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椭圆综合题中定值定点、范围问题总结



一、直线与椭圆问题的常规解题方法:



1.设直线与方程; (提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别) 2.设交点坐标; (提醒 :之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理; (提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 ) 5.

根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦 AB 为直径的圆过点 0” (提醒:需讨论 K 是否存在)
? OA ? OB

??? ??? ? ? ? K 1 ? K 2 ? ?1 ? OA ? OB ? 0

?

x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0

②“点在圆内、圆上、圆外问题”
? “直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题” ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 >0;

③“等角、角平分、角互补问题” ? 斜率关系( K 1 ? K 2 ? 0 或 K 1 ? K 2 ) ; ④“共线问题” (如: A Q ? ? Q B ? 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法) ; (如 :A、O、B 三点共线 ? 直线 OA 与 OB 斜率相等) ; ⑤“点、线对称问题” ? 坐标与斜率关系; ⑥ “弦长、 面积问题”? 转化为坐标与弦长公式问题 (提醒: 注意两个面积公式 的 合理选择) ; 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略; ①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0.
???? ??? ?

1

二、基本解题思想: 1、 “常规求值”问题:需要找等式, “求范围”问题需要找不等式; 2、 “是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明, 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值) 、 三角代换法(转化为三角函数的最值) 、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决; 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性, 关键是积累“转化”的经验;

椭圆中的定值、定点问题
一、常见基本题型: 在几何问题 中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值 来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的。 (1)直线恒过定点问题 1、 已知点 P ( x 0 , y 0 ) 是椭圆 E :
x
2

? y ? 1 上任意一点, 直线 l 的方程为
2

x0 x 2

2

? y0 y ? 1 , 直

线 l 0 过 P 点与直线 l 垂直, M(-1,0) 点 关于直线 l 0 的对称点为 N, 直线 PN 恒过一定点 G, 求点 G 的坐标。

2

2、 已知 椭圆两焦点 F1 、F 2 在 y 轴上, 短轴长为 2 2 , 离心率为
???? ???? ?

2 2

,P 是椭圆在第一



限弧上一点,且 P F1 ? P F 2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭 于 A、B 两点。 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值;

[来源:学科网]



3 、 已 知 动 直 线 y ? k ( x ? 1) 与 椭 圆 C :

x

2

?

y

2

5
???? ???? , 0 ) , 求证: M A ? M B 为定值.

5 3

?1 相交于 A 、 B 两点,已知点

M (?

7 3

[

4、 在平面直角坐标系 xO y 中,已知椭圆 C :

x

2

? y ? 1 .如图所示,斜率为 k ( k> 0 ) 且不
2

3

过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 A B 的中点为 E ,

射线 O E 交椭圆 C 于
2

2 2 点G , 交直线 x ? ? 3 于点 D ( ? 3, m ) . Ⅰ) m ? k 的最小值; Ⅱ) O G ( 求 ( 若

? OD ? OE ,

求证:直线 l 过定点;

3

椭圆中的取值范围问题
一、常见基本题型: 对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的 不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域 来解. (1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。
2 2 5 、已知直线 l 与 y 轴交于点 P ( 0 ,m ) ,与 椭圆 C : 2 x ? y ? 1 交于相 异两 点 A 、 B ,

??? ? ??? ? 且 A P ? 3 P B ,求 m 的取值范围.

(2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围. 6、已知点 M ( 4, 0 ) , N (1, 0 ) , 若动点 P 满足 M N ? M P ? 6 | P N | . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A , B 两点,若 ? 直线 l 的斜率的取值范围.
[来源:学科网]

???? ???? ?

????

18 7



??? ??? ? ? 12 NA ? NB ≤ ? ,求 5

4

(3)利用基本不等式求参数的取值范围 7、已知点 Q 为椭圆 E : 的取值范围.
x
2

?

y

2

?1

上的 一动点,点 A 的坐标为 (3,1) ,求

??? ???? ? AP ? AQ

18

2

8.已知椭圆的一个顶点为

A (0, ? 1)

,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ?

y?2 2 ?0

的距

离为 3.(1)求椭圆的方程. (2) 设直线 y 取值范围.
? kx ? m ( k ? 0 ) 与椭圆相交于不同的两点 M , N

.当 |

A M |? | A N | 时, m 求



9. 如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 8 , 定点 A (1, 0 ), M 为圆上一动点,点 P 在 A M 上,
2 2

点 N 在 C M 上,且满足 AM ? 2 AP , NP ? AM ? 0 , 点 N 的轨迹为曲线 E . (I)求曲线 E 的方程; (II)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两
[来源:学科网 ZXXK]

点 G , H (点 G 在点 F , H 之 间) ,且满足 FG ? ? FH , 求 ? 的取值范围.

