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人教版高中数学竞赛讲座:排列组合二项式定理


竞赛讲座 19 -排列、组合、二项式定理 基础知识 1.排列组合题的求解策略 (1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除, 这是解决排列组合题的常用策略. (2)分类与分步 有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各 类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的 方法数,这是乘法原理. (3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数. (4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好 没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间. (5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ,然后与其它“普通 元素”全排列,然后再“松绑” ,将这些特殊元素在这些位置上全排列. (6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模 型.如将 12 个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔 板,把球分成 4 堆,分别装入 4 个不同的盒子中的方法数应为 C11 ,这也就是方程 3 a ? b ? c ? d ? 12 的正整数解的个数. 2.圆排列 (1)由 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } 的 n 个元素中,每次取出 r 个元素排在一个圆环上, 叫做一个圆排列(或叫环状排列) . (2)圆排列有三个特点: (i)无头无尾; (ii)按照同一方向转换后仍是同一排列; (iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不 同的圆排列. (3)定理:在 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } 的 n 个元素中,每次取出 r 个不同的元素进行 Pnr 圆排列,圆排列数为 . r 3.可重排列 允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在 m 个不同的元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那 么第一、第二、?、第 n 位是的选取元素的方法都是 m 种,所以从 m 个不同的元素中, 每次取出 n 个元素的可重复的排列数为 m . n 4.不尽相异元素的全排列 如果 n 个元素中,有 p1 个元素相同,又有 p 2 个元素相同,?,又有 p s 个元素相同 ( p1 ? p2 ? ? ? ps ? n ) ,这 n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的 n 个元素的全排 列,它的排列数是 5.可重组合 (1)从 n 个元素,每次取出 p 个元素,允许所取的元素重复出现 1,2, ?, p 次的组合 叫从 n 个元素取出 p 个有重复的组合. r (2)定理:从 n 个元素每次取出 p 个元素有重复的组合数为: H np ? Cn ?( p ?1) . n! p1!? p 2 !?? ? p s ! 6.二项式定理 (1)二项式定理 (a ? b) ? n ?C k ?0 n k n . a n ?k b k ( n ? N * ) (2)二项开展式共有 n ? 1 项. r n ?r r (3) Tr ?1 ? Cn a b ( 0 ? r ? n )叫做二项开展式的通项,这是开展式的第 r ? 1 项. (4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等. n (5)如果二项式的幂指数 n 是偶数,则中间一项的二项式系数 C n2 最大;如果 n 是 n ?1 n ?1 奇数,则中间两项的二项式系数 C n 2 与 C n 2

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