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高考数学


2010 上海文数)已知椭圆 Γ 的方程为

x2 y2 + = 1( a > b > 0) , A(0, b ) 、 B(0, ?b) 和 Q( a, 0) 为 Γ 的三个顶点.(1) 若 a2 b2

点 M 满足 AM =

???? ?

? 1 ???? ??? ( AQ + AB) , 求点 M 的坐标; (2) 设直线 l1 : y = k1 x + p 交椭圆 Γ 于 C 、 D 两点, 交直线 l2 : y = k2 x 2

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; (3)设点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上,如何构作过 PQ 中点 F 的 a2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 直线 l , 使得 l 与椭圆 Γ 的两个交点 P 、 满足 ?令 a = 10 , b = 5 , 点 P 的坐标 (-8, P PP + PP = PQ PP + PP = PQ 1 2 1 2 1 2
于点 E .若 k1 ? k 2 = ? -1) , 若椭圆 Γ 上的点 P 、 P2 满足 PP , 求点 P 、 P2 的坐标.解析: (1) M ( a , ? b ) ; 解得 P 1(?6,?4)、 P 2(8,3). 1 1 + PP 2 = PQ 1 2 2 (2010 湖南文数)19. 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基地, 视冰川面为平面形,以过 A、B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系(图 4) 。考察 范围到 A 、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。求考察区域边界曲线的方程: ;如图 4 所示,设线段 PP 1 2 是冰川 的部分边界线(不考虑其他边界) ,当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km, 以后每年移动的距离为前一年的 2 倍。问:经过多长时间,点 A 恰好在冰川边界线上?

??? ? ????

??? ?

( 2010 浙 江 理 数 ) (21) ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 m > 1 , 直 线

l : x ? my ?

m2 x2 = 0 ,椭圆 C : 2 + y 2 = 1 , F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. (Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直 2 m

线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, V AF1 F2 , V BF1 F2 的重心分别为 G , H . 若原点 O 在以线段 GH 为

2 直径的圆内,求实数 m 的取值范围. 故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? = 0 。所以 m 的取值范围是 (1, 2) 。 2
(2010 全国卷 2 理数) (21) (本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:

2

x2 y 2 ? = 1( a>0,b>0 ) 相交于 B、 a2 b2

D 两点,

且 BD 的中点为 M (1,3 ) . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A, 为 F, DF i BF = 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. (2010 陕西文数)20.(本小题满分 13 分)

右焦点

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

( Ⅱ ) 设 n 为 过 原 点 的 直 线 , l 是 与 n 垂 直 相 交 与 点 P , 与 椭 圆 相 交 于 A,B 两 点 的 直 线 立?若存在,求出直线 l 的方程;并说出;若不存在,请说明理由。 (2010 辽宁文数) (20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,直线 a 2 b2 ???? ? ???? ? (Ⅱ)如果 AF2 = 2 F2 B ,求椭圆 C的方程. l 的倾斜角为 60 ? , F1 到直线 l 的距离为 2 3 .(Ⅰ)求椭圆 C的焦距; x2 y2 + = 1. 9 5

解:所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)故椭圆 C 的方程为

(2010 辽宁理数)(20)(本小题满分 12 分)设椭圆 C:

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C a2 b2
15 ,求椭圆 C 的方程. 4

相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF = 2 FB .求椭圆 C 的离心率;如果|AB|=

??? ?

??? ?

解:得离心率 e =

c 2 = . a 3

(Ⅱ)椭圆 C 的方程为

x2 y2 + = 1. 9 5 x2 y2 ? = 1( a > 0, b > 0) 相交于 B、D 两点,且 BD 的中 a2 b2

(2010 全国卷 2 文数)已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C :

点为 M (1.3) (Ⅰ) (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ) (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|·|BF|=17 证明:过 A、B、 D 三点的圆与 x 轴相切。 x2 y2 (2010 江西理数)21. (本小题满分 12 分)设椭圆

C1 :

a2

+

b2

= 1(a > b > 0)

,抛物线 C2 : x + by = b 。若 C2 经过

2

2

C1 的两个焦点,求 C1 的离心率;
(1) 设 A (0,b) , Q ? 3 3, ? ,又 M 、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN 的垂心为 B ? 0, b ? ,且 △QMN 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。

? ?