5

10、.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,两个焦点分别为 A ( ? 1, 0 ) 、 B (1, 0 ) ,一个顶点为
H ( 2 ,0 ) .

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)对于 x 轴上的点 P (t , 0 ) ,椭圆 E 上存在点 M ,使得 MP ? MH ,求 t 的取值范围.

11.已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 2

,以原点为圆心,椭圆的短半轴长

为半径的圆与直线 x ? y ?

2 ? 0 相切.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A , B ,设 P 为椭圆上一点,且满 足 OA ? OB ? t OP (O 为坐标原点) ,当 PA ? PB < 2 5 时,求实数 t 取值范围.
3

6

椭圆中的最值问题
一、常见基本题型: (1)利用基本不等式求最值, 12、已知椭圆两焦点 F1 、 F 2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为
???? ???? ?

2 2

, P 是椭圆在第一

象限弧上一点,且 P F1 ? P F 2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交 椭圆 于 A、B 两点,求△PAB 面积的最大值。 (2)利用函数求最值, 13.如图,D P ? x 轴, M 在 DP 的延长线上, | D M |? 2 | D P | . 点 且 当点 P 在圆 x ? y ? 1
2 2

上 运动时。 (I)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T (0, t ) 作 圆 x ? y ? 1 的切线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,求△AOB 面 积 S 的
2 2

最大值和相应的点 T 的坐标。

14、已知椭圆 G :

x

2

? y ? 1 .过点 ( m , 0 ) 作圆 x ? y ? 1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点.
2

2

2

4

将| AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.

7

选做
1、已知 A、B、C 是椭圆 m :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上的三点,其中点 A 的坐标为

( 2 3 , 0 ) ,BC 过椭圆 m 的中心,且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | .

(1)求椭圆 m 的方程; (2)过点 M ( 0 , t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且 | DP |? | DQ | .求实数 t 的取值范围.

2.已知圆 M : ( x ? m ) ? ( y ? n ) ? r 及定点 N (1, 0 ) ,点 P 是圆 M 上的动点,点 Q 在 N P
2 2 2

上,点 G 在 M P 上, 且满足 N P =2 N Q , G Q · N P = 0 . (1)若 m ? ? 1, n ? 0, r ? 4 ,求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)若动圆 M 和(1)中所求轨迹 C 相交于不同两点 A , B ,是否存在一组正实数 m , n , r , 使得直线 M N 垂直平分线段 A B ,若存在,求出这组正实数;若不存在,说 明理由.

??? ?

????

????

??? ?

8

3、 已知椭圆 C 的中心在坐标原 点, 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A, B 不是左右顶点) ,且以 A B 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M (2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) 交椭圆于 A、B 两个不同点。 ,l (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

9

参考答案 1、解:直线 l 0 的方程为 x 0 ( y ? y 0 ) ? 2 y 0 ( x ? x 0 ) ,即 2 y 0 x ? x 0 y ? x 0 y 0 ? 0 设 M ( ? 1, 0 ) 关于直线 l 0 的对称点 N 的坐标为 N ( m , n )
3 2 ? 2 x0 ? 3 x0 ? 4 x0 ? 4 x ? n m ? ? ? 0 ? 2 ?m ?1 x0 ? 4 2 y0 ? ? 则? ,解 得 ? 4 3 2 m ? 1 x0 n ? n ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? 8 x0 ? 2 y0 ? ? ? x0 y0 ? 0 2 ? ? 2 y0 ( 4 ? x0 ) ? 2 2 ?

?

直线 P N 的斜率为 k ?

n ? y0 m ? x0

?

x0 ? 4 x0 ? 2 x0 ? 8 x0 ? 8
4 3 2

2 y0 (? x0 ? 3 x0 ? 4 )
3 2

从而直线 P N 的方程为: y ? y 0 ?
2 y0 ( ? x0 ? 3 x0 ? 4 )
3 2

x0 ? 4 x0 ? 2 x0 ? 8 x0 ? 8
4 3 2

2 y0 ( ? x0 ? 3 x0 ? 4 )
3 2

( x ? x0 )

即x ?

x0 ? 4 x0 ? 2 x0 ? 8 x0 ? 8
4 3 2

y ?1

从而直线 P N 恒过定点 G (1, 0 )
y a
2 2

2、解: (1)设椭圆方程为

?

x b

2 2

? 1 ,由题意可得

a ? 2, b ?

