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【天津市2013届高三数学总复习之综合专题:导数在研究函数中的应用 4、利用导数研究不等式证明(教师版)


导数在研究函数中的应用 4——利用导数研究不等式证明 思路点拨:通过构造函数,以导数为工具,证明不等式或比较大小。证明不等式

f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上成立,等价于函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上的最小值等于
零; 而证明不等式 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上成立, 等价于函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上的最小值大于零,因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最 值问题。 1、当 e ? a ? b ? e2 时,证明不等式 ln 2 b ? ln 2 a ? 解:构造函数 f ( x) ? ln 2 x ?
4 (b ? a) e2

4 x , ( x ? 0) 。 e2 ln t 1? t k 为正的常数,当 a ? 0 时,曲线 ?? 2、① 当 0 ? t ? 1 时,证明不等式 ;② 2 1? t

C : y ? ekx 上有两点 P ? a, e ka ? , Q ? ? a, e ? ka ? ,试证明过点 P 的 C 的切线与过点 Q 的 C
的切线的交点的横坐标是正的。 解: (1)构造函数 f ? t ? ? ? 当 0 ? t ? 1 时, f ? ? t ? ?
2
1 ? t ln t ? 。 1? t 2
2

?1 ? t ?

?1 ? t ? ? 0 ,所以,函数 f t 在区间 0,1 内 1 ? ?? ?? ? ? 2 2t 2t ?1 ? t ?
2

是单调递减函数,于是 f ?t ? ? f ?1? ? 0 ,即 (2)因为 C : y ? ekx ,所以 y? ? kekx 。 过点 P ? a, e ka ? , Q ? ? a, e ? ka ? 的切线方程为:

ln t 1? t ?? 成立。 2 1? t

y ? keka ? x ? a ? ? eka , 和 y ? ke?ka ? x ? a ? ? e?ka ,
由此解出 x ?
? ? eka ? e? ka ? ? ka ? eka ? e? ka ? k ? eka ? e? ka ? 1 a ?1 ? e ?? ? k 1 ? e?2 ka
?2 ka

?,
1 2a ? , k ln t

设 e?2 ka ? t ,因为 ka ? 0 所以, 0 ? t ? 1 ,且有 ln t ? ?2ka 。于是 ? 因此, x ?
x ? 0。

2a a ?1 ? t ? ln t 1? t ? 2 1? t ? ? ? a? ? ? ,由(1)的不等式 2 ? ? 1 ? t 及 a ? 0 ,有 ln t 1? t ? ln t 1 ? t ?

所以, 过点 P 的 C 的切线与过点 Q 的 C 的切线的交点的横坐标是正的。 3、设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ?1 ? ln 2 x ? 2a ln x, ( x ? 0) 。
F ( x) 在 (0,??) 内的单调性并求极值; ?0 (1)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论

(2)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 。 解: (1)根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?
2ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 ,于是 F ?( x) ? 1 ?

2 x?2 ? ,x ? 0 ,列表如下: x x

2) 内是减函数,在 (2, ? ∞) 内是增函数, 故知 F ( x) 在 (0,

所以,在 x ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a 。 (2)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 ;
? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 ; 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) 内单调增加; 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0,

所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ? 0 ; 故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 。 4、已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x 。 (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 x ? ?1 ,证明: 1 ?
1 ? ln( x ? 1) ? x 。 x ?1

解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) 。
f ?( x ) =
x 1 ?1= ? 由 f ?( x) ? 0 及 x ? ?1 ,得 x ? 0 。 x ?1 x ?1

∴ 当 x ? ? 0, ??? 时, f ( x) 是减函数,即 f ( x) 的单调递减区间为 ? 0, ?? ? 。

(2)由(1)知,当 x ? ? ?1,0? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? 0, ??? 时, f ' ( x) ? 0 ,所以,

f ? 0? ? 0 是 f ( x) 的最大值。
因此,当 x ? ?1 时, f ( x) ? f ? 0? ,即 ln( x ? 1) ? x ? 0 ,所以 ln( x ? 1) ? x 。 构造函数 g ( x) ? ln( x ? 1) ?
1 1 1 x ? 1 ,则 g ?( x) ? ? = 。 2 x ?1 ( x ? 1)2 x ? 1 ( x ? 1)

