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圆与方程教案


圆与方程
一、知识回顾: 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 2、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r

; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 二、常见例题 问题导学一:我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点? 例 1、基础训练:求以 N (1,3) 为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程. 探究 1:过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

5 ? 0 相切的直线的方程为 2
2 2

解:设直线方程为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 .∵圆方程可化为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

5 ,∴圆心为(2, 2

-1) ,半径为

2k ? 1 10 1 10 ? .依题意有 ,解得 k ? ?3 或 k ? ,∴直线方程为 y ? ?3x 或 2 3 2 k 2 ?1

y?

1 x. 3
.

探究 2:已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为 解:∵圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心为(1,0) ,半径为 1,∴

5?a 5 2 ? 12 2

? 1 ,解得 a ? 8 或 a ? ?18 .

练习巩固:求经过点 A(0,5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

?a 2 ? (5 ? b) 2 ? r 2 ? 解:设所求圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,则 ? a ? 2b , 2a ? b ? ? r ? 5 5 ?

1

?a ? 1 ?a ? 5 ? 2 2 2 2 解得 ?b ? 3 或 ? ?b ? 15 ,∴圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 5 或 ( x ? 5) ? ( y ? 15) ? 125. ? ? ?r ? 5 ?r ? 5 5
问题导学二:直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质? 例 2、基础训练:求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

探究 1:直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为 解:依题意得,弦心距 d ? 3 ,故弦长 AB ? 2 r ? d
2 2

? 2 ,从而△OAB 是等边三角形,故

截得的劣弧所对的圆心角为 ?AOB ?

?
3

.

探究 2:设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为

2 3 ,则 a ?

.

解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得 (

a ?1 a ?1
2

) 2 ? ( 3 ) 2 ? 2 2 ,解得 a ? 0 .

练习巩固:已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 6 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 . (1)求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 解: (1)∵直线 l : y ? 1 ? m( x ? 1) 恒过定点 P(1,1) ,且 PC ?

5 ? r ? 6 ,∴点 P 在圆内,∴

直线 l 与圆 C 恒交于两点. (2)由平面几何性质可知,当过圆内的定点 P 的直线 l 垂直于 PC 时,直线 l 被圆 C 截得的弦长 最小,此时 k l ? ?

1 k PC

? 2 ,∴所求直线 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 1 ? 0 .

问题导学三:如何判断直线与圆的位置关系? 例 3、基础训练:已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关
2 2

系.
2 2 探究 1:直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是

2

解:依题意有

a ?1 2

? a ,解得 ? 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1.∵ a ? 0 ,∴ 0 ? a ? 2 ? 1.

探究 2 :若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是 .

解:依题意有

2k ? 1 k ?1
2

? 1 ,解得 0 ? k ?

4 4 ,∴ k 的取值范围是 (0, ) . 3 3

练习巩固:若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 解:∵曲线 y ?

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

4 ? x 2 表示半圆 x 2 ? y 2 ? 4( y ? 0) ,∴利用数形结合法,可得实数 m 的取值

范围是 ? 2 ? m ? 2 或 m ? 2 2 . 问题导学四:圆与圆位置关系如何确定? 例 4、基础训练:判断圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的 位置关系,并画出图形.

探究 1:圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 解 : ∵ 圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 的 圆 心 为 O1 (1,0) , 半 径 r1 ? 1 , 圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的 圆 心 为

O2 (0,?2) ,半径 r2 ? 2 ,∴ O1O2 ? 5, r1 ? r2 ? 3, r2 ? r1 ? 1 .∵ r2 ? r1 ? O1O2 ? r1 ? r2 ,∴
两圆相交. 探究 2: 若圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4my ? 4m 2 ? 8 ? 0 相切, 则实数 m 的取值集合是
2 2

.
2 2

解:∵圆 ( x ? m) ? y ? 4 的圆心为 O1 (m,0) ,半径 r1 ? 2 ,圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2m) ? 9 的圆心 为 O2 (?1,2m) , 半 径 r2 ? 3 , 且 两 圆 相 切 , ∴ O1O2 ? r1 ? r2 或 O1O2 ? r2 ? r1 , ∴

(m ? 1) 2 ? (2m) 2 ? 5 或

(m ? 1) 2 ? (2m) 2 ? 1 , 解 得 m ? ?

12 或 m?2 ,或 m?0 或 5

m??

5 12 5 ,∴实数 m 的取值集合是 {? , ? , 0, 2} . 2 5 2
2 2

练习巩固:求与圆 x ? y ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程.
3

解: 设所求圆的圆心为 O1 (a, b) , 则所求圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 20 .∵两圆外切于点 P , ∴ OP ?

