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北师大版高中数学必修4》三角函数复习课


阜南一中 博雅 1+1 高效课堂

北师大版高中数 学必修4
课题

安 徽 省 阜 南一 中 陈 辉
1

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一、知识网络 二、学法指导 三、例题分析

宏观思路 微观直觉

四、基础练习
五、小结及作业
2

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学习目标
【学习目标】

1.通过复习全章知识,掌握两角和与差的正弦、余弦、 正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。并能 正确运用上述公式化简三角函数式、求角的三角函数值、 证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题。 2.掌握简单的三角恒等变形的基本思想方法,并结合向 量解决一些基本点综合问题。 3.通过三角恒等变形体会数学的逻辑性特征,并进一步 理解数学的化归思想、方程思想和代换思想,认识事物 之间是相互依存、相互联系的。

3

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重点:
让学生掌握三角函数的图象;在理解各 组三角公式的基础上掌握并熟练运用三 角公式。

难点:
两个变换,“图象变换”和“三角变换”

4

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同角三角函数的基本关系 诱导公式 定义 单位圆与三角函数线 图象性质 图象与性质

形如y=Asin(ωx+φ)+B图象 y=asinα+bcosα的 最值 Cα±β Sα±β、T α±β 积化和差公式 和差化积公式

正弦定理、 余弦定理、 面积公式

S2α= C2α= T2α=

Sα/2= Cα/2= Tα/2=

万能公式

降幂公式
5

一、同角三角函数的八大关系
1.倒数关系
sin ? csc ? ? 1 cos ? sec ? ? 1 tan ? cot ? ? 1

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2.商的关系

sin ? tan ? ? cos ? cos ? cot ? ? sin ?

3.平方关系 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 2 2 1 ? tan ? ? sec ? 2 2 1 ? cot ? ? csc ?
6

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二、两组诱导公式:

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①2kπ±α,π±α的三角函数 值等于α的同名三角函数值,前面 加上把α看成锐角时原函数的符号. ②π/2±α,3π/2±α的三角 函数值等于α的余角的三角函数值, 前面加上把α看成锐角时原函数的 符号.
7

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三、一般函数图象变换
位 移 变 换 上下 平移
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位

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y=f(x)+b图象

基 本 变 换 伸 缩 变 换

左右 平移 上下 伸缩 y=f(x) 图 象

向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位

y=f(x+φ) 图 象

点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变

y=A f(x)图象

左右 伸缩

点的横坐标变为原来的1/ω倍 纵坐标不变

y=f(ωx)图象

8 返回 例3 返小结

正弦、余弦函数的图象
y
1 -4? -3? -2? -?

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o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

形状完全一样 只是位置不同

正弦曲 线

余弦函数的图象

y
(0,1) 1
3? ( ,0) 2

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

-4?

-3?

-2?

-?

? (o ,0) 2 -1

?

( ? ,-1)
9

x

四、记住下列三角公式:
①两角和与差的正弦、余弦、正切 : sin(α ?β ) ? sin α cosβ ? cosα sin β cos( α ?β ) ? cosα cosβ ? sin α sin β tanα ? tanβ tan(α ?β ) ? 1 ? tanα tanβ

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天哪 !

②二倍角公式 : 2 tanα sin2α ? 2sin α cosα ; tan 2 α? 2 1 ? tan α cos2 α ? cos 2α ? sin 2α ? 1 ? 2sin 2α ? 2cos 2α ? 1
10

③降幂公式 : 1 ? cos 2 α 1 ? cos 2 α 2 cos α ? ; sin α ? 2 2 ④半角公式 :
2

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α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ?? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sin α 1 ? cos α tan ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sin α

⑤万能公式 : α 2α 2 tan 1 ? tan 2 ; cos α ? 2 sin α ? 2α 2α 1 ? tan 1 ? tan 2 2

记 住 啊 !
11 返回 例5

⑥和差化积与积化和差公式不需记但要会用.

三角解题常规
分析差异

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指角的、函数的、运算的差异

宏 观 思 路

寻找联系

利用有关公式,建立差异间关系

促进转化

活用公式,差异转化,矛盾统一

12 返回返小结

微 观 直 觉

1、以变角为主线,注意配凑和转化; 2、见切割,想化弦;个别情况弦化切; 3、见和差,想化积;见乘积,化和差; 4、见分式,想通分,使分母最简; 5、见平方想降幂,见“1±cosα”想升幂; 6、见sin2α,想拆成2sinαcosα; sinα+sinβ=p 7、见sinα±cosα或 想两边平方或和差化积 cosα+cosβ=q 8、见a sinα+b cosα,想化为

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sin 2 α 9、见cosα·cosβ·cosθ····,先 运用cosα ? 2 sinα 若不行,则化和差 ? 2 sin 10、见cosα+cos(α+β) 2 ? +cos(α+2 β )····, 想乘 2 sin 13 返回返小结 2

a ? b sin(α ? φ )形式
2 2

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例1 , (上海) α α 设α 角是第二象限且满足| cos | ? ? cos , 2 2 α 则 角属于( C 2 A.第-象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限.

