——解析法、列表法、图象法
y

y=f(x)
o
x

学习过程

问题
初中学过哪些函数的表示方法?

解析法、图象法、列表法

二、新课

问题1:什么叫解析法 ?它的优点是什么?

/>解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个 等式来表示. 优点:函数关系清楚,容易从自变量的值求 出其对应的函数值,便于用解析式来研究函 数的性质。

问题2:什么叫列表法?它的优点是什么?

列表法:就是列出表格来表示两个变量的函 数关系。
优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时 函数的对应值。

问题3:什么叫图象法?它的优点是什么?
图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
,.

优点:能直观形象地表示出函数的变化情况。

典型例题 学习例3,掌握用三种方法表示函数
【例3 】某种笔记本的单价是5元,买x

个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}
用解析法可将函数y=f(x)表示为 用列表法可将函数表示为

?x ? ?1,2,3,4,5??

y ? 5x, x ? ?1,2,3,4,5?

笔记本数x 钱数y

1 5

2 10

3 15

4 20

5 25

用图象法可将函数表示为下图 yy
25 20
15 10 5 0

. . .
1 2 3

.
4



5

x

问题

(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?
函数的定义域是函数存在的前提,再写函数 解析式的时候,一定要写出函数的定义域。 (2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么?本题中的图象 为什么不是一条直线? 列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线) 函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、 离散的点等。

知识探究(二)

下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度六 次数学测试的成绩及班级平均分表:
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

王 伟 张 城 赵 磊
班平分

98 87 91 92 88 95 90 76 88 75 86 80 68 65 73 72 75 82 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6

思考1:上表反映了几个函数关系?这些函数 的自变量是什么?定义域是什么? 4个;测试序号;{1,2,3,4,5,6}.

思考2:上述4个函数能用解析法表示吗?能 用图象法表示吗?
y
100 90 80 70 60 平均分

王伟

赵磊 1 2 3 4 5

张 城

O

6

x

思考3:若分析、比较每位同学的成绩变化情 况,用哪种表示法为宜?

思考4:试根据图象对这三位同学在高一 学年度的数学学习情况做一个分析.
y 王伟
100

90 80
70 平均分

赵磊

张 城

60

x 1 2 3 4 5 6 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平,学习情 况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定, 总是在班级平均水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊 同学的数学成绩低于班级平均水平,但他的成绩呈上升趋 势,表明他的数学成绩在稳步提升.
O

P23 练习2 离开家的距离 离开家的距离

(A)

时间

(B)

时间

离开家的距离

离开家的距离

(C)

时间

(D)

时间

例5 画出函数y=|x|的图象.
解:由绝对值的概念,我们有

y=
图象如下:

x, x≥0, -x, x<0.
y

5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

知识探究(三)

某市某条公交线路的总里程是20公里,在这条线 路上公交车“招手即停”,其票价如下: (1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元 (不足5公里按照5公里计算).

思考1:里程与票价之间的对应关系是否为函 数?若是,函数的自变量是什么?定义域是 什么? 思考2:该函数用解析法怎样表示?

解:设票价为y,里程为x,则根据题意,自变量x的 取值范围是(0,20]

由公交车票价的规定,可得到以下函数解析式:

y=

2, 3, 4, 5,

0<x ≤ 5 5< x ≤ 10 10<x ≤ 15 15<x ≤ 20

根据函数解析式,可画出函数图象,如下图
y 5 4 3 2○ 1
○ ○ ○

有些函数在它的定义 域中,对于自变量的 不同取值范围,对应 关系不同,这种函数 通常称为分段函数。

0

5

10 15 20

x

练习: 1 、 下 列 给 出 的 函 数 是段 分函 数 的 是 ( ?x 2 ? 1, 1 ? x ? 5 ( 1 )f ( x ) ? ? ?2 x , x ? 1 ?x ? 1, x ? R ( 2)f ( x) ? ? 2 ?x , x ? 2 ?2x ? 3, 1 ? x ? 5 (3)f ( x) ? ? 2 ?x , x ? 1 ?x 2 ? 3, x ? 0 ( 4)f ( x) ? ? ?x - 1 , x ? 5 A、 ( 1 ) (2) B、 (1 )(4) C、 (2 )(4) )

D、 (3 )(4)

问题探究

2x+3, x<-1, 2, -1≤x<1, x 4. 已知函数f (x)= x-1, x≥1 .