2,c ? 2 2

y

2

,所以椭圆的方程为 4

?

x

2

?1

2

则 F1 (0, 2 ), F 2 (0, ? 2 ) ,设 P ( x 0 , y 0 )( x 0 ? 0, y 0 ? 0) 则 P F1 ? ( ? x 0 , 2 ? y 0 ), P F2 ? ( ? x 0 , ? 2 ? y 0 ),
???? ???? ? 2 2 ? P F1 ? P F2 ? x 0 ? (2 ? y 0 ) ? 1
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

????

???? ?

? 点 P ( x 0 , y 0 ) 在曲线上,则

x0 2

2

?

y0 4

2

? 1.

? x0 ?
2

4 ? y0 2

2

从而

4 ? y0 2

2

? ( 2 ? y 0 ) ? 1 ,得 y 0 ?
2

2 ,则点 P 的坐标为 (1,

2)



(2)由(1)知 P F1 // x 轴,直线 PA、PB 斜率互为相反数, 设 PB 斜率为 k ( k ? 0 ) ,则 PB 的直线方程为: y ?
2 ? k ( x ? 1)

10

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 由? x2 y2 ? ?1 ? ? 2 4

得 (2 ? k ) x ? 2 k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) ? 4 ? 0
2 2 2

设 B ( x B , y B ), 则 x B ?
2

2k (k ? 2?k
2

2)

?1 ?

k ? 2 2k ? 2
2

2?k

2

同理可得 x A ?

k ? 2 2k ? 2 2?k
2

,则 x A ? x B ?
8k

4 2k 2?k
2

y A ? y B ? ? k ( x A ? 1) ? k ( x B ? 1) ?

2?k

2

所以直线 AB 的斜率 k A B ?
x
2

yA ? yB x A ? xB
2 2

?

2 为定值。

3、 解: 将 y ? k ( x ? 1) 代入

?

y

2

5

5 3

? 1 中得 (1 ? 3 k ) x ? 6 k x ? 3 k ? 5 ? 0
2 2

? ? ? 36 k ? 4(3 k ? 1)(3 k ? 5) ? 48 k ? 20 ? 0 ,
4 2 2 2

x1 ? x 2 ? ?
???? ????

6k
2

2

3k ? 1
7 3
7 3
2

, x1 x 2 ?
7 3

3k ? 5
2

3k ? 1
2

所以 M A ? M B ? ( x1 ?
? ( x1 ?

, y 1 )( x 2 ?
)( x 2 ? 7 3

, y 2 ) ? ( x1 ?
2

7 3

)( x 2 ?

7 3

) ? y1 y 2

) ? k ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

? (1 ? k ) x1 x 2 ? (
2

7 3

? k )( x1 ? x 2 ) ?
2

49 9
2

?k

2

? (1 ? k )
2

3k ? 5 3k ? 1
2 2

?(

7 3

? k )( ?
2

6k
2

3k ? 1
4 9

)?

49 9

?k

2

?

? 3k ? 16 k ? 5
4

3k ? 1
2

?

49 9

?k

2

?



4、 解: (Ⅰ)由题意:设直线 l : y ? kx ? n ( n ? 0) ,
? y ? kx ? n ? 2 2 2 由? x2 消 y 得: (1 ? 3 k ) x ? 6 knx ? 3 n ? 3 ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? 3
? ? 36 k n ? 4(1 ? 3 k ) × 3( n ? 1) ? 12(3 k ? 1 ? n ) ? 0
2 2 2 2
2 2

11

设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x 2 , y 2 ) ,AB 的中点 E ( x 0 , y 0 ) ,则由韦达定理得:
x1 ? x 2 =

[来源:学科网]

? 6 kn 1 ? 3k
2

,即 x 0 ?

? 3 kn 1 ? 3k
2

1 ? 3k ? 3 kn n , ), 所以中点 E 的坐标为 ( 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
2

, y 0 ? kx 0 ? n ?

? 3 kn

?k ?n ?

n 1 ? 3k
2

,

因为 O、E、D 三点在同一直线上, 所以 k O E ? K O D ,即 ? 所以 m 2 ? k 2 =
1 k
2

1 3k

? ?

m 3

, 解得 m ?

1 k



?k

2

? 2 ,当且仅当 k ? 1 时取等号,

即 m 2 ? k 2 的最小值为 2.
x,

(Ⅱ)证明:由题意知:n>0,因为直线 OD 的方程为 y ? ?

m 3

m ? ?y ? ? 3 x ? 所以由 ? 2 得交点 G 的纵坐标为 y G ? ? x ? y2 ? 1 ? 3 ?
n 1 ? 3k
2
2

m
2

2

m ?3

,

又因为 y E ?

