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《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件1-2


高考调研

人教A版 ·数学 ·选修1-2

第一章

统计案例

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第一章

统计案例

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1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

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第一章

统计案例

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授 人 以 渔

课 后 巩 固

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第一章

1.2

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要点 1 两个分类变量之间相关关系的定性分析: (1)分类变量 取不同的“值”表示个体所属的 不同类别 的变量称为分类 变量.

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1.2

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(2)频率分析 通过对样本的每个分类变量的不同类别的事件发生的 频率 的大小比较来分析两分类变量之间是否有关系. (3)图形分析 我们也可以利用三维柱形图、二维条形图及等高条形图来分 析两分类变量之间是否具有相关关系,这是因为图形的形象直 观,更能反映出相关数据的总体状况.

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第一章

1.2

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要点2 一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取 值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联 表)为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

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第一章

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为了使不同样本容量的数据有统一的评价标准,我们构造一 个随机变量
2 n ? ad - bc ? K2 = ,其中 n= a+b+c+d ?a+b??c+d??a+c??b+d?

为样

本容量.先假设两个变量 X 与 Y 无关系,利用公式计算得 K2 的 观测值为 k,再结合观测值得出两变量 X 与 Y 有关系的程度.

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1.2

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这种利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个 分类变量有关系”的方法,称为两个分类变量的独立性检验.

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1.三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副 对角线上两个柱形高度乘积bc相差越大,x与y有关系的可能性 ________.

答:越大

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2.在K2运算时,在判断变量相关时,若K2=56.632, P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥10.828)≈0.001,哪种说法是正确 的?
答:两种说法均正确.由P(K2≥6.635)≈0.01的含义是99% 的把握认为两变量相关,也就是说判断出错的可能性只有1%; 而P(K2≥10.828)≈0.001的含义是有99.9%的把握认为两变量相 关,也就是说判断出错的可能性只有0.1%.

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3.所谓独立性检验,就是根据采集样本的数据,先利用三 维柱形图和二维条形图粗略判断两个分类变量是否有关系,再 利用公式计算K2的值,比较与临界值的大小关系,来判定事件x 与y是否相关的问题. 可按如下步骤判断x与y的关系: (1)通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个分 类变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的 可靠程度.
第一章 1.2

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(2)利用K2公式可准确地计算K2的值,一般步骤是: ①根据样本数据制成2×2列联表.
2 n ? ad - bc ? ②根据公式K2= ,计算K2的值. ?a+b??a+c??b+c??b+d?

③比较K2与临界值的大小关系,作统计推断.

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授 人 以 渔

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题型一
例1

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作列联表

在一项有关医疗保健的社会调查中,调查的男性为

530人,女性为670人,其中男性中喜欢吃甜食的为117人,女性 中喜欢吃甜食的为492人,请作出性别与是否喜欢吃甜食的列联 表.

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【解析】 作列联表如下: 喜欢吃甜食 男 女 总计 117 492 609 不喜欢吃甜食 413 178 591 总计 530 670 1 200

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探究1

对问题中的不同数据分成不同的类别,然后列

表.注意到列联表中的类别书写格式与数据也要对应清晰.

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思考题1

服用某种维生素对婴儿头发稀疏或稠密的影响调

查如下:服用维生素的婴儿有60人,头发稀疏的有5人;不服用 维生素的婴儿有60人,头发稀疏的有46人.由以上数据作出列 联表.

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【解析】 列联表如下: 头发稠密 头发稀疏 总计 不服用 服用 总计 14 55 69 46 5 51 60 60 120

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题型二 三维柱形图和二维条形图

例2

某矿石粉厂当生产一种矿石粉时,在数天内就有部分

工人患职业性皮肤炎,在生产季节开始,随机抽取75名车间工 人穿上新防护服,其余仍穿原用的防护服,生产进行一个月 后,检查两组工人的皮肤炎患病人数如下:

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防护服种类 新 旧 合计

阳性例数 5 10 15

阴性例数 70 18 88

合计 75 28 103

问这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效?并说 明你的理由.(注:显阴性即未患皮肤炎)

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【思路分析】

解答本题可先结合列联表作出三维柱形和

等高条形图或二维条形图并进行定性分析,再利用随机变量K2 的值进行定量分析.

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【解析】

通过计算穿新、旧防护服的工人患皮肤病的发

病率可知,穿新防护服的发病率为6.7%,而穿旧的发病率约为 35.7%,说明新防护服对预防皮肤炎有一定效果. 通过作三维柱形图及等高条形图(如图所示)可知,穿上新防 护服后也有明显的效果.

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通过计算K2的观测值k知, k= n?ad-bc?2 ?a+b??c+d??a+c??b+d? ≈13.826.查表可知,

P(K2≥10.828)≈0.001,而13.826大于10.828,故至少有99.9%的 把握说明新防护服比旧防护服对预防患这种皮肤炎有效.
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探究2

判断两个分类变量是否有关系的途径有:

(1)通过计算它们发生的频率来初步判断; (2)通过作三维柱形图、二维条形图或等高条形图,利用图 形的形象直观来定性判断; (3)计算随机变量K2的值,利用独立性假设的基本思想来定 量地判断.

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思考题2 某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调 查,数据如下表:
认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游 戏 总数 18 8 26 9 15 24 27 23 50

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依据列联表中数据画出三维柱形图、二维条形图、等高条 形图,并对图形进行分析.判断喜欢玩电脑游戏与认为作业量 的多少有无关系?

