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4.1一元二次不等式及其解法


§4.1 一元二次不等式及其解法
【知识梳理】 1. “三个二次”的关系 判别式 Δ=b2- Δ>0 4ac 二次函数 y=ax2 +bx+c (a>0)的 图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 2.(x-a)(x-b)>0

或(x-a)(x-b)<0 型不等式的解法 解集 不等式 a<b (x-a)· (x-b)>0 (x-a)· (x-b)<0 口诀:大于取两边,小于取中间. 【基础自测】 1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) b (1)若 ax+b>0,则 x>-a.( ) (2)不等式-x2-5x+6<0 的解集为{x|x<-6 或 x>1}.( x-2 (3)不等式 ≤0 的解集是[-1,2].( ) x+1 ) a=b a>b 有两相异实根 x1, x2(x1<x2) 有两相等实根 x1=x2 b =- 2a Δ=0 Δ<0

没有实数根

(4)若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1 和 x2.( )

(5)若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R.( (6)不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ=b2-4ac≤0.( 2、函数 f(x)= 3x-x2的定义域为( A.[0,3] B.(0,3) ) D.(-∞,0)∪(3,+∞) )

)

C.(-∞,0]∪[3,+∞)

1 1? 2 3、已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是? ?-2,-3?,则不等式 x -bx-a<0 的解集是( A.(2,3) 1 1? C.? ?3,2? B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1? ?1 ? D.? ?-∞,3?∪?2,+∞?

)

3.

x +x<0 的解集为________. x-1

4.已知不等式 x2-2x+k2-1>0 对一切实数 x 恒成立,则实数 k 的取值范围为______________. 【典型例题】 例 1 求下列不等式的解集: (1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.

例 2 设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

例 3 (2014· 德州模拟)某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 8 成(1 成=10%),售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围.

【当堂检测】 1 1 1、若不等式 ax2+bx+2>0 的解为- <x< ,则不等式 2x2+bx+a<0 的解集是________. 2 3 x-1 2、不等式 ≤0 的解集是________. 2x+1 3、若不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5] 4、已知 a∈[-1,1]时不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为( A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3) ) )

§4.1 一元二次不等式及其解法(定时练习)
1.函数 f(x)= 1-x 的定义域为( x+2 )

A.[-2,1] B.(-2,1] C.[-2,1) D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 2 ? ?x -4x+6,x≥0, 2.设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ?x+6,x<0, ? A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 3.设 a>0,不等式-c<ax+b<c 的解集是{x|-2<x<1},则 a∶b∶c 等于( A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1 4.若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 对任意 x 都成立,则实数 m 的取值范围是( A.(-2,2] B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2] 5.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是( A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} 6.已知函数 f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式 f(x)>0 的解集是(-1,3),则不等式 f(-2x)<0 的解集 是( ) 3 1 B.(- , ) 2 2 1 3 D.(- , ) 2 2 3 1 A.(-∞,- )∪( ,+∞) 2 2 1 3 C.(-∞,- )∪( ,+∞) 2 2 ) ) )

)

7.关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a 等于( ) 5 7 15 15 A. B. C. D. 2 2 4 2 1? ? 9.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x|x<-1或x>2?,则 f(10x)>0 的解集为________. ? ? 1 10.若 0<a<1,则不等式(a-x)(x-a)>0 的解集是________________. 11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示 为________________.

12.已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a、b 的值.

13.某农贸公司按每担 200 元收购某农产品,并每 100 元纳税 10 元(又称征锐率为 10 个百分点), 计划可收购 a 万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低 x(x≠0)个百分 点,预测收购量可增加 2x 个百分点. (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%,试确定 x 的取值范围.


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