, y D ? m ,且 O G
1 k

? O D ? O E ,所以

m
2

2

m ?3

? m?

n 1 ? 3k
2

,

又由(Ⅰ)知: m ?

,所以解得 k ? n ,所以直线 l 的方程为 l : y ? kx ? k , 令 x ? ? 1 得,y=0,与实数 k 无关,
1 2

即有 l : y ? k ( x ? 1) ,

5、 解: (1)当直线斜率不存在时: m ? ?

(2)当直线斜率存在时:设 l 与椭圆 C 交点为 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
? ?

? y ? kx ? m ?2x ? y ? 1
2 2
2

得 ( k ? 2) x ? 2 km x ? m ? 1 ? 0
2 2 2
2 2 2 2

? ? ? ( 2 km ) ? 4 ( k ? 2 )( m ? 1) ? 4 ( k ? 2 m ? 2 ) ? 0 (*)

x1 ? x 2 ?

? 2 km k ?2
2

, x1 x 2 ?

m ?1
2

k ?2
2

??? ? ??? ? ∵ A P ? 3 P B ,∴ ? x1 ? 3 x 2 ,

∴?

? x1 ? x 2 ? ? 2 x 2 ? x1 x 2 ? ? 3 x 2
? 3(
2

2

.

消去 x 2 ,得 3( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 0 ,
2

? 2 km k ?2
2

) ?4
2

m ?1
2

k ?2
2

? 0

整理得 4 k m ? 2 m ? k ? 2 ? 0
2 2 2

12

m

2

?

1 4

时,上式不成立;
2 ? 2m
2 2

m

2

?

1 4

时, k ?
2

2 ? 2m
2

2

4m ? 1



∴k ?
2

4m ? 1 2 ? 2m
2

? 0 ,∴ ? 1 ? m ? ?
2

1 2



1 2

? m ?1
1 2 1 2

把k ?
2

4m ? 1

代入(*)得 ? 1 ? m ? ?
1 2 1 2 ? m ?1 1 1



? m ?1

∴? 1 ? m ? ?



综上 m 的取值范围为 ? 1 ? m ? ?
x 6、 (Ⅰ) 解: 设动点 P ( x , y ) , MP ? ( ? 4, y) 则 ????

? m ? 1。 2 ???? ? ???? ,M N ? ( ? 3, 0 ) ,P N ? (1 ? x , ? y ) .



2

由已知得 ? 3 ( x ? 4 ) ? 6 (1 ? x ) ? ( ? y ) ,
2 2

化简得 3 x ? 4 y ? 1 2 ,得

2

2

x

2

?

y

2

? 1.

4

3 x
2

所以点 P 的轨迹 C 是椭圆 , C 的方程为 (Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率必存在,

?

y

2

? 1.

4

3

不妨设过 N 的直线 l 的方程 为 y ? k ( x ? 1) , 设 A , B 两点的坐标分别为 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .
? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由? x2 y2 消去 y 得 (4 k ? 3) x ? 8 k x ? 4 k ? 12 ? 0 . ? ?1 ? 3 ? 4

因为 N 在椭圆内,所以 ? ? 0 .
2 ? 8k x1 ? x 2 ? , ? 2 ? 3 ? 4k 所以 ? 2 ? x x ? 4k ? 12 . 2 ? 1 2 3 ? 4k ?

因为 N A ? N B ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? (1 ? k )( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2

??? ??? ? ?

? (1 ? k )[ x 1 x 2 ? ( x 1 ? x 2 ) ? 1]
2

? (1 ? k )
2

4k

2

? 12 ? 8 k

2

? 3 ? 4k
2

2

3 ? 4k

?

? 9 (1 ? k )
2

3 ? 4k

2



13

所以 ?
??? ? A P ? (1, 3)

18 7



? 9 (1 ? k )
2

3 ? 4k
??? ?

2



?

12 5

. 解得 1 ≤ k

2

≤ 3

.

7、 解:

,设 Q(x,y) A ,Q

? ( ? ,3 ? x y ) 1

, .

??? ???? ? A P ? A Q ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6



x

2

?

y

2

? 1 ,即 x ? (3 y ) ? 1 8
2 2



18

2

而 x 2 ? (3 y ) 2 ≥ 2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 则 ( x ? 3 y ) 2 ? x 2 ? (3 y ) 2 ? 6 xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36].
x ? 3y

[来源:学*科*网]

的取值范围是[-6,6].

∴ AP ? AQ

??? ???? ?

? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0].

8、解: (1)依题意可设椭圆方程为
|

x a
2

2 2

? y ? 1 ,则右焦点 F
2

?

a ? 1, 0
2

?