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【解析】

(1)三维柱形图如图所示:

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比较来说,底面主对角线上的两个柱体高乘积大一些,因 此可以在某种程度上认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多 少”是有关系的. (2)二维条形图如图所示:

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在二维条形图中,可以估计喜欢玩电脑游戏的学生中认为 作业多的人所占的比例与不喜欢玩电脑游戏的学生中认为作业 多的人所占的比例,两个比例的值相差越大,有关系的可能性 就越大. (3)等高条形图如图所示:

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等高条形图清晰地反映了两种情况下认为作业量多少的比 例. 由以上三维柱形图,二维条形图及等高条形图分析可认为 喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少之间有较大的关系.

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题型三

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随机变量K2计算公式的应用

例3

在从烟台—大连的某次航运中,海上出现恶劣气候,

随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如表所示: 晕船(B) 男人(A) 女人( A ) 总计 32 8 40 不晕船( B ) 总计 51 24 75 83 32 115

据此资料,你是否认为在恶劣气候中航行,男人比女人更 容易晕船?
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【思路分析】

由题目可获取以下主要信息:①男人晕船

和不晕船的人数;②女人晕船和不晕船的人数.解答本题可先 通过2×2列联表所提供的数值代入K2公式求得K2的值,再查表 得出结论.

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【解析】

由公式得K2的观测值为

115×?32×24-51×8?2 k= ≈1.870. 83×32×40×75 因为1.870<2.706, 所以我们没有理由说晕船跟性别有关.

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探究3

解决此类问题的关键是确定a,b,c,d,n的值并求

出K2的观测值,并与可信程度分界值相比较,注意正确运用公 式,准确代入数据.

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思考题3

在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了

124人,其中女性70人,男性54人,女性中有43人主要的休闲方 式是看电视,另外27人主要的休闲方式是运动;男性中有21人 主要的休闲方式是看电视,另外33人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个2×2的列联表; (2)试判断性别与休闲方式是否有关系.

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【解析】 (1)列联表如下: 看电视 男性 女性 合计 21 43 64 运动 33 27 60

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合计 54 70 124

(2)提出统计假设H0:性别与休闲方式没有关系,根据表中 数据,由公式得K2的观测值为k≈6.201 2>3.841 因为P(K2≥3.841)≈0.05.所以有95%的把握认为性别与休闲 方式有关系.
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题型四

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独立性检验的综合应用

例4

在调查的480名男人中有38名患有色盲,520名女人中

有6名患有色盲,分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲 与性别是否有关?你所得到的结论在什么范围内有效? 【思路分析】 解答本题可先作出调查数据的列联表,再

根据列联表画出二维条形图或三维柱形图,并进行分析,最后 利用独立性检验作出判断.

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【解析】

由题意作出列联表: 色盲 男 女 合计 38 6 44 非色盲 442 514 956 合计 480 520 1 000

根据列联表作出相应的二维条形图,如图所示.

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38 从二维条形图来看在男人中患色盲的比例 ,比在女人中 480 6 38 6 患色盲的比例 520 要大,其差值为| 480 - 520 |≈0.068,差值较 大,因而我们可以认为性别与患色盲是有关的.根据列联表中 所给的数据可以有a=38,b=442,c=6,d=514,a+b=480, c+d=520,a+c=44,b+d=956,n=1 000,代入公式

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2 n ? ad - bc ? K2 = 得K2的观测值为 ?a+b??b+d??a+c??c+d?

1 000×?38×514-6×442?2 k= ≈27.1. 480×520×44×956 由于K2≈27.1>10.828,所以至少有99.9%的把握认为性别与 患色盲有关系.这个结论只对所调查的480名男人和520名女人 有效.

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探究4利用图形来判断两个变量之间是否有关系,可以画出 三维柱形图,也可以画出二维条形图,仅从图形上只可以粗略 的估计两个分类变量的关系,可以结合所求的数值来进行比 较,作图应注意单位统一,图形准确,但它不能给我们两个分 类变量有关或无关的精确的可信程度,若要作精确的判断,可 以作独立性检验的有关计算.

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思考题4 为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 339名50岁以上的人,调查结果如表所示: 患慢性气管炎 吸烟 不吸 烟 合计 43 13 56 未患慢性气管炎 162 121 283 合计 205 134 339

试问:50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关系吗 (P(K2≥6.635)≈0.010)?
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【解析】

本题意思是要考虑50岁以上的人的两种状态,

是否吸烟,是否患慢性气管炎,每种状态又分两种情况,吸 烟、不吸烟以及患慢性气管炎、未患慢性气管炎,表中的数据 是调查来的结果,可以利用这些数据计算出K2的值,并判断二 者之间的关系. 从题目的2×2列联表中可知: a=43,b=162,c=13,d=121,

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a+b=205,c+d=134,a+c=56, b+d=283,n=a+b+c+d=339, 代入公式
2 n ? ad - bc ? K2 = ,得 ?a+b??b+d??a+c??c+d?

K2的观测值为

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1.2

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339×?43×121-162×13?2 k= ≈7.469 205×134×56×283 由于7.469>6.635, 所以我们有99%的把握认为50岁以上的人患慢性气管炎与吸 烟有关.

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1.2

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课后巩固

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第一章

1.2


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