(1)求f{f[f(-2)]} ; (2) 当f (x)=-7时,求x ;

?x ? 1(x ? 0) 练习 2:若函数 f (x) ? ? ,求f (?2). ?f (x ? 2)(x ? 0)
?n ? 4, n ? 2000 练习3 :已知n ? N ,函数f ( x) ? ? ? f [ f (n ? 19)],n ? 2000 求f (1982 )

?2 x( x ? 2) 练习4:若函数f ( x) ? ? 2 ,若f(a) ? 8,求a ? x ? 2( x ? 0)

画出下列函数的图像
(1)f(x)=|x-1|

( 2) h ( x ) ? x 2 ? 3 x ? 4

(1) p( x) ? x ? 2 ( x ?1) (2)g(x)=│x+1│+│x-3│

求函数解析式
求函数解析式的本质:就是求使自变量x与函数 值y得以对应的对应法则f。它是函数的一种表示 方法

例1: (1)已知f ( x) ? ax +bx+c,若f(0)=0,
2

且f ( x+1 )=f ( x) ? x ? 1, 试求f ( x)的表达式.

变式: (1)已知f ( x)是一次函数,若f(f(x) )=4x ? 8, 试求f ( x)的解析式.

练习:<作业本p13 t9>

2、换元法、
形如f [h( x)] ? g ( x)求f ( x)的表达式可用此法

1 x ( 1 )、如果f ( ) ? ,求f ( x) 2 x 1-x

例2:求下列函数的解析式

1、已知:f ( x ? 1) ? x ? 2 x,求f ( x)
练习:f ( x ? 2) ? x ? 3x ?1, 求f ( x)
2

3、凑配法、

细心观察整体配凑

4:构造函数方程组求解析式:

已知抽象的函数关系式常用此法

1 例4:如果函数f ( x)满足2 f ( x) ? f ( ) ? 2 x, x 求f ( x)

练习:已知2f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 1, 求f(x)

5:赋值法:如果一个函数关系式中的变量

对某个范围内的一切值都成立,则对此范围内 的某些值必成立,细心观察巧妙赋值.

例5:设f ( x)是R上的函数,且满足f (0) ? 1, 并且对任意的实数x, y有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? y (2 x ? y ? 1), 求f ( x)

分段函数与求解析式结 合 ?x2 , x ? 0 例,已函数f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? ? ?? 1, x ? 0 求f [ g ( x)]和g[ f ( x)]的解析式

问题提出

1.设集合A={x|x是正方形},B={y|y>0},对 应关系f:正方形→面积,那么从集合A到集 合B的对应是否是函数?为什么? 2.函数是“两个数集A、B间的一种确定的对 应关系”,如果集合A、B不都是数集,这种 对应关系又怎样解释呢?

2.映射
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个 确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一 个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个 映射

思考:映射与函数关系如何?
由此可知,映射是函数的推广,函 数是一种特殊的映射。

A ?? ?? B
求正弦

30

0 0 0

1 2 2 2 3 2 1

45 60 90

0

A ?? ?? B
求平方

3 -3 2 -2 1 -1

9 4 1

A ?? ?? B
开平方

9 4 1

3 -3 2 -2 1 -1

A ?? ?? B
乘以2

1 2

3

1 2 3 4 5 6

映射f:A→B,可理解为以下4点: 1、A中每个元素在B中必有唯一的象

2、对A中不同的元素,在B中可以有相同的象
3、允许B中元素没有原象

4、A中元素与B中元素的对应关系,可以 是:一对一,多对一,但不能一对多

例7.以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?
(1)集合A={P︱P是数轴上的点},集合B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)集合A= {P︱P是平面直角坐标系中的点},B= {(x,y)︱x∈R, y∈R }对应关系f:平面直角坐标系中的点与它 对应; (3)集合A={x︱x是三角形},集合B={x︱x是圆},对应 关系f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合A={x︱x是永强中学的班级},集合B={x︱x是永 强中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生

变式题:

如果将(3)中的对应关系f改为:每一个圆都对应 它的内接三角形:
(4)中的对应关系f改为:每一个学生都对应他的 班级,那么对应f:B ? A是从集合到集合的映射吗? 并说明理由。

练习:第26页第4题

例8 已知集合A={a,b},集合B={c,d,e}. (1)试建立一个从集合A到集合B的映射? (2)一共可建立多少个从集合A到集合B的 映射?


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