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高考第一轮复习数学:4.6 三角函数的图象与性质(二)


4.6
●知识梳理 1.三角函数的图象和性质
函 性 质 定义域 值域 图象 奇偶性 周期性 单调性 对称性 数

三角函数的图象与性质(二)

y=sinx

y=cosx

y=tanx

注:读者自己填写. 2.图象与性质是一个密不可分的整体,研究性质要注意联想图象. ●点击双基 π 1.函数 y=sin( -2x)+sin2x 的最小正周期是 3
A.2π B.π C. π 2 D.4π

解析:y=

3 1 3 1 π cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x) =π. ,T 2 2 2 2 3

答案:B 2.若 f(x)sinx 是周期为π的奇函数,则 f(x)可以是 B.cosx C.sin2x A.sinx 解析:检验. 答案:B
3.(2004 年天津,理 9)函数 y=2sin( A.[0, C.[
π ] 3

D.cos2x

π -2x) (x∈[0,π] )为增函数的区间是 6

B.[ D.[

π 7π , ] 12 12

π 5π , ] 3 6

5π ,π] 6

解析:由 y=2sin( 间得到,即 2kπ+ ∴kπ+

π π π -2x)=-2sin(2x- )其增区间可由 y=2sin(2x- )的减区 6 6 6

π π 3π ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z. 2 6 2

π 5π ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6

令 k=0,故选 C. 答案:C

4.(2005 年北京东城区高三期末检测题)把 y=sinx 的图象向左平移

π 个单位,得到函 3

数____________的图象; 再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 而纵坐标保 持不变,得到函数____________的图象. π π π 解析:向左平移 个单位,即以 x+ 代 x,得到函数 y=sin(x+ ) ,再把所得图象上 3 3 3 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,即以 答案:y=sin(x+
1 1 π x 代 x,得到函数:y=sin( x+ ). 2 2 3

π 1 π ) y=sin( x+ ) 3 2 3 3π π <x<2kπ+ (k∈Z). 4 4

5.函数 y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.

解析:由 cosx-sinx>0 cosx>sinx.由图象观察,知 2kπ-
y y= sinx

O

π 2 y= cosx



x

答案:2kπ- ●典例剖析

3π π <x<2kπ+ (k∈Z) 4 4 π )的最大值是_______; 3

【例 1】 (1)y=cosx+cos(x+ (2)y=2sin(3x-

π )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. 4 1 3 cosx- sinx 2 2

剖析: 1)y=cosx+ (
=

3 3 3 1 cosx- sinx= 3 ( cosx- sinx) 2 2 2 2 π = 3 sin( -x). 3

所以 ymax= 3 . (2)T=
2π π ,相邻对称轴间的距离为 . 3 3
π 3

答案: 3

【例 2】 (1)已知 f(x)的定义域为[0,1) ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域. 剖析:求函数的定义域: 1)要使 0≤cosx≤1, 2)要使 sin(cosx)>0,这里的 cosx ( ( 以它的值充当角. 解: 1)0≤cosx<1 2kπ- (
π π ≤x≤2kπ+ ,且 x≠2kπ(k∈Z). 2 2

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ-

π π ,2kπ+ ]且 x≠2kπ,k∈Z}. 2 2

(2)由 sin(cosx)>0 2kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z).又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx ≤1.故所求定义域为{x|x∈(2kπ-
π π ,2kπ+ ) ,k∈Z}. 2 2

评述:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角 函数线. 【例 3】 求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值. 剖析:将原函数化成 y=Asin(ωx+ )+B 的形式,即可求解. 解 : y=sin6x+cos6x= ( sin2x+cos2x ) sin4x - sin2xcos2x+cos4x ) =1 - 3sin2xcos2x=1 - ( 3 2 3 5 sin 2x= cos4x+ . 4 8 8 ∴T=
π . 2 kπ (k∈Z)时,ymax=1. 2

当 cos4x=1,即 x=

深化拓展
函数 y=tan(ax+θ) a>0)当 x 从 n 变化为 n+1(n∈Z)时,y 的值恰好由-∞变为+∞, ( 则 a=_______. 分析:你知道函数的周期 T 吗? 答案:π ●闯关训练 夯实基础 1.(2004 年辽宁,11)若函数 f(x)=sin(ωx+ )的图象(部分)如下图所示,则ω 和 的取值是
y 1 - π O 2π 3 3