1 1 OO1 , ∴ ( ?1,2) ? ( a, b) , ∴ a ? ?3, b ? 6 , ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 3 3

( x ? 3) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 20 .
问题导学五:和圆相关的最值有哪些解决途径,体现那些思想方法? 例 5 、 基 础 训 练 : 已 知 点 A(?2,?2), B(?2,6), C (4,?2) , 点 P 在 圆 x 2 ? y 2 ? 4 上 运 动 , 求
PA ? PB ? PC 的最大值和最小值.
2 2 2

探究 1: 圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 解 : ∵ 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 18 的 圆 心 为 ( 2 , 2 ) ,半径 r ? 3 2 ,∴圆心到直线的距离
2 2

d?

10 2

? 5 2 ? r ,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

(d ? r ) ? (d ? r ) ? 2r ? 6 2 .
探究 2:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 上运动,则 PA 小值是 .
2 2

2

? PB 的最

2

解:设 P( x, y) ,则 PA ? PB 心为 C (3,4) ,则 OP

? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2( x 2 ? y 2 ) ? 8 ? 2 OP ? 8 .设圆
2

2

min

? OC ? r ? 5 ? 2 ? 3 ,∴ PA

? PB 的最小值为 2 ? 32 ? 8 ? 26 .

2

练习巩固:已知点 P( x, y) 在圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1上运动.

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2 y ?1 ? k ,则 k 表示点 P( x, y) 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时, k 取 解: (1)设 x?2
(1)求 得最大值与最小值.由

2k k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

y ?1 3 3 3 ,∴ 的最大值为 ,最小值为 ? . x?2 3 3 3

(2)设 2 x ? y ? m ,则 m 表示直线 2 x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时, m 取得

4

最大值与最小值.由

1? m 5

解得 m ? 1 ? 5 , ∴ 2 x ? y 的最大值为 1 ? 5 , 最小值为 1 ? 5 . ? 1,

问题导学六:如何利用已知条件挖掘求圆的方程的重要信息? 例 6、基础训练:已知点 M 与两个定点 O(0,0) , A(3,0) 的距离的比为

1 ,求点 M 的轨迹方程. 2

探究 1:已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的 面积等于 解 : 设 点 P 的 坐 标 是 ( x, y ) . 由 PA ? 2 PB , 得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 , 化 简 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,∴所求面积为 4? .
探究 2:由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B , ?APB =60 ,则
0

动点 P 的轨迹方程是
0

.
0 =30 .∵ OA ? AP , ∴ OP ? 2 OA ? 2 , ∴ x2 ? y2 ? 2 ,

P A 解: 设 P( x, y) .∵ ?APB =60 , ∴ ?O

化简得 x 2 ? y 2 ? 4 ,∴动点 P 的轨迹方程是 x 2 ? y 2 ? 4 . 练习巩固: 设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点, 动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值

a(a ? 0) ,求 P 点的轨迹.
解:设动点 P 的坐标为 P( x, y) .由

PA PB

? a ( a ? 0) ,得

( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c) 2 ? y 2

? a,

化简得 (1 ? a 2 ) x 2 ? (1 ? a 2 ) y 2 ? 2c(1 ? a 2 ) x ? c 2 (1 ? a 2 ) ? 0 . 当 a ? 1 时,化简得 x 2 ? y 2 ? 当 a ? 1 时,化简得 x ? 0 . 所以当 a ? 1 时, P 点的轨迹是以 (

1? a 2ac 2c(1 ? a 2 ) c) 2 ? y 2 ? ( 2 ) 2 ; x ? c 2 ? 0 ,整理得 ( x ? 2 2 a ?1 a ?1 1? a
2

1? a2 2ac c, 0) 为圆心, 2 为半径的圆; 2 a ?1 a ?1

当 a ? 1 时, P 点的轨迹是 y 轴.

5

问题导学七:圆中动点的变化,带来求其轨迹方程的方法是什么? 例 7、基础训练:已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 上运动, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

探 究 1 : 已 知 定 点 B(3,0) , 点 A 在 圆 x 2 ? y 2 ? 1 上 运 动 , M 是 线 段 AB 上 的 一 点 , 且

1 MB ,则点 M 的轨迹方程是 3 1 1 解:设 M ( x, y), A( x1 , y1 ) .∵ AM ? MB ,∴ ( x ? x1 , y ? y1 ) ? (3 ? x,? y ) , 3 3 AM ?

1 ? ? x ? x1 ? (3 ? x) x ? ? ? ? ? 1 3 ∴? ,∴ ? ?y ? y ? ? 1 y ?y ? 1 1 ? ? 3 ? ?