5? 4?

? ?

3 ? 4 ?

c2 1 2 a = b + c = 2c , 有 2 = ? e = 。 a 2 2
2 2 2 2

抛物线方程为 x 2 + 2 y = 4 。 (2010 安徽文数)17 、椭圆 E 经过点 A ( 2, 3) ,对称 为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e =



1 。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 2

∠ F1 AF2 的角平分线所在直线的方程。
(2010 重庆文数) (21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知以原点 O 为中心, F ( 5, 0) 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e = (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (Ⅱ)如题(21)图,已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 : x1 x + 4 y1 y = 4 与过点 N ( x2 , y2 ) (其中 x2 ≠ x1 )的直线 l2 :

5 . 2

???? ???? x2 x + 4 y2 y = 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交于 G 、 H 两点,求 OGiOH 的值.
(2010 浙江文数) (22) 、 (本题满分 15 分)已知 m 是非零实数,抛物线 C : y 2 = 2 ps (p>0)

的焦点 F 在直线 l : x ? my ?

m2 (I)若 m=2,求抛物线 C 的方程 = 0 上。 2

(II)设直线 l 与抛物线 C 交于 A、B ,△A A2 F ,△ BB1 F 的重心分别为 G,H 求证:对任意非零实数 m, 抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的 圆外。 (2010 重庆理数) (20) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 已知以原点 O 为中心, F (I) (II)

(

5, 0 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e =

)

5 。 2

求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; 如题(20)图,已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 : x1 x + 4 y1 y = 4 与 过点 N ( x 2 , y 2 ) (其中 x2 ≠ x )的直线 l2 : x2 x + 4 y2 y = 4 的交 点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与两条渐近线分别交与 G、H 两 点,求 ?OGH 的面积。

(2010 山东文数) (22) (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 过点. a2 b2

(1,

2 2 ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 . 点 P 为直线 l : x + y = 2 上且不在 x 轴上的任意 ) ,离心率为 2 2

一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C 、 D , O 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k 2 .(i )证明:

1 3 (ii )问直线 l 上 ? =2; k1 k2

是否存在点 P ,使得直线 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的斜率 k OA 、 kOB 、 kOC 、 k OD 满足 k OA + k OB + k OC + k OD = 0 ?若存 在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不存在,说明理由. (2010 北京文数) (19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( ? 2, 0) , ( 2, 0) ,离心率是

6 ,直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M,N, 3

以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。

x2 π 1 所以椭圆 C 的方程为 + y 2 = 1当 θ = ,即 t = ,且 x = 0 , y 取最大值 2. 3 3 2
(2010 北京理数) (19) (本小题共 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,

1 .(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程;(Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问: 3 是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。故动点 P 的轨迹方程
且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? 为 x 2 + 3 y 2 = 4( x ≠ ±1) 故存在点 P 使得 △PAB 与 △PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ±
1 2

5 3

33 ). 9

(2010 四川理数) (20 ) (本小题满分 12 分)已知定点 A (-1,0),F(2,0),定直线 l: x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB 、AC 分别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. 化简得 x2 -

???? ? ???? y2 =1(y≠0) 综上 FM i FN =0,即 FM⊥FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F 3

(2010 天津文数) (21)已知椭圆

x2 y2 3 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. + 2 = 1(a>b>0)的离心率 e= 2 2 a b
4 2 , 5

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A 、 B, 已知点 A 的坐标为 (-a,0).(i ) 若|AB |= 求直线 l 的倾斜角; (ii )若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA iQB=4. 求 y0 的值. (0,y0) 所以椭圆的方程为

???? ??? ?

x2 π 3π 2 14 .综上, y0 = ±2 2 或 y0 = ± + y 2 = 1.解得 k= ±1 .所以直线 l 的倾斜角为 或 4 4 4 5 x2 y2 3 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率 e = ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 2 a b 2

(2010 天津理数) (20)已知椭圆

4。求椭圆的方程;设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ? a, 0 ) ,点 Q (0, y0 ) 在线段 AB 的垂 直平分线上,且 QAiQB = 4 ,求 y0 的值; ;所以椭圆的方程为 (2010 广东理数) 21. (本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 是 平面 直角 坐标 系 xOy 上 的两 点, 先定 义由 点 A 到 点 B 的 一种 折线 距离 p(A,B) 为

??? ? ??? ?

x2 2 14 + y 2 = 1 综上 y0 = ± 2 2或y0 = ± 4 5

P( A, B) =| x2 ? x1 | + | y2 ? y1 | .

