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第5讲二次函数最值问题


望子成龙学校

2012 年春季初三数学学案

数学备课组

第 5 讲 二次函数最值问题
专题一、 专题一、与几何图形有关的最值问题
例1、 如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与 AB、BC 相切.⊙O′与 AD、CD 相切,设⊙O 的半径为 x,⊙O 与⊙O′的面积的和为 S,求 S 的最大值和最小值.

变式提升
1、 (2011?成都)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃,苗圃的一边靠围 墙(墙的长度不限) ,另三边用木栏围成,建成的苗圃为如图所示的长方形 ABCD.已知木 栏总长为 120 米,设 AB 边的长为 x 米,长方形 ABCD 的面积为 S 平方米. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围) .当 x 为何值时,S 取 得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值; (2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆,其圆心分别为 O1 和 O2,且 O1 到 AB、BC、AD 的距离与 O2 到 CD、BC、AD 的距离都相等,并要求在 苗圃内药材种植区域外四周至少要留够 0.5 米宽的平直路面, 以方便同学们参观学习. (l) 当 中 S 取得最值时,请问这个设计是否可行?若可行,求出圆的半径;若不可行,请说明理 由.

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2、 (2011 湖北宜昌,24,11 分)已如抛物线 y = ax +bx+c 与直线 y=m x +n 相交于两点, 、 这两点的坐标分别是(0, ? 不为 0. (1)求 c 的值; (2)设抛物线 y = ax +bx+c 与 x 轴的两个交点是( x1 ,0)和( x 2 ,0),求 x1 x 2 的值; (3)当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时,设抛物线 y = ax +bx+c 与 x 轴距离最大的点为 P( x0 , y 0 ),求这
2 2

1 2 )和(m-b,m – mb + n),其中 a,b,c,m,n 为实数,且 a,m 2

时 y 0 的最小值.

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专题二、 大利润值问题 专题二、最大利润值问题
(09 成都) .某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召,投资开办了一个装饰品 例 2、 商店.该店采购进一种今年新上市的饰品进行了 30 天的试销售,购进价格为 20 元/件.销 售结束后,得知日销售量 P(件)与销售时间 x(天)之间有如下关系:P=-2x+80(1≤x≤30,且 x 为整数);又知前 20 天的销售价格 Q1 (元/件)与销售时间 x(天)之间有如下关系:

Q1 =

1 x + 30 (1≤x≤20, x 为整数), 10 天的销售价格 Q2 (元/件)与销售时间 x(天) 且 后 2

之间有如下关系: Q 2 =45(21≤x≤30,且 x 为整数). (1)试写出该商店前 20 天的日销售利润 R 1 (元)和后 l0 天的日销售利润 R 2 (元)分别与 销售时间 x(天)之间的函数关系式; (2)请问在这 30 天的试销售中,哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润. 注:销售利润=销售收入一购进成本.

变式提升
( 北黄冈, 1、 2011 湖北黄冈,12 分)我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当 地政府对该特产的销售投资收益为:每投入 x 万元,可获得利润

P=?

1 2 .当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的 ( x ? 60 ) + 41(万元) 100

销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资,在实 施规划 5 年的前两年中,每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路,两年修 成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的 3 年中,该特产既在本地销售,也在 外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入 x 万元,可获利润

Q=?

99 294 2 (10 ? x ) + (100 ? x ) + 160 (万元) 100 5

⑴若不进行开发,求 5 年所获利润的最大值是多少?

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⑵若按规划实施,求 5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?

⑶根据⑴、⑵,该方案是否具有实施价值?

2、 (2011 四川重庆,25,10 分)某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件.受美元走 、 低的影响,从去年 1 至 9 月,该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格 y1(元)与月份 x(1≤x≤9,且 x 取整数)之间的函数关系如下表: 月份 x 价格 y1(元/件) 1 560 2 580 3 600 4 620 5 640 6 660 7 680 8 700 9 720

随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋 缓, 至 12 月每件配件的原材料价格 y2(元)与月 10 份 x(10≤x≤12,且 x 取整数)之间存在如图所示的 变化趋势:

(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、 反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出 y1 与 x 之间的函数关系式,根据如图所 示的变化趋势,直接写出 y2 与 x 之间满足的一次函数关系式 ;

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(2)若去年该配件每件的售价为 1000 元,生产每件配件的人力成本为 50 元,其它成 本 30 元, 该配件在 1 至 9 月的销售量 p1(万件)与月份 x 满足关系式 p1=0.1x+1.1(1≤x≤9, 且 x 取整数),10 至 12 月的销售量 p2(万件)p2=-0.1x+2.9(10≤x≤12,且 x 取整数).求 去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润;

(3)今年 1 至 5 月,每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元,人力成本比去 年增加 20%,其它成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高 a%, 与此同时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 0.1 a%.这样, 在保证每月上万件配件 销量的前提下,完成 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务,请你参考以下数据,估算出 a 的整数值.(参考数据:992=9801,982=9604,972=9409,962=9216,952=9025)

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望子成龙学校家庭作业
(二次函数 最值问题) 最值问题)

学生姓名: 学生姓名:_________

作业等级_________ 作业等级_________

2、 (2011 江苏盐城,26,10 分)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息: 信息 1: 乙两种商品的进货单价之和是 5 元; 甲、 信息 2:甲商品零售单价比进货单价多 1 元, 乙商品零售单价比进货单价的 2 倍少 1 元. 请根据以上信息,解答下列问题: (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元? (2)该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 300 件.经调查发现,甲、乙两种商品 零售单价分别每降 0.1 元,这两种商品每天可各多销售 100 件.为了使每天获取更 大的利润, 商店决定把甲、 乙两种商品的零售单价都下降 m 元. 在不考虑其他因素 的条件下,当 m 定为多少时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最 大?每天的最大利润是多少?

信息 3:按零售单价购买 甲商品 3 件和乙商品 2 件, 共付了 19 元.

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