x

A.ω=1, = C.ω=

π 3

B.ω=1, =- D.ω=

π 3

1 π , = 2 6

1 π , =- 2 6

解析:由图象知,T=4( 又当 x=

2π π 2π 1 + )=4π= ,∴ω= . 3 3 ω 2

2π 1 2π 时,y=1,∴sin( × + )=1, 3 2 3

π π π + =2kπ+ ,k∈Z,当 k=0 时, = . 3 2 6

答案:C
π 2.(2004 年北京海淀区二模题)f x)=2cos2x+ 3 sin2x+a(a 为实常数) ( 在区间 0, ] [ 2

上的最小值为-4,那么 a 的值等于 A.4 B.-6 解析:f(x)=1+cos2x+ 3 sin2x+a

C.-4

D.-3

=2sin(2x+

π )+a+1. 6 π π π 7π ] 2x+ ∈[ , ,∴ ]. 2 6 6 6 1 )+a+1=-4. 2

∵x∈[0,

∴f(x)的最小值为 2×(- ∴a=-4. 答案:C
3.函数 y= sin

x 的定义域是_________. 3

解析:-sin

x x x ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z). 3 3 3

答案:6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z) 4. ( 2005 年 北 京 海 淀 区 高 三 期 末 练 习 题 ) 函 数 y=tanx - cotx 的 最 小 正 周 期 为 ____________. 解析:y= 答案:
π 2
sin x cos x π =-2cot2x,T= . - cos x sin x 2

5.(2004 年全国Ⅰ,17)求函数 f(x)=

sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x 的最小正周期, 2 sin 2 x

最大值和最小值.
2 (sin 2 x + cos 2 x) sin 2 x cos 2 x 解:f(x)= 2 2 sin x cos x

1 sin 2 x cos 2 x 1 = (1+sinxcosx) ( sin x cos x) 2 21 1 1 = sin2x+ , 4 2 = 所以函数 f(x)的最小正周期是π,最大值是 6.已知 x∈[ 3 1 ,最小值是 . 4 4

3π 3π 9 , ] ,函数 y=cos2x-sinx+b+1 的最大值为 ,试求其最小值. 4 2 8 1 2 17 ) + +b, 4 8

解:∵y=-2(sinx+ 又-1≤sinx≤ ymax=

2 1 ,∴当 sinx=- 时, 2 4

17 9 +b= b=-1; 8 8 2 2 时,ymin=- . 2 2

当 sinx= 培养能力

7.求使 1 sin θ = 2 sin(

θ
2

-

π )成立的θ的区间. 4

解: 1 sin θ = 2 sin(

θ
2

-

θ θ 2 π ) (sin cos ) 4 2 2

= 2(

2 θ 2 θ θ θ θ θ sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos 2 2 2 2 2 2 2 2 θ θ π θ 5π sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z). 2 2 4 2 4
π 5π ,4kπ+ ] k∈Z). ( 2 4
y 2 1 -π O 4 y=k 3π 4 π x

因此θ∈[4kπ+

8.已知方程 sinx+cosx=k 在 0≤x≤π上有两解,求 k 的取值范围.

解: 原方程 sinx+cosx=k

2 sin x+ (

π π ) k, = 在同一坐标系内作函数 y1= 2 sin x+ ) ( 4 4

与 y2=k 的图象.对于 y= 2 sin(x+

π ) ,令 x=0,得 y=1. 4

∴当 k∈[1, 2 )时,观察知两曲线在[0,π]上有两交点,方程有两解. 评述:本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数,应重视这种方法. 探究创新

sin x (sin x ≥ cos x), 9.已知函数 f(x)= . cos x (cos x > sin x) (1)画出 f(x)的图象,并写出其单调区间,最大值,最小值; (2)判断 f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期. 解: (1)实线即为 f(x)的图象.
y 1 y=sinx -2π -π y=cosx O -1 π 2π x

单调增区间为[2kπ+

π π 5π ,2kπ+ ][2kπ+ , ,2kπ+2π] (k∈Z) , 4 2 4 π π 5π ][2kπ+ ,2kπ+ , ] (k∈Z) , 4 2 4

单调减区间为[2kπ,2kπ+ f(x)max=1,f(x)min=-

2 . 2 (2)f(x)为周期函数,T=2π. ●思悟小结 1.三角函数是函数的一个分支,它除了符合函数的所有关系和共性外,还有它自身 的属性. 2.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次 数为 1 的形式,否则很容易出现错误.

●教师下载中心 教学点睛 1.知识精讲由学生填写,起到回顾作用. 2.例 2,例 4 作为重点讲解,例 1,例 3 诱导即可. 拓展题例 【例 1】 已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是 A.若α,β是第一象限角,则 cosα>cosβ B.若α,β是第二象限角,则 tanα>tanβ C.若α,β是第三象限角,则 cosα>cosβ D.若α,β是第四象限角,则 tanα>tanβ 解析:借助三角函数线易得结论. 答案:D 【例 2】 函数 f(x)=-sin2x+sinx+a,若 1≤f(x)≤ 取值范围. 解:f(x)=-sin2x+sinx+a 1 1 =-(sinx- )2+a+ . 2 4 由 1≤f(x)≤
17 4 1 2 1 17 ) +a+ ≤ 2 4 4 1 2 3 ) ≤a- . 2 4 3 1 1 ≤sinx- ≤ 2 2 2 17 对一切 x∈R 恒成立,求 a 的 4

1≤-(sinx-

a-4≤(sinx-



由-1≤sinx≤1 -
(sinx-

1 2 9 1 ) max = , sinx- ) 2 =0. ( min 2 4 2

∴要使①式恒成立, a 4 ≤ 0 只需 3 9 3≤a≤4. a 4 ≥ 4


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