由题设

a ?1 ? 2 2 | 2

? 3 ,解得 a ? 3
2



故所求椭圆的方程为 (2)设 P ( x P , y P ) 、 M

x

2

? y ? 1.
2

3
( xM , yM ) 、 N ( xN , y N )



P

为弦 M N 的中点,由 ? x 2

? y ? kx ? m ? ? y ?1 ? ? 3
2
2

得 (3 k 2

? 1) x ? 6 m kx ? 3( m ? 1) ? 0
2

?

直线与椭圆相交,
2 2 2

? ? ? (6 m k ) ? 4(3 k ? 1) ? 3( m ? 1) ? 0 ? m ? 3 k ? 1,
2 2

① ,

? xP ?

xM ? xN 2

? ?

3m k 3k ? 1
2

,从而 y P

? kx P ? m ?

m 3k ? 1
2

? k AP ?

yP ? 1 xP

? ?

m ? 3k ? 1
2

,又 | A M |? | A N |,? A P ? M N ,
1 k

3m k
m ? 3k ? 1
2

则: ?

? ?

,即 2 m

? 3 k ? 1 ,②
2

3m k

把②代入①得 m 2

? 2m

,解 0 ?

m ? 2



14

由②得 k 2

?

2m ? 1 3

? 0

,解得 m
1 2

?

1 2

. .

综上求得 m 的取值范围是 9、解: (Ⅰ)? AM ? 2 AP , NP ? AM ? 0 .

? m ? 2

∴NP 为 AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又?| CN | ? | NM |? 2 2 ,?| CN | ? | AN |? 2 2 ? 2 . ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) A(1,0)为焦点的椭圆. , 且椭圆长轴长为 2 a ? 2 2 , 焦距 2c=2.
x
2

?a ?

2 , c ? 1, b

2

? 1.

∴曲线 E 的方程为 (Ⅱ)当直线 GH 斜率存在时,

? y

2

? 1.

2

设直线 GH 方程为 y ? kx ? 2 , 代入椭圆方程
1 2 ? k ) x ? 4 kx ? 3 ? 0 .
2 2

x

2

? y

2

? 1,

2

得(

由 ? ? 0得 k
? 4k 1 2 ? k
2

2

?

3 2

.
3

设 G ( x 1 , y 1 ), H ( x 2 , y 2 ), 则 x 1 ? x 2 ?

, x1 x 2 ?

1 2

?k

2

又 ? FG ? ? FH ,

? ( x1 , y 1 ? 2 ) ? ? ( x 2 , y 2 ? 2 )
?( x1 ? x 2 1? ? ? x2 ?
2

? x1 ? ? x 2 ,

? x 1 ? x 2 ? (1 ? ? ) x 2 , x 1 x 2 ? ? x 2 .
2

)

2

x1 x 2

?



( ?

? 4k 1 ?k
2

)

2

3 1 ? 2 ?k
2

2 2 (1 ? ? )

?

, 整理得 3(

16 1 2k
2

? ? 1)

(1 ? ? )

2

?

?k

2

?

3 2

,? 4 ?

16 3 2k
2

? ?3

16 3

.

?4 ? ? ?

1

?

? 2 ?

16 3

.解得

1 3

? ? ? 3.

又 ? 0 ? ? ? 1,

?

1 3

? ? ? 1. 1 3 1 FH , ? ? 1 3 .

又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ? 0 , FG ?
? 1 3 ? ? ? 1, 即所求 ? 的取值范围是

[ ,1) 3

15

10、解: (1)由题意可得, c ? 1 , a ? 2 ,∴ b ?

3.

∴所求的椭圆的标准方程为:

x

2

?

y

2

? 1.

4 x0 4
2

3 y0 3
2

( (2)设 M ( x 0 , y 0 ) x 0 ? ? 2 ) ,则

?

?1.



且 MP ? ( t ? x 0 , ? y 0 ) , MH ? ( 2 ? x 0 , ? y 0 ) , 由 MP ? MH 可得 MP ? MH ? 0 ,即 ∴ ( t ? x 0 )( 2 ? x 0 ) ? y 0 ? 0 . 由①、②消去 y 0 整理得
t (2 ? x0 ) ? ? 1 4 x0 ? 2 x0 ? 3 . ∵ x0 ? 2
2

2



∴t ? ?

1 4

(2 ? x0 ) ? 1 ?

1 4

x0 ?

3 2



∵ ? 2 ? x0 ? 2 , ∴ ? 2 ? t ? ?1 . ∴ t 的取值范围 为 ( ? 2 , ? 1) .
c a 2 2

11、 解: (Ⅰ)由题意知 e ?
2 2

?

