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第十六届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答


第十六届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答

一、参考解答

1. 五,杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦

2. 反物质

3. 月球,月球、火星

二、参考解答

1. 物块放到小车上以后,由于摩擦力的作用,当以地面为参考系时,物块将从静 止开始加速运动,而

小车将做减速运动,若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车 此时的速度,则物块就刚好不脱落。令 v 表示此时的速度,在这个过程中,若以物块和 小车为系统,因为水平方向未受外力,所以此方向上动量守恒,即

Mv0 ? (m ? M )v

(1)

从能量来看,在上述过程中,物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功,即

1 2 mv ? ? mgs1 2

(2)

其中 s1 为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功,即

1 1 2 Mv 2 ? mv0 ? ?? mgs2 2 2
其中 s2 为小车移动的距离。用 l 表示车顶的最小长度,则

(3)

l ? s2 ? s1

(4)

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由以上四式,可解得

l?

2 Mv0 2? g (m ? M )

(5)

即车顶的长度至少应为 l ?

2 Mv0 。 2? g (m ? M )

2.由功能关系可知,摩擦力所做的功等于系统动量的增量,即

1 1 2 W ? (m ? M )v 2 ? Mv0 2 2
由(1)、(6)式可得

(6)

W ??

2 mMv0 2(m ? M )

(7)

三、参考解答 设容器的截面积为 A ,封闭在容器中的气体为? 摩尔,阀门打开前,气体的压强为
p0 。由理想气体状态方程有

p0 AH ? ? RT0

(1)

打开阀门后,气体通过细管进入右边容器,活塞缓慢向下移动,气体作用于活塞的 压强仍为 p0 。活塞对气体的压强也是 p0 。设达到平衡时活塞的高度为 x ,气体的温度 为 T ,则有
p0 ( H ? x) A ? ? RT

(2)

根据热力学第一定律,活塞对气体所做的功等于气体内能的增量,即
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3 p0 ( H ? x) A ? ? R(T ? T0 ) 2
由(1)、(2)、(3)式解得

(3)

x?

2 H 5

(4)

7 T ? T0 5

(5)

四、参考解答

设线框的 dc 边刚到达磁场区域上边界 PP ' 时的速度为 v1 ,则有

1 2 mv1 ? mgh 2

(1)

dc 边进入磁场后,按题意线框虽然受安培力阻力作用,但依然加速下落.设 dc 边
下落到离 PP ' 的距离为 ?h1 时,速度达到最大值,以 v0 表示这个最大速度,这时线框中 的感应电动势为

E ? Bl1v0

线框中的电流

I?

E Bl1v0 ? R R

作用于线框的安培力为
B 2l12 v0 R

F ? Bl1I ?

(2)

速度达到最大的条件是安培力

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F ? mg

由此得

v0 ?

mgR B 2l12

(3)

在 dc 边向下运动距离 ?h1 的过程中,重力做功 WG ? mg ?h1 ,安培力做功 WF ,由动 能定理得

1 2 1 2 WG ? WF ? mv0 ? mv1 2 2
将(1)、(3)式代入得安培力做的功

WF ? ?mg ?h1 ?

m3 g 2 R 2 ? mgh 2 B 4l14

(4)

线框速度达到 v0 后,做匀速运动.当 dc 边匀速向下运动的距离为 ?h2 ? l2 ? ?h1 时,

ab 边到达磁场的边界 PP ' ,整个线框进入磁场.在线框 dc 边向下移动 ?h2 的过程中,
重力做功 WG? ,安培力做功 WF ? ,但线框速度未变化,由动能定理

WG? ? WF ? ? 0

WF ? ? ?WG? ? ? mg ?h2 ? ? mg (l2 ? ?h1 )

(5)

整个线框进入磁场后,直至 dc 边到达磁场区的下边界 QQ ' ,作用于整个线框的安 培力为零,安培力做的功也为零,线框只在重力作用下做加速运动。

所以,整个过程中安培力做的总功

W ? WF ? WF ? ? ?mg (l2 ? h) ?

m3 g 2 R 2 2 B 4l14

(6)

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〔编注:此题命题有不严密之处。由微分方程
B 2l12v dv ?m R dt

mg ?

