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吴川市第二中学2012-2013学年第二学期期中试卷


吴川二中 2012-2013 学年度第二学期期中考试 高二文科数学试题
说明:本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟

参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

? 回归直线方程: y ?

bx ? a , b ?

? xi y i ? n x y
i ?1 n

n

?x
i ?1

?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
, a ? y ? bx
i

2 i

? nx

2

? (x
i ?1

? x)

2

参考数据: P(k >k) k
2

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

一、选择题(每小题正确答案均唯一,每小题 5 分共 50 分)
1、设有一条回归直线方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时( A. y 平均增加 1.5 个单位 C. y 平均减少 1.5 个单位
2

)

B. y 平均增加 2 个单位 D. y 平均增加 2 个单位
2

2、在独立性检验中,统计量 K 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 K 〉3.841 时,有 95 % 的把握说明两个事件有关,当 K 〉6.635 时,有 99 % 的把握说明两个事件有关,当
2

K 2 ? 3.841时,认为两个事件无关。在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 2000
人,经计算的 K =20.87 根据这一数据分析,认为打鼾与患心脏病之间(
2

)

A.有 95%的把握认为两者有关 C. 有 99%的把握认为两者有关 3、下列表述正确的是 ( )

B. 约有 95%的打鼾者患心脏病 D. 约有 99%的打鼾者患心脏病

①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

第 1 页,共 7 页

A. ①②③

B. ②③④

C. ②④⑤ ) D. i )

D. ①③⑤

2 3 4、 i 是虚数单位,计算 i ? i ? i ? (

A.-1 5、若复数 z ?

B.1

C. ? i

1? i ,则 z 在复平面内对应的点位于( i
B.第二象限 C.第三象限

A.第一象限

D.第四象限

6、类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出空间下列结论: ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行。 则正确的结论是 ( A.①② ) C.③④ D.①④

B.②③

7、用反证法证明命题: “一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①

A ? B ? C=90? ? 90? ? C〉  ? , 180 这与三角形内角和为 180°相矛盾 A=B=90? 不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设三角形的三个内角 A 、 B 、C 中有两个直角, 不妨设 A=B=90 ;其中正确顺序的序号为( A.①②③ B.③①② C.①③②
?

) D.②③①

8、根据下面的结构图,总经理的直接下属是( )

A.总工程师、专家办公室和开发部 C.总工程师和专家办公室

B. 开发部

D.总工程师、专家办公室和所有七个部

9、如图,第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来,(n=1、2、3、?) ,则在第 n 个图形 中共有顶点个数为( ) A.(n+1)(n+2) B. (n+2)(n+3) C. n2 D. N

10、复数

10 ( ? i) 1 等于( 1-i

) C. 16 ? 16i
第 2 页,共 7 页

A. 16 ? 16i

B. ? 16 ? 16i

D. ? 16 ? 16i

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在对应题号后 的横线上)
11、已知 x 与 y 之间的一组数据如下,则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a,必过点 x y 0 1 1 3 2 5 3 7

1 12、依次有下列等式: 1= , 2 ? 3 ? 4=3 , 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7=5 ,按此规律下去,第 5
2

2

2

个等式为 ________________ 13、按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x=2,则输出的 x 的值是_________ 14、若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i (i 是虚数单位) ,则其共轭复数 z =

三、解答题(共 6 小题,共 80 分)
15、 (本小题满分 12 分)已知复数 z1 ? 5 ? 10i , z 2 ? 3 ? 4i ,

1 1 1 ? ? ,求复数 z z z1 z 2

16、 (本小题满分 12 分)甲乙两个班级均为 50 人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格 与不及格进行统计,甲班及格人数为 45 人,乙班及格人数为 30 人 (1)根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表; (2)试用独立性检验方法判断成绩与班级是否有关?

17、本小题满分 14 分) ( 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且满足 an ? 2 ? S n  ? N * (Ⅰ) n 求 a1 , a2 , a3 , a4 的值并写出其通项公式 an ; (Ⅱ)用三段论证明数列 ?an ? 是等比数列。

?

?

第 3 页,共 7 页

18、 (本小题满分 14 分)某种产品的广告费用支出 x (万元)与销售额 y (万元)之间有 如下的对应数据:

x
y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)据此估计广告费用为 9 销售收入 y 的值。

19、 (本小题满分 14 分)证明: (1)如果 x ?

1 2 ,那么 x ? 2 x ? 1 ? 0 2 1 ? 2 sin ? cos ? 1 ? tan ? ? (2) cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan ?