点评: ? ? 本题先由α所在象限确定 2所在象限,再 2 的余 弦符号确定结论.
14

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例2(全国)

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π 如果函数y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图像关于直线x ? ? 8 对称,那么a等于( ) A. 2 ; B. ? 2 ; C.1; D. ? 1

2 y ? 1 ? a sin( 2 x ?φ ) 思路:函数y=sin2x+acos2x可化为

要使它的图象关于直线x= -π/8对称,则图象在该处 必是处于波峰或波谷.即函数在x=-π/8时取得最大、 小值. π π 2 解 :由| sin 2 ? (? ) ? a cos 2 ? (? | ) ? 1? a 8 8 解得a ? ?1,应选D
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例3(全国) 已知函数y ? 3 sin x ? cos x,x ? R

复习

①当函数y取得最 大值时,求自变量x的集合; ②该函数图象可由y ? sin x,x ? R的图象经过怎样 的平移和伸缩变换而得到?

解题步骤:

3.指出变换过程:

π 1.化函数为y ? 2 sin( x ? ),x ? R ? ? ? ?3分 6 π 2.y取最大值时得 x的集合为 {x|x ? 2kπ ? , k ? Z} ? ? ? 6分 3
π π ①将y ? sin x图象向左平移 ,得到y ? sin( x ? )图象 ? ? ? 9分 6 6 ②将所得图象上所有点 的横坐标不变,把纵坐 标

伸长到原来的 2倍, 得到y ? 2 sin( x ? π / 6)的图象. ? ? ? 1216 分

例4(上海) 3 π 1 已知 sin α ? ,α ? ( ,π ), tan(π -β ) ? , 5 2 2 求 tan(α -2 β )值.

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分析:①由sin ?的值求出cos ?值,得出tan ?值
②由 tan(π ?β )值,求出 tanβ 值, 再求 tan 2 β 值;

③再利用差角公式求出tan(α ? 2 β )值.
答案:tan(α-2β)=7/24.
17

例5(全国)
2 2

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求 sin 20? ? cos 50? ? sin 20? cos 50?值.
基本思路: ①利用降幂公式
2

复习

1 ? cos 2 α 1 ? cos 2 α 2 sin α ? , cos α ? 2 2
②利用积化和差公式 1 sinα cosβ ? [sin(α ?β ) ? sin(α ?β )] 2

③利用和差化积公式 α ?β α ?β cosα ? cosβ ? ?2 sin sin 2 2
最后结果:
3 原式 ? 4
18

例6(全国) 已知△ ABC中,三内角为A, B, C,满足

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1 1 2 A?C A ? C ? 2 B, ? ?? ,求 cos 的值. cos A cos C cos B 2

解 : 由题设有B ? 60?, A ? C ? 120?,

1 1 ?有 ? ? ?2 2, cos A cos C 即cos A ? cos C ? ?2 2 cos A cos C A?C A?C 即2 cos cos ? ? 2[cos(A ? C) ? cos(A ? C)] 2 2

1 则cos B ? . 2

A?C 2 ? cos ? ? 2 cos(A ? C) 2 2 A?C 2 A?C 2 2 A?C ? cos ? ? 2 ( 2 cos ? 1) ? cos ? 19 . 2 2 2 2 2返回

当堂训练

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6 C 如图2所示,则平移后的图象所对应的函数解析式是() 7? ? ? ( A). y ? sin( x ? ); ( B). y ? sin( x ? ) 12 6 6 O ? ? (C ). y ? sin( 2 x ? ); ( D). y ? sin( 2 x ? ) -1 3 3 20

1、若A=21°,B=24°,则(1+tanA)(1+tanB) 的值是( B ) (A)1 (B)2 (C)1+ 2 (D)2(tanA+tanB) 2、若270°<α <360°,则1 ? 1 1 ? 1 cos 2? 2 2 2 2 A 等于( ) (A)-cos(α /2) (B) cos(α /2) (C) sin(α /2) (D) -sin(? α /2) 4.将函数y ? sin ?x(? ? 0)的图象向左平移 ,平移后的图象

y

x

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cosα ? sinα ? 4 ? 3 2、设 cosα ? sinα
?

二、填空题: 1 3 ? ?________ 4 1、 sin 10? cos 10?

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4.(06湖南)若f ( x) ? a sin( x ? ) ? 3 sin( x ? )是偶函数, 4 4 则a ?

4? 3 则 cot( 4 ? ? ) =___________ 4 3?3 α π 10 3、已知 tan ? 2,则 cos( ?α ) ? __________ 2 3 ? ?

-3

21

阜南一中 博雅 三、解答题: 1+1 高效课堂 1 cos ? ? 1、已知α 、β 为锐角,且, 7 11 cos(α +β )= ? 14 ,求β 。



1 2 4 3 由条件可得 sin ? ? 1 ? ( ) ? , 7 7

11 2 5 3 又0 ? ? ? ? ? ? , 故 sin( ? ? ? ) ? 1 ? (? ) ? . 14 14

从而得 cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ? ) sin ? 11 1 5 3 4 3 1 ? (? ) ? ? ? ? 14 7 14 7 2

β为锐角,故?=?/3

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2、已知sinα ? sinβ ? sinφ ? 0, cosα ? cosβ ? cosφ ? 0 且0 ? α ?β ? φ ? 2π , 求 β ?α 值.