, 所以 e ?
2

c a

2 2

?

a ?b
2

2

a
2

2

?

1 2



即 a ? 2 b . 又因为 b ?

2 1?1

? 1 ,所以 a ? 2 , b ? 1 .
2

故椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

? 1.

2

(Ⅱ)由题意知直线 A B 的斜率存在. 设 A B : y ? k ( x ? 2 ) , A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y ) ,
? y ? k ( x ? 2 ), ? 2 2 2 2 由? x2 得 (1 ? 2 k ) x ? 8 k x ? 8 k ? 2 ? 0 . 2 ? y ? 1. ? ? 2
? ? 6 4 k ? 4 (2 k ? 1)(8 k ? 2 ) ? 0 , k ?
4 2 2

2

1 2

.

x1 ? x 2 ?

8k

2 2

1 ? 2k

, x1 ?x 2 ?

8k ? 2
2

1 ? 2k

2

.

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

16

∵ OA ? OB ? t OP ,∴ ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? t ( x , y ) , x ?
y1 ? y 2 t

x1 ? x 2 t

?

8k

2 2

t (1 ? 2 k )



y ?

?

1 t

[ k ( x1 ? x 2 ) ? 4 k ] ?

?4k t (1 ? 2 k )
2

.

∵点 P 在椭圆上,∴

(8 k )
2

2

2 2 2

t (1 ? 2 k )
2 2

?2

(?4k )
2

2 2 2

t (1 ? 2 k )

? 2,

∴ 1 6 k ? t (1 ? 2 k ) .
2

∵ PA ? PB <

2 5 3

,∴ 1 ? k

2

x1 ? x 2 ?

2 5 3

,∴ (1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 ?x 2 ] ?
2 2

20 9

∴ (1 ? k )[
2

8k ? 2 20 ? 4? ]? , 2 2 2 (1 ? 2 k ) 1 ? 2k 9 64k
4 2
2

∴ ( 4 k ? 1)(1 4 k ? 1 3) ? 0 ,∴ k 2 ?
2

1 4

.
8 1 ? 2k
2



1 4

? k

2

?

1 2

,∵ 1 6 k ? t (1 ? 2 k ) ,∴ t ?
2 2 2

2

16k

2 2

1 ? 2k

?8?



∴ ?2 ? t ? ?

2 6 3



2 6 3 2 6 3

?t ? 2,

∴实数 t 取值范围为 ( ? 2 , ?

)?(

2 6 3

,2 ) .

12、解、设椭圆方程为

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ,由题意可得

a ? 2, b ?

2,c ? 2 2 ,

故椭圆方程为

y

2

?

x

2

?1
? 2x ? m

4

2

设 AB 的直线方程: y

.

?y ? 2x ? m ? 2 2 2 由? x2 ,得 4 x ? 2 2 m x ? m ? 4 ? 0 , y ? ?1 ? ? 2 4
2 2 由 ? ? ( 2 2 m ) ? 16 ( m ? 4 ) ? 0 ,得 ? 2

2 ? m ? 2 2

P 到 AB 的距离为 d

?

|m| 3



17

则 S ? PAB ?
1 8

1 2

| AB | ? d ?

1 2

(4 ?

1 2

m )?3 ?
2

|m | 3

?

m (? m ? 8) ?
2 2

1 m ?m ?8 2 ( ) ? 8 2
2 2

2 。

[来源:Zxxk.Com]

当且仅当 m

? ? 2 ? ? 2 2 ,2 2

?

? 取等号,

∴ 三角形 PAB 面积的最大值为

2



[来源:

13、 解:设点 M 的坐标为 ? x , y ? ,点 P 的坐标为 ? x 0 , y 0 ? , 则 x ? x 0 , y ? 2 y 0 ,所以 x 0 ? x , y 0 ?
2

y 2


2

① ②
2

2 2 因为 P ? x 0 , y 0 ? 在圆 x ? y ? 1 上,所以 x 0 ? y 0 ? 1

将①代入②,得点 M 的轨迹方程 C 的方程为 x ?
2

y

? 1.

4

(Ⅱ)由题意知, | t |? 1 .
3 2 3 2
3 ;

当 t ? 1 时,切线 l 的方程为 y ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 ( ?

,1), (

,1),

此时 | AB |?

3 ,当 t ? ? 1 时,同理可得 | AB |?

当 t ? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? kx ? m , k ? R
? y ? kx ? t , ? 2 2 2 2 由? 得 ( 4 ? k ) x ? 2 ktx ? t ? 4 ? 0 ③ y 2 ? 1, ?x ? 4 ?

