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2014届高考复习专题 5 二次函数


2014 届高考复习专题 5
【知识点】 二次函数的概念、图象及性质; 能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件; 能求二次函数的区间最值. 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系 【主要方法】

二次函数

1. 讨论二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c?a ? 0? 在指定区间 ? p, q ? 上的最值

问题: b ①注意对称轴 x ? ? 与区间 ? p, q ? 的相对位置; 2a 2 ②函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 在区间 ? p, q ? 上的单调性.

2.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑: ①判别式; ②区间端点的函数值的符号; ③对称轴与区间的相对位置. 专题一:二次函数的解析式 【例 1】设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且图象在 y 轴上的截距为1 ,在 x 轴截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式.

【练习】已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) ,求 函数的解析式.

专题二:二次函数图像与性质的应用 1.求二次函数最值的类型及解法 【例 1】(1)当 ?2 ? x ? 2 时,求函数 y ? x ? 2 x ? 3 的最大值和最小值.
2

(2)当 t ? x ? t ? 1 时,求函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

(3)求 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在区间 [0,2] 上的最大值和最小值。

(4)已知二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ( a, b 为 常 数 , 且 a ? 0 ) 满 足 条 件 : ,且方程 f ( x) ? x 有等根. f (? x ? 5 ) ? f ( x ? 3 )

?1? 求 f ( x) 的解析式; ? 2 ? 是否存在实数 m 、 n ( m ? n ),使 f ( x) 的定义域和值域分别是 ? m, n? 和 ?3m,3n ? .
如果存在,求出 m 、 n 的值;如果不存在,请说明理由.

【练习】1 函数 y=cos2x+sinx 的值域是__________. 2. a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R .
2

(1)讨论 f (x) 的奇偶性;(2)若 a ? 2 时,求 f (x) 的最小值.

011.(湖南文 8)已知函数 f ( x ) ? e - 1, g ( x ) ? - x ? 4 x - 3 若有 f (a ) ? g(b) 则 b 的取值
x 2

范围为 A. 2 - 2 ,2 ?

?

2

?

B. 2 - 2 ,2 ? 2
2

?

?

C. ?1,3?

D. (1,3)

(2010 天津文数) (10)设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) ,

x x g( f ( x) ? {g (( x )) ? x ,?x4,g?x ). x ), 则 g x ? ? (

f ( x) 的值域是
(A) ? ?

9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ? ? , 0 ? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?
2.图像性质及其运用

【例】4:函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 在区间 ? ?2, ?? ? 上是增函数,则 f (1) 的取值范围是
2





A. f (1) ≥ 25

B. f (1) ? 25

C. f (1) ≤ 25
2

D. f (1) ? 25

例 3.(2010 辽宁文数)(4)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方 程 2ax ? b ? 0 ,则下列选项的命题中为假命题的是 (A) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (C) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (B) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (D) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

【例 2】如图,如果函数 y=kx+b 的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y=kx2+bx -1 的图像大致是( )

2. (2010 安徽理数)6、设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图象可能是
2

(2010 北京文数) ⑷若 a,b 是非零向量, a ? b ,a ? b , 且 则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是 (A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数 (2010 四川理数)(4)函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 (A) m ? ?2 (B) m ? 2 (C) m ? ?1 (D) m ? 1 专题三:二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题 【例】已知函数

1 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? (2 ? b) x ? 1 3
在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 (Ⅰ)证明 a>0;(Ⅱ)求 z=a+3b 的取值范围.

【练习】设函数 f(x)=ax2-2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范 围.

【练习】m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4 . (1)有且仅有一个零点;(2)有两个零点且均比-1 大.

【练习】已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.若方程 f(x)=0 有一根小于 1,另一根大于 1,当 b> -6 且 b 为常数时,求实数 a 的取值范围.

【练习】若方程 x2-ax+b>0 的解为(-1,3),求实数 a,b 的值. 【练习】若方程 x2-4x+3+m=0 在 x∈(0,3)时有唯一实根,求实数 m 的取值范围.

专题四:二次函数与其他函数复合的综合问题

【例】函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线 x=-

b 对称.据此可推测, 2a

对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p= 0 的解集都不可能是 A.{1,2} B.{1,4} C.{1,2,3,4} ( ).

D.{1,4,16,64}

【练习】 若不等式 x 2 ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ) 成立, a 的取值范围是__________. . 则 【练习】 .若关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 4 ? 0 在 [?1,1] 有解, 则实数 m 的取值范围是________.
2 【练习】(2010 天津理数)(16)设函数 f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x ? ? , ?? ? ,

1 2

?2 ?3

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
【练习】(2011 江西 19)(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ?

.

1 3 1 2 x ? x ? 2ax. 3 2 2 (1)若 f (x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f (x) 在 ?1, 4 ?上的最小值为 ? ,求 f (x) 在该区间上的最大值. 3


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