4 x ?1 3 2 2 . ∵点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动,∴ x1 ? y1 ? 1 ,∴ 4 y 3

4 4 3 9 3 9 ( x ? 1) 2 ? ( y ) 2 ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ,∴点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 3 3 4 16 4 16
探究 2:已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动, ?AOB 的平分线交 AB 于点 M ,则点

M 的轨迹方程是

.

1 解:设 M ( x, y), A( x1 , y1 ) .∵ OM 是 ?AOB 的平分线,∴ AM ? OA ? 1 , ∴ AM ? MB .由变 3 MB OB 3

3 9 式 1 可得点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 4 16
练习巩固:已知直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、 OB 为邻边作平行 四边形 OAPB ,求点 P 的轨迹方程. 解:设 P( x, y) , AB 的中点为 M .∵ OAPB 是平行四边形,∴ M 是 OP 的中点,∴点 M 的坐标 为 ( ,

x y ) , 且 OM ? AB . ∵ 直 线 y ? kx ? 1 经 过 定 点 C (0,1) , ∴ OM ? CM , ∴ 2 2

x y x y x y y 2 2 OM ? CM ? ( , ) ? ( , ? 1) ? ( ) 2 ? ( ? 1) ? 0 ,化简得 x ? ( y ? 1) ? 1.∴点 P 的轨迹方程 2 2 2 2 2 2 2
是 x ? ( y ? 1) ? 1.
2 2

问题导学八:实际生活中我们又该如何利用所学的圆知识进行“数学化” ,来解决问题? 例 8、基础训练:某圆拱桥的水面跨度 20 m ,拱高 4 m .现有一船宽 10 m ,水面以上高 3 m ,这 条船能否从桥下通过?
6

探究 1:某圆拱桥的水面跨度是 20 m ,拱高为 4 m .现有一船宽 9 m ,在水面以上部分高 3 m ,故 通行无阻.近日水位暴涨了 1.5 m ,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低 m 时,船才能通过桥洞.(结果精确到 0.01 m ) 解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为 x 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 .
2 2 ? ?b ? ?10.5 ?100 ? b ? r ∵圆经过点(10,0) , (0,4) ,∴ ? ,解得 . ? 2 2 ? ?r ? 14.5 ?(4 ? b) ? r

∴圆的方程是 x 2 ? ( y ? 10.5) 2 ? 14.52 (0 ? y ? 4) .

令 x ? 4.5 ,得 y ? 3.28(m) .

故当水位暴涨 1.5 m 后,船身至少应降低 1.5 ? (3.28 ? 3) ? 1.22m ,船才能通过桥洞. 探究 2:据气象台预报:在 A 城正东方 300 km 的海面 B 处有一台风中心,正以每小时 40 km 的速 度向西北方向移动,在距台风中心 250 km 以内的地区将受其影响.从现在起经过约 h ,台风将影响 A 城,持续时间约为 h .(结果精确到 0.1 h ) 解:以 B 为原点, 正东方向所在直线为 x 轴,建立直角坐标系, 则台风中心的移动轨迹是 y ? ? x , 受台风影响的区域边界的曲线方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 2502 . 依题意有 (?300? a) ? a ? 250 ,解得 ? 150 ? 25 14 ? a ? ?150 ? 25 14 .
2 2 2

∴ t1 ?

2 a1 40

?

2 ? 150 ? 25 14 40

? 2.0, ?t ?

2 a 2 ? a1 40

?

2 ? 50 14 ? 6.6 . 40

∴从现在起经过约 2.0 h ,台风将影响 A 城,持续时间约为 6.6 h . 练习巩固:有一种商品, A 、 B 两地均有出售,且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商 品后往回贩运时,单位距离的运费 A 地是 B 地的 3 倍.已知 A 、 B 两地的距离是 10 km ,顾客购 买这种商品选择 A 地或 B 地的标准是:包括运费在内的总费用比较便宜.求 A 、 B 两地的售货区 域的分界线的曲线形状,并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点. 解: 以 AB 的中点为原点,AB 所在直线为 x 轴, 建立直角坐标系, 则 A(?5,0) ,B(5,0) .设 P( x, y) 是 售 货 区 域 分 界 线 上 的 任 意 一 点 , 单 位 距 离 的 运 费 为 a 元 / km , 则 3a PA ? a PB , ∴

3a ( x ? 5) 2 ? y 2 ? a ( x ? 5) 2 ? y 2 ,化简得 ( x ?
的分界线是以 ( ?

25 2 15 ) ? y 2 ? ( ) 2 .∴ A 、 B 两地售货区域 4 4

25 15 ,0) 为圆心, 为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去 A 地购货,在曲线外 4 4 的居民选择去 B 地购货,在曲线上的居民去 A 、 B 两地购货均可.

7


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