设 A、B 两点的坐标分别为 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) ,则由③得:
x1 ? x 2 ? ? 2 kt 4?k
2

2

, x1 x 2 ?

t

2

?4
2

4?k



又由 l 与圆 x ? y ? 1 相切,得
2

|t | k
2

? 1, 即 t

2

? k

2

? 1.

?1
4k t
2 ? 2 2

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )
2

2

?

(1 ? k )[
2

(4 ? k )

?

4 (t

2

? 4)
2

4?k

] ? t2 ? 3 .

4 3 |t |

因为 | AB | ?

4 3 |t | t
2

?3

?

4 3 |t |? 3 |t |

? 2 , 且当 t ? ? 3 时,

18

|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2
2

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x ? y ? 1 的半径,
2

所以 ? AOB 面积 S ?

1 2

AB ? 1 ? 1 ,

当且仅当 t ? ? 3 时, ? AOB 面积 S 的最大值为 1, 相应的 T 的坐标为 0 , ? 3 或者 0 , 3 . 14、 解:由题意知, | m |? 1 .
3 2 3 2

?

?

?

?

当 m ? 1 时,切线 l 的方程为 x ? 1 ,点 A,B 的坐标分别为 (1,

), (1, ?

),

此时 | A B |?

3; 3;

当 m ? ? 1 时,同理可得 | A B |?

当 m ? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m ) .
? y ? k(x ? m) ? 2 2 2 2 2 由? x2 得 (1 ? 4 k ) x ? 8 k m x ? 4 k m ? 4 ? 0 . 2 ? y ?1 ? ? 4

设 A,B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) . 又由 l 与圆 x ? y ? 1 相切, 得
2 2

| km | k ?1
2

? 1 ,即 m k ? k ? 1 .
2 2 2

所以 | A B | ?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ?
2 2

(1 ? k )[( x 2 ? x 1 ) ? 4 x 1 x 2 ]
2 2

?

(1 ? k )[
2

64k m
2

4

2 2

(1 ? 4 k )

?

4(4k m ? 4)
2 2

1 ? 4k

2

] ?

4 3|m | m ?3
2

.

由于当 m ? ? 1 时, | A B |?
4 3|m | m ?3
2

3,

| A B |?

?

4 3 |m |? 3 |m |

? 2,

当且当 m ? ? 3 时, | A B |? 2 .所以|AB|的最大值为 2.

选做
19

1、 解(1)椭圆 m:

x

2

?

y

2

?1
[来源:Z+xx+k.Com]

12

4

(2)由条件 D(0,-2) ∵M(0,t) 1°当 k=0 时,显然-2<t<2 2°当 k≠0 时,设 l : y ? kx ? t
2 ?x2 y ? ?1 ? 4 ? 12 ? y ? kx ? t ?
2 2

消y得
2

(1 ? 3 k ) x ? 6 ktx ? 3 t ? 12 ? 0

由△>0 可得 t ? 4 ? 12 k ① 设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), PQ 中点 H ( x 0 , y 0 )
2 2

则 x0 ? ∴ H (?

x1 ? x 2 2 3 kt
1 ? 3k
2

?
,

3 kt 1 ? 3k t
2

2

y 0 ? kx 0 ? t ?

t 1 ? 3k
2

1 ? 3k

)

由 | DP |? | DQ |
t ?2 ? ?
2

? OH ? PQ

即 k DH ? ?

1 k

∴ 1 ? 3k
? 3 kt

2

1 k

化简得 t ? 1 ? 3 k

2



1 ? 3k

?0

∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是(1,4) 综上 t∈(-2,4) 2、解: (1)? N P ? 2 N Q ,? ∴点 Q 为 P N 的中点, 又? G Q ? N P ? 0 ,? G Q ? P N 或 G 点与 Q 点重合.∴ | PG |? | GN | . 又 | G M | ? | G N |? | G M | ? | G P |? | P M |? 4. ∴点 G 的轨迹是以 M , N 为焦点的椭圆,
x
2

??? ?

????

???? ??? ?

且 a ? 2, c ? 1 ,∴ b ? (2)解:不存在这样一组正实数, 下面证明:

a ?c
2

2

?

3 ,? G 的轨迹方程是

?

y

2

? 1.

4

3

由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线 M N 的斜率存在时,设之为 k , 故直线 M N 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , A B 中点 D ( x 0 , y 0 ) ,

20

? ? ? 则? ? ? ?

x1

2

?
2

y1 3

2

?1

4 x2 4 ?

,两式相减得:
2

y2 3

?1

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) 4

?

( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) 3

? 0.

注意到

y1 ? y 2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 ? ? x0 ? 1 ? 2 ? ? ,且 ? k ? y ? y1 ? y 2 ? 0 ? 2

,则

3 x0 4 y0

?