20、(本题满分 14 分) 下图是一个按照某种规则排列出来的三角形数阵

假设第 n 行的第二个数为 an(n≥2,n∈N*) (1)依次写出第六行的所有 6 个数字(不必说明理由); (2)写出 an+1 与 an 的递推关系式(不必证明),并求出 an 的通项公式 an(n≥2,n∈N*); (3)设 bn=

1 ,求证:b2+b3+…+bn<2. an

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吴川二中 2012—2013 学年度第二学期第一次月考 高二文科数学答案 一 .选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 C 1 2 C 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B 8 A 9 B 10 D

二. 填空题(本大题共 4 个 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、 (-1.5,4) ; 13、 231 ;

= 12、 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 11? 12 ? 13 9 ;
2

14、 i

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 15、 (本小题满分 12 分). 解:

1 1 5 ? 10i 1 ? 2i ? ? ? z1 5 ? 10i (5 ? 10i)(5 ? 10i) 25

??????3 分

1 1 3 ? 4i 3 ? 4i ? ? ? z 2 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25 1 1 1 4 ? 2i ? ? ? z z1 z 2 25
z? 25 25(4 ? 2i ) 5 ? ? 5? i 4 ? 2i 20 2

?????? 6 分

?????? 9 分

?????? 12 分

16、 (本小题满分 12 分) 解: (1) 2 ? 2 列联表为 不及格 甲班 乙班 合计 5 20 25 及格 45 30 75 合计 50 50 100 ??????5 分

(2)假设“成绩与班级无关” ,计算得到 K 2 的观察值

k?

124? (43? 33 ? 27 ? 21) 2 ? 12 ? 10.83 ??????11 分 70 ? 54 ? 64 ? 60

第 5 页,共 7 页

所以有 99.9%把握认为“成绩与班级有关系” 。

??????12 分

17. (本小题满分 14 分) 解: )由 an ? 2 ? Sn ,得 a1 ? 1 ; a2 ? (Ⅰ 猜想 an ? ( )n?1 (n ?N? ) . (Ⅱ )因为通项公式为 an 的数列 ?an ? ,若 则 ?an ? 是等比数列; 因为通项公式 an ? ( )n?1 ,又

1 1 1 ; a3 ? ; a4 ? ,????????4分 2 4 8
???????????6 分

1 2

an ?1 ? p , p 是非零常数, an

???????????9 分

1 2

an ?1 1 ? ; an 2

所以通项公式 an ? ( )n?1 的数列 ?an ? 是等比数列.???????????14 分 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)略。 (2) x ?
5

1 2

???????3 分 ?5 分

1 1 (2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8) ? 5 , y ? (30 ? 40 ? 60 ? 50 ? 70) ? 50 5 5
5

? xi2 ? 2 2 ? 4 2 ? 52 ? 6 2 ? 82 ? 145, ? xi yi ? 1380
i ?1 i ?1

?????7 分

? 1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? ? ?b ? ? 6.5 , a ? y ? b x ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 2 145 ? 5 ? 5
∴回归直线方程为 ? ? 6.5x ?17.5 。 y

???9 分

?????11 分 ?????14 分

(3)x=9 时,预报 y 的值为 y ? 6.5 ? 9 ? 17.5 ? 76 (万元)。

19、 (本小题满分 14 分) 证明: (1)假设 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,则 x ? ?1? 2
2

?????2 分

1 1 ,下面证明 ? 1 ? 2 ? , 2 2 1 要证明: ? 1 ? 2 ? 成立, 2 3 9 只需证: 2 ? 成立,只需证 2 ? 成立, 2 4
容易看出 ? 1 ?

2?

第 6 页,共 7 页

上式显然成立,故有 ? 1 ? 综上, x ? ?1 ?
2

2?

1 成立 2

?????5 分

2?

1 1 ,与已知条件 x ? 矛盾。?????7 分 2 2
?????8 分

因此, x ? 2 x ? 1 ? 0
2 (cos x ? sin x) (2)左边= (cosx ? sin x)(cosx ? sin x)

?????10 分

cos x ? sin x cos x ? sin x 1 ? tan x = =右边 1 ? tan x 1 ? 2 sin ? cos ? 1 ? tan ? ? 所以, 得证 cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan ?
= 20、 (本小题满分 14 分)

?????11 分 ?????13 分 ?????14 分

解:(1)第六行的所有数字应该为 6,16,25,25,16,?????2 分

(2)仔细观察三角形数阵可以发现:设第 n 行的第 2 个数字 an 等于第 n-1 行第一个数字 n 与第二个数字 a n-1 之和,即 an=an-1+(n-1),?????4 分 由此可知:an+1=an+n,即 an+1-an=n.( n ? 2, n ? N * ) an-an-1=n-1, an-1-an-2=n-2, …, a4-a3=3, a3-a2=2, 将上式相加可得 an-a2=n-1+n-2+…+3+2= an=a2+

a2 ? 2

(n ? 2)( n ? 1) (n ? 2)( n ? 1) =2+ , 2 2 1 2 1 ∴an 的通项公式为 an= n ? n ? 1 (n≥2);?????9 分 2 2
(3)因为 bn=

(n ? 2)( n ? 1) , 2

1 2 2 1 1 ? 2 ? ? 2( ? ) an n ? n ? 2 n(n ? 1) n ?1 n
1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 1 1 ? )? 2(1 ? ) ? 2 ] n ?1 n n

( - )( - )( - ) ......? ? ? ? ( b2+b3+b4+?+bn< 2[ 1

?????14 分

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