∴当 x ? ? ?1,0? 时, g ' ( x) ? 0 ,当 x ? ? 0, ??? 时, g ' ( x) ? 0 。 所以, g ? 0? ? 0 是 g ( x) 的最大值。 ∴当 x ? ?1 时, g ( x) ? g ? 0? ,即 ln( x ? 1) ? 综上可知,当 x ? ?1 时,有 1 ?
1 1 ? 1 ? 0 ,∴ ln( x ? 1) ? 1 ? 。 x ?1 x ?1

1 ? ln( x ? 1) ? x 。 x ?1 1 5、 已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ? x2 ? 2ax , 其中 a ? 0 。 g(x) ? 3a2 ln x ? b , 2

设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同。 (1)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (2)求证: f ( x) ? g ( x) ( x ? 0) 。 解: (1)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0 ,y0 ) 处的切线相同
∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x ) ?

3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) , x

?1 2 2 ? x0 ? 2ax0 ? 3a ln x0 ? b, 2 即? ? 2 ? x ? 2a ? 3a , ? 0 x0 ?

3a 2 由 x0 ? 2a ? 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) , x0
即有 b ? 1 a 2 ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? 5 a 2 ? 3a 2 ln a ; 2 2 令 h(t ) ? 5 t 2 ? 3t 2 ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1? 3ln t ) ,于是 2 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 ,
1

当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 ,
1 ? ? ? 1 ? 故 h(t ) 在 ? 0 ,e 3 ? 为增函数,在 ? e 3 , ? ∞? 为减函数, ? ? ? ?

1

? 1 ? 3 2 3 ? ∞) 的最大值为 h ? e ? ? e 3 。 于是 h(t ) 在 (0, ? ? 2
(2)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 1 x2 ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b ( x ? 0) ,

2 2 则 F ?( x) ? x ? 2a ? 3a ? ( x ? a)( x ? 3a) ( x ? 0) ; x x
故 F ( x) 在 (0 ,a) 为减函数,在 (a, ??) 为增函数,

于是函数 F ( x) 在 (0 , ??) 上的最小值 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 , 故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x)≥0 ,即当 x ? 0 时, f ( x)≥g( x) 。 6、已知函数 f ( x) ? xe? x ( x ? R) 。 (1)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2)已知函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,证明 当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ; (3)如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2 。 解: (1) f ? ? x ? ? ?1 ? x ? e? x ,令 f ? ? x ? ? ?1 ? x ? e? x ? 0 ,则 x ? 1 。 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表,略 所以 f ? x ? 在区间 ? ??,1? 内是增函数,在区间 ?1, ?? ? 内是减函数;

1 函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值 f ?1? 且 f ?1? ? 。 e
(2)因为函数 y ? g ? x ? 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称, 所以 g ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,于是 g ? x ? ? ? 2 ? x ? ex?2 。 记 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,则 F ? x ? ? xe? x ? ? x ? 2? ex?2 , F ? ? x ? ? ? x ? 1? ? e 2 x ? 2 ? 1? e ? x , 当 x ? 1 时, 2 x ? 2 ? 0 ,从而 e2 x?2 ? 1 ? 0 ,又 e? x ? 0 ,

所以 F ? ? x ? ? 0 ,于是函数 F ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数, 因为 F ?1? ? e?1 ? e?1 ? 0 ,所以,当 x ? 1 时, F ? x ? ? F ?1? ? 0 ,因此 f ? x ? ? g ? x ? 。 (3)若 ? x1 ?1?? x2 ?1? ? 0 ,由(1)及 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,得 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾; 若 ? x1 ?1?? x2 ?1? ? 0 ,由(1)及 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,得 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾; 则 ? x1 ?1?? x2 ?1? ? 0 。不妨设 x1 ? 1, x2 ? 1 。 由(2)可知 f ? x2 ? ? g ? x2 ? ? f ? 2 ? x2 ? ,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x2 ? ? f ? 2 ? x2 ? 。 因为 x2 ? 1 ,所以 2 ? x2 ? 1,又 x1 ? 1 ,由(1) , f ? x ? 在区间 ? ??,1? 内是增函数, 所以 x1 ? 2 ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 2 。

补充: 关于函数图象的切线问题的处理方法。 《审题要津与解法研究》第 410 页 题 目 12


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