(2010 广东理数) 20. (本小题满分为 14 分) 一条双曲线

x2 ? y 2 = 1的左、 右顶点分别为 A1 ,A2, 点 P( x1 , y1 ) , Q ( x1 , ? y1 ) 2

是双曲线上不同的两个动点。 (1)求直线 A1 P 与 A 2Q 交点的轨迹 E 的方程式; (2)若过点 H(0, h)(h>1)的两条直 线 l 1 和 l 2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ⊥ l2 , 求 h 的值。故 y 2 = ? 一个交点知, 1 + 2 ?

1 2 x2 ,即 ( x ? 2) + y 2 = 1 。同理,由 l2 与 E 只有 2 2

1 1 = h 2 ,消去 h 2 得 2 = k 2 ,即 k 2 = 1,从而 h 2 = 1 + 2k 2 = 3,即 h = 3 。 2 k k

(2010 广东文数)21.(本小题满分 14 分) 已知曲线 C n : y = nx 2 ,点 Pn ( x n , y n ) ( xn > 0, yn > 0) 是曲线 Cn 上的点 ( n = 1,2,...) ,

(2010 福建文数)19. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: y 2 = 2 px( p > 0) 过点 A (1 , -2) 。 (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 L 的距离等 于

5 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由。 5

(2010 全国卷 1 理数) (21)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点为 F, 过点 K (? 1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FAi FB =

??? ? ??? ? 8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

(2010 四川文数) (21 ) (本小题满分 12 分)已知定点 A (-1,0),F(2,0),定直线 l: x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB 、AC 分别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. 2010 ( 湖北文数)20. (本小题满分 13 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上没一点到点 F( 1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程(Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M (m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 FA

1 2

??? ? ??? ?

<0?若存在,求出 FB m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

(2010 山东理数) (21) (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆

x2 y2 2 ,以该椭圆上的点 + = 1( a> b>0) 的离心率为 a2 b2 2

和椭圆的左、 右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 + 1) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设 P 为该双曲线 上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C 、 D .

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 , 证明 k1 ·k 2 = 1 ; (Ⅲ)是否存在常数 λ ,使得 AB + CD = λ AB · CD 恒成立?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说

明理由.所以该双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? = 1。 4 4

(2010 湖南理数)19.(本小题满分 13 分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系(图 6)在直线 x=2 的右侧,考察范围为 到点 B 的距离不超过
6 5 5

km 区域;在直线 x=2 的左侧,考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 4 5 km 区域。

(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程; (Ⅱ)如图 6 所示,设线段 P1P2,P2P3 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线) ,当冰川融化时,边界线沿与其垂直 的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为前一年的 2 倍,求冰川边界线移动到考察区域 所需的最短时间。

化 ? 8 3 ? P2 ? 6? ?- 3 , ? ? ? 融





P3(8,6)





( ? 5 3 ,-1)P1

A(-4,0 )

B (4, 0)

x

(2010 湖北理数)19(本小题满分 12 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距 离的差都是 1.(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一 直线,都有 FA ? FB < 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。 (2010 安徽理数)19、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E 经过点 A ( 2, 3) ,对称轴为坐标轴,焦点

??? ? ??? ?

1 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e = 。 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;(Ⅱ)求 ∠F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。 (2010 江苏卷) 18、 (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 + = 1 的左、右顶点为 A 、 9 5

B ,

右焦点为 F。 设过点 T ( t, m ) 的直线 TA、 TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、

N ( x 2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 > 0, y 2 < 0 。
(1)设动点 P 满足 PF 2 ? PB 2 = 4 ,求点 P 的轨迹; (2)设 x1 = 2, x2 =

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t = 9 , 求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) 。 故所求点 P 的轨迹为直线 x =

9 10 。所以点 T 的坐标为 (7, ) 。所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 2 3

(2010 福建理数)17. (本小题满分 13 分)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右 焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离 等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。


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