的解

1 B 2l12 v - mR ?t mg ? ?l R

B 2l 2

可知,只有当 t ? ? 时, v 才能趋向极限速度 v0 ?

mgR (即线框下落无穷长的距离,速 B 2l12

度才能趋向 v0 )。原题说 ab 边未进入磁场即达到最大速度是不确切的。〕

五、参考解答

1. 用作图法求得物 AP ,的像 A ' P ' 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。 说明:平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 的 组合 LM ,如图预解16-5所示.图中 O 为 L 的光心, AOF ' 为主轴, F 和 F ' 为 L 的两个 焦点, AP 为物,作图时利用了下列三条特征光线:

(1)由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方向不变,沿原方向射向平面镜 M ,然 后被 M 反射,反射光线与主轴的夹角等于入射角,均为 ? 。反射线射入透镜时通过光 心 O ,故由透镜射出时方向与上述反射线相同,即图中的 OP ' .

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(2)由 P 发出已通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR ,它经过 L 折射后的出射线与 主轴平行,垂直射向平面镜 M ,然后被 M 反射,反射光线平行于 L 的主轴,并向左射 入 L ,经 L 折射后的出射线通过焦点 F ,即为图中的 RFP .

(3)由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ ,它经过 L 折射后的出射线将射向 L 的 焦点 F ' ,即沿图中的 QF ' 方向射向平面镜,然后被 M 反射,反射线指向与 F ' 对称的 F 点, 即沿 QF 方向。 此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出: 通过 O 作平行于 QF 的 辅助线 S ' OS , S ' OS 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点,由于入射平行光 线经透镜后相交于焦面上的同一点, QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 点, 故 图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出射光线。

上列三条出射光线的交点 P ' 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A ' 即 A 的像 点.由图可判明,像 A ' P ' 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可得 A ' P ' , 即为正确的解答。

2. 按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的伙置、大小。

物 AP 经透镜 L 成的像为第一像,取 u1 ? 2 f ,由成像公式可得像距 v1 ? 2 f ,即像在 平向镜后距离 2 f 处,像的大小 H ' 与原物相同, H ' ? H 。

第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2 f 处,对 M 来 说是虚物,成实像于 M 前 2 f 处。像的大小 H ?? 也与原物相同, H ?? ? H ? ? H 。

第二像作为物,而经透镜 L 而成的像为第三像,这时因为光线由 L 右方入射,且物 (第二像)位于 L 左方,故为虚物,取物 u3 ? ?2 f ,由透镜公式
1 1 1 ? ? 可得像距 u3 v3 f

v3 ?

fu3 2 ? f ?0 u3 ? f 3
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上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离

2 f 处,像的大小 3

H ??? 可由

H ??? v3 1 ? ? 求得,即 H ?? u3 3

1 1 H ??? ? H ?? ? H 3 3 1 像高为物高的 。 3

六、参考解答

解法一:

设二极管 D 两端的管压为 U D ,流过二极管的电流为 I D 。则有

? 2U D ? 2U D ? E ? ? I D ? ? R1 R2 ? ?

(1)

代入数据解得 U D 与 I D 的关系为

U D ? (1.5 ? 0.25I D ?103 ) V

(2)

这是一在图预解16-6中横轴上截距为1.5,纵 轴上截距为 6、斜率为-4的直线方程(称为二极 管的负载线) 因管压 U D 与流过二极管电流 I D 还受 二极管 D 的 I D ~ U D 特性曲线的限制, 因而二极管 就工作在负载线与 I D ~ U D 特性曲线的相交点 P 上(如图预解16-6).由此得二极管两端的管压和 电流分别为
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UD ? 1 V ,

I D ? 2 mA

(3)

电阻 R1 上的电压

U1 ? E ? 2U D ? 4 V

其功率

P? 1

U12 ? 16 mW R1

(4)

解法二:

设两个二极管用一个等效二极管 D? 代替,当流过等效二极管的电流为 I D? 时,等效 二极管的管压为 U D? ? 2U D 。

即有

U D? ? E ? ( I D? ?