1 k





又点 D 在直线 M N 上,? y 0 ? k ( x 0 ? 1) ,代入②式得: x 0 ? 4 . 因为弦 A B 的中点 D 在⑴所给椭圆 C 内, 故 ? 2 ? x 0 ? 2 , 这与 x 0 ? 4 矛盾,所以所求这组正实数不存在. 当直线 M N 的斜率不存在时, 直线 M N 的方程为 x ? 1 , 则此时 y1 ? y 2 , x1 ? x 2 ? 2 ,代入①式得 x1 ? x 2 ? 0 , 这与 A , B 是不同两点矛盾.综上,所求的这组正实数不存在.
x
2

3、解: (Ⅰ)椭圆的标准方程为

?

y

2

? 1.

[来源:学科网 ZXXK]

4

3

(Ⅱ)设 A ( x1, y 1 ) , B ( x 2, y 2 ) ,
? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 , ? ? 1. ? 3 ? 4

得 (3 ? 4 k ) x ? 8 m kx ? 4( m ? 3) ? 0 ,
2 2 2

? ? ? ? 6 4 m 2 k 2 ? 1 6 (3 ? 4 k 2 )( m 2 ? 3) ? 0, 即 3 ? 4 k 2 ? m 2 ? 0, 则 ? 8m k ? , ? x1 ? x 2 ? ? 2 3 ? 4k ? 2 ? 4 ( m ? 3) x1 ?x 2 ? . ? 2 3 ? 4k ?

又 y1 y 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k x1 x 2 ? m k ( x1 ? x 2 ) ? m ?
2 2

3( m ? 4 k )
2 2

3 ? 4k

2



0 因为以 A B 为直径的圆过椭圆的右焦点 D ( 2,) ,

? k A D k B D ? ? 1 ,即

y1

x1 ? 2 x 2 ? 2

?

y2

? ?1 ,

21

? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,
? 3( m ? 4 k )
2 2

3 ? 4k

2
2

?

4 ( m ? 3)
2

3 ? 4k

2

?
2

16m k 3 ? 4k
2

? 4 ? 0,

? 9 m ? 16 m k ? 4 k ? 0 .

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

解得:
m1 ? ? 2 k , m 2 ? ?
2k 7
2 0 ) ,直线过定点 ( , ) . 7 7

,且均满足 3 ? 4 k ? m ? 0 ,
2 2

0 当 m 1 ? ? 2 k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,直线过定点 ( 2,) ,与已知矛盾;

当m2 ? ?

2k 7

时, l 的方程为 y ? k ( x ?

2

0 所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , ) . 7

2

4、解: (1)设椭圆方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

?a ? 2b ? 2 ? ?a ? 8 解得 ? 则? 4 1 ?b 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ? b ?a
x
2

∴椭圆方程为

?

y

2

?1

8

2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距 m,
? l 的方程为: y ? 1 2 x? m

又 KOM=

1 2

1 ? ?y ? 2 x ? m ? 2 2 由? 2 ? x ? 2 mx ? 2 m ? 4 ? 0 2 ?x ? y ?1 ? 8 2 ?

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,
? ? ? (2m ) ? 4(2m
2 2

? 4) ? 0,

解得 ? 2 ? m ? 2 , 且 m ? 0 .......... .......... .......... .......... .......... ......... 8 分

(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 且 x 1 ? x 2 ? ? 2 m , x 1 x 2 ? 2 m ? 4
2

22

则 k1 ?

y ?1
1

x1 ? 2

,k2 ?

y

2

?1

x2 ? 2

由 x 2 ? 2 mx ? 2 m ? 4 ? 0 可得
2

x1 ? x 2 ? ? 2 m , x1 x 2 ? 2 m

2

?4
( y ? 1) ? ( x 2 ? 2 ) ? ( y 2 ? 1)( x 1 ? 2 )
1

而 k1 ? k 2 ?
1 2

y ?1
1

x1 ? 2

?

y

2

?1

x2 ? 2

?

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

( ? ?

x 1 ? m ? 1)( x 2 ? 2 ) ? (

1 2

x 2 ? m ? 1)( x 1 ? 2 )

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) x 1 x 2 ? ( m ? 2 )( x 1 ? x 2 ) ? 4 ( m ? 1) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) 2m
2

?

? 4 ? ( m ? 2 )( ? 2 m ) ? 4 ( m ? 1) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

?

2m

2

? 4 ? 2m

2

? 4m ? 4m ? 4

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

? 0 .......... .......... .......... .......... .......... .... 13 分

? k1 ? k 2 ? 0

故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

23


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