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解 : 由条件有

sinα ? sinβ ? ? sinφ

cosα ? cosβ ? ? cosφ 两边平方相加得 : 2 ? 2(sinα sinβ ? cosα cosβ ) ? 1

1 ? cos( β ?α ) ? ? 又0 ? α ? β ? 2π , 2 2π 4π ?β ?α ? 或 β ?α ? 3 3 2π 4π 同理 φ ?α ? 或 φ ?α ? 3 3 但0 ? α ?β ? φ ? 2 π, 2π ?β ?α ? . 3

23

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高考题精选
1.(上海理).如果
1 cos ? ? 5

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,且 ? 是第

π? ? 2 6 cos ? ? ? ? ? 四象限的角,那么 ? 2 ? ________ . 5

?? ? 2.(江西)函数 y ? 4sin ? 2 x ? ? ? 1 ?? ?
的最小正周期为(
? A.?

B



B. ?

C.2?

D. 4?
24

高考题精选

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?? ? x ? ?的单调增区间为 3.(全国理)函数f ( x) ? tan ? ?? ?

(

D)

? ?? ? A.? k ? ? ,k ? ? ?,k ? Z B. , k ? Z ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? k ? ? ,k ? ? ?,k ? Z C.? k ? ? ? ,k ? ? ? ?,k ? Z D. ? ? ? ? ? ?

(k ?, ? k ????)

1 1 4.(辽宁)已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? ? sin x ? cos x, 2 2

则 f ? x ? 的值域是(
, A. ? ?11 ?B.
? ?? ?

D)
C.
? 2? , ? ? ?1 ? 2 ? ?

? 2 , 1? 2 ?

D.

? 2? ? 1 , ? ? 2 ? ?
25

8.已知函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ( a , 为常 b π x ? R )在 x ? 处取得最小值,则函数 数, a ≠ 0, 4 ? 3π ? 是( ) y ? f ? ? x?
? 4 ?

高考题精选

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C

0 ? 对称 A.偶函数且它的图象关于点 ? π,

? 3π ? , 0 ? 对称 B.偶函数且它的图象关于点 ? ? 2 ? ? 对称 C.奇函数且它的图象关于点 ? 3π , 0? ? ? 2 ? D.奇函数且它的图象关于点 ? π, 0 ? 对称
26

2013年高考题精选
1.(上海理17)求函数 的值域和最小正周期。

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π? π? ? ? y ? 2 cos ? x ? ? cos ? x ? ? ? 3 sin 2 x 4? 4? ? ?

π? ? π? ? 解: y ? 2cos ? x ? ? cos ? x ? ? ? 3 sin 2 x 4? ? 4? ?

? cos 2 x ? 3 sin 2 x
2? ,最小正周期是 . 的值域是 ? ?2, ?函数
27

π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

π

高考题精选

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2.(江西)(本小题满分12分) 在 △ABC 锐角中,角 A ,B,C 所对的边分别 2 2 为a ,b,c,已知, sin A ? (2)若 a ? 2, S△ ABC ? 2 ,求 的值(不做). 2 2 解:因为锐角 中, , ,所 A ? B ? C ? π sin A ? △ABC 3 1 2 ? B?C ? sin ? 以 cos A ? ? B ? C A 2 3 ? ? 2 2 2 A 则 tan 2 ? sin 2 ? 2 ? B ? C ? ? sin 2 cos ? ? . 1 ? cos ? B ? C ? 1 2 1 ? cos A 1? 7 ?
B?C 2 A ? sin (1)求 tan 的值; 2 2
2

3

b

?

1 ? cos ? B ? C ? 2

?

?1 ? cos A? ?

? ? 1 ? cos A 3 3

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高考题精选

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3.(辽宁)(本小题满分12分) 2 2 已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x,x ? R , 求 (Ⅰ)函数 f ( x)的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合;(Ⅱ)函数 f ( x)的单调增区间.

解: f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos 2

x

? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin( 2 x ?

?
4

)?2

? (?) f ( x) max

3? ? ? (? )单调增取间为? k? ? , k? ? 8 8 ?

? ? ? ? 2 ? 2,x的集合为? x x ? k? ? , k ? Z ? 8 ? ?
? ?, k ? Z . ?
29

4.如图,函数 y ? 2sin( πx ? ? ),x ? R π (其中 0 ≤ ? ≤ 2 ) 的图象与 y轴交于点 (0, 1) (Ⅰ)求 ? 的值;
P

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(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点, M,N 是图象 ???? ? ???? (全国理) 与 轴的交点,求 PM 与 PN 的夹角.

x

y P
N

M

O

x
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本课小结:由学生先根据 自己所掌握的口述,然后 再由教师总结:

1、三角函数的图象变换
2、三角变换的使用技巧 作业: 略
31

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路 漫 漫 其 修 远 兮

祝同学们 学习进步

再 见 !

吾 将 上 下 而 求 索
32


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