U D? ) R1 R2

(1?)

代入数据解得 U D? 与 I D? 的关系为

U D? ? (3 ? 0.5I D? ?103 ) V

(2?)

这是一在横轴上截距为3、纵轴上截距为6、斜率为-2的负载线方程,二极管 D? 的
I D? ? U D? 特性曲线只要将图预解16-6的横坐标增大1倍即可.用作图法,求出负载线与

管 D? 的特性曲线相交的 P 点得

U D? ? 2 V ,

I D? ? 2 mA

(3?)

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电阻 R1 上的电压

U1 ? E ? U D? ? 4 V

其功率

P? 1

U12 ? 16 mW R1

(4?)

七、参考解答

t ? 10.5 s 和 t ? 12.5 s 的波形如图预解16-7-1所示。

其中10.5 s 时的波形,如果没有固定点应如 AB 所示,以固定点 D 对称作出反射波

B ' C ' ,再和 AC 合成,形成了 AED (图预解16-7-2)。12.5 s 的波形,如果没有固定
点应如 AB 所示,以固定点对称作出反射波 A ' B ' (图预解16-7-3).

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八、参考解答

首先求出一定质量的引力源成为黑洞应满足的条件.按照黑洞的定义,包括以光速 运动的光子也不能脱离黑洞的吸引,即不能逃离黑洞的表面.而拉普拉斯经典黑洞模型 则把光看做是以光速 c 运动的某种粒子.我们知道,物体在引力作用下的势能是负的, 物体恰能逃离引力作用,表示物体运动到无限远的过程中,其动能恰好全部用于克服引 力做功.物体在无限远处时,动能和势能都等于零.这意味着该物体处在引力源表面处 时,其动能与势能之和亦等于零.物体不能逃离引力作用,表示该物体尚未到达无限远 处,其动能已全部用于克服引力做功,但引力势能仍是负的.这意味着它在引力源表面 处时,其动能与势能之和小于零.若某引力源的质量为 M ,半径为 rB ,质量为 m 的粒 子在引力源表面的速度等于光速,但它仍不能逃离引力作用,则按牛顿力学的观点应有 下列关系:

1 2 Mm mc ? G ?0 2 rB

(1)



rB ?

2GM c2

(2)

这就是说,对于质量为 M 的引力源,只有其半径 rB (叫做黑洞的引力半径)小于

2GM 时才会在其表面产生足够强的引力,使得包括光在内的所有物质都不能脱离其引 c2
力作用.对光而言,人们将无法通过光学测量看到它,这就是把它叫做黑洞的原因.

现在再来根据观测数据确定存在于银河系中心的大黑洞的半径. 设位于银河系中心 的引力源的质量为 M ,绕银河系中心旋转的星体的质量为 m ,该星体做圆周运动时, 有下列关系:
v2 mM ?G 2 r r rv 2 G

m



M?

(3)

r 为轨道半径.若该引力源为黑洞,则其质量分布球的半径应满足(2)式,即
2G v 2 r v2r ?2 2 c2 G c 中国物理课程网

rB ?

(4)

根据观测数据, ? 2 ?103 km/s=2 ?106 m/s , ? 60 ?108 km=6 ?1012 m , c ? 3 ? m 而 v r 1 s8 0 / 把这些数据代入(4)式,得



rB ? 5.3 ? 108 m=5.3 ? 105 km

(5)

这说明,对质量由(3)式决定的引力源来说,半径小于 5.3 ? 105 km 时才是黑洞, 大于这个数值则不是黑洞.所以如果银河系中心存在黑洞的话,该黑洞的半径小于
5.3 ? 105 km .

九、参考解答

1.用 S 表示木棍的横截面积,从静止开始到其下端到达两液体交界面为止,在这

1 过程中, 木棍受向下的重力 ( ?1 ? ?2 ) ? LSg 和向上的浮力 ?1LSg 。 由牛顿第二定律可知, 2
其下落的加速度

a1 ?

?2 ? ?1 g ?1 ? ?2

(1)

用 t1 表示所需的时间,则

3 1 L ? a1t12 4 2
由此解得

(2)

t1 ?

3L( ?1 ? ? 2 ) 2( ? 2 ? ?1 ) g

(3)

2.木棍下端开始进入下面液体后,用 L ' 表示木棍在上面液体中的长度,这时木棍

1 所受重力不变,仍为 ( ?1 ? ?2 ) ? LSg ,但浮力变为 ?1L?Sg ? ?2 ( L ? L?)Sg .当 L ? L ' 时, 2
浮力小于重力;当 L ' ? 0 时,浮力大于重力,可见有一个合力为零的平衡位置.用 L0? 表
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示在此平衡位置时,木棍在上面液体中的长度,则此时有

1 ( ?1 ? ?2 ) ? LSg ? ?1L0?Sg ? ?2 ( L ? L0? )Sg 2
由此可得

(4)

L0? ?

L 2

(5)

即木棍的中点处于两液体交界处时,木棍处于平衡状态,取一坐标系,其原点位于交界 面上, 竖直方向为 z 轴, 向上为正, 则当木棍中点的坐标 z ? 0 时, 木棍所受合力为零. 当 中点坐标为 z 时,所受合力为

? ?1 1 ? ?1 ? ? ? ( ?1 ? ?2 ) ? LSg ? ? ?1 ? L ? z ? Sg ? ?2 ? L ? z ? Sg ? ? ?( ?2 ? ?1 )Sgz ? ?kz 2 ? ?2 ? ? ? ?2

式中

k ? ( ?2 ? ?1 ) Sg

(6)

这时木棍的运动方程为

1 ?kz ? ( ?1 ? ?2 ) LSaz 2
a z 为沿 z 方向加速度

az ? ?2

( ?2 ? ?1 ) gz ? ?? 2 z ( ?1 ? ?2 ) L

?2 ? 2

( ? 2 ? ?1 ) g ( ?1 ? ? 2 ) L

(7)

由此可知为简谐振动,其周期

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T?

2?

?

? 2?

( ?1 ? ? 2 ) L 2( ? 2 ? ?1 ) g

(8)

为了求同时在两种液体中运动的时间,先求振动的振幅 A .木棍下端刚进入下面液 体时,其速度

v ? a1t1

(9)

由机械能守恒可知

1 ?1 ? 2 1 2 1 2 ? 2 ( ?1 ? ?2 ) SL ? v ? 2 kz ? 2 kA 2? ?

(10)

1 式中 z ? L 为此时木棍中心距坐标原点的距离,由(1)、(3)、(9)式可求得 v , 2
再将 v 和(6)式中的 k 代人(10)式得

A ? L (11)
由此可知,从木棍下端开始进入下面液体到棍中心 到达坐标原点所走的距离是振幅的一半,从参考圆(如 图预解16-9)上可知,对应的 ? 为30?,对应的时间为 因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下 T /12 。 面液体所用的时间,即棍中心从 z ? 时间为

L L 到 z ? ? 所用的 2 2

t2 ? 2

T ? ? 12 3

( ?1 ? ? 2 ) L 2( ? 2 ? ?1 ) g

(12)

3. 从木棍全部浸入下面液体开始, 受力情况的分析和1中类似, 只是浮力大于重力, 所以做匀减速运动,加速度的数值与 a1 一样,其过程和1中情况相反地对称,所用时间

t3 ? t1
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(13)

4.总时间为

t ? t1 ? t2 ? t3 ?

6 6 ? 2? 6

( ?1 ? ? 2 ) L ( ? 2 ? ?1 ) g

(14)

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