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2016普通高等学校招生全国统一考试文科数学


2016 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1、设集合 A ? {1,3,5,7} , B ? {x 2 ? x ? 5} ,则 A ? B ? ( )
A. {1,3} A. ? 3 B. {3,5} B. ? 2 C. {5

,7} ) D. 3 ) D. C. 2 D. {1,7} 2、设 (1 ? 2i )(a ? i ) 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a ? (

3、为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花 种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( A.

5 6 2 4、?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a ? 5 ,c ? 2 ,cos A ? ,则 b ? ( 3
B. C. A.

1 3

1 2

2 3



2

B.

3

C. 2

D. 3

5、直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 的离心率为( A. ) B.

1 ,则该椭圆 4

1 3

1 2

C.

2 3

D.

3 4


6、将函数 y ? 2 sin( 2 x ?

? ) 4 ? C. y ? 2 sin( 2 x ? ) 4
A. y ? 2 sin( 2 x ?

? 1 ) 的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为( 6 4 ? B. y ? 2 sin( 2 x ? ) 3 ? D. y ? 2 sin( 2 x ? ) 3
28? ,则它的表面积是( 3 B. 18? D. 28?
) B. log c a ? log c b D. c ? c
a b

7、如图, 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相 垂直的半径.若该几何体的体积是 A. 17? C. 20? A. log a c ? log b c C. a ? b
c c



8、若 a ? b ? 0 , 0 ? c ? 1 ,则(

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9、函数 y ? 2 x ? e 在 [ ?2,2] 的图像大致为(

2

x



A.

B.

C. 10、 执行右面的程序框图, 如果输入的 x ? 0 ,y ? 1 ,n ? 1 , 则输出 x, y 的值满足( A. y ? 2 x B. y ? 3 x C. y ? 4 x D. y ? 5 x 11、平面 ? 过正方形 ABCD ? A1B1C1D1 的顶点 A , ? // 平 面 CB1D1 , ? ? 平面 ABCD ? m , ? ? 平面 ABB1 A1 ? n , 则 m, n 所成角的正弦值为( A. ) C. )

D.

3 2

B.

2 2

3 3

D.

1 3

第 2 页 共 5 页

12、若函数 f ( x ) ? x ? A. [?1,1]

1 sin 2 x ? a sin x 在 (??,?? ) 单调递增,则 a 的取值范围是( 3 1 3
C. [ ? , ]



B. [ ?1, ]

1 1 3 3

D. [ ?1,? ]

1 3

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。
13、设向量 a ? ( x, x ? 1) , b ? (1,2) ,且 a ? b ,则 x ? 14、已知 ? 是第四象限角,且 sin(? ?
2

? 3 ? ) ? ,则 tan(? ? ) ? 4 5 4

15、 设直线 y ? x ? 2a 与圆 C : x ? y ? 2ay ? 2 ? 0 相交于 A, B 两点, 若 AB ? 2 3 , 则圆 C 的面积为 16、某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料

2

1.5kg ,乙材料 1kg ,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ,乙材料 0.3kg ,用 3
个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元, 生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料

150 kg ,乙材料 90kg ,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的
最大值为 元.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、已知 {an } 是公差为 3 的等差数列,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 , b2 ? (1)求 {an } 的通项公式; (2)求 {bn } 的前 n 项和.

1 , anbn?1 ? bn?1 ? nbn . 3

18、如图,已知正三棱锥 P ? ABC 的侧面是直角三角形, PA ? 6 .顶点 P 在平面 ABC 内的正 投影为 D , D 在平面 PAB 内的正投影为点 E ,连结 PE 并延长交 AB 于点 G . (1)证明: G 是 AB 的中点; (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F (说明 作法及理由) ,并求四面体 PDEF 的体积.

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19、某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器 时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则 每个 500 元.现需决策在购买机器时同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器 在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需要更换的易损零件数, y 表示 1 台机器在购买易损零件上 所需的费用(单位:元) , n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若 n ? 19 ,求 y 与 x 的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5 ,求 n 的最小值; (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件, 或每台都购买 20 个易损零件, 分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台机 器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? 20、在直角坐标系 xOy 中, 直线 l : y ? t (t ? 0) 交 y 轴于点 M , 交抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 于点 P , M 关于点 P 的对称点为 N ,连结 ON 并延长交 C 于点 H . (1)求
2

OH ; ON

(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 21、已知函数 f ( x ) ? ( x ? 2)e ? a ( x ? 1) . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) 有两个零点,求 a 的取值范围.
x 2

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22、选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图, ?OAB 是等腰三角形, ?AOB ? 120 ,以 O 为圆心,
?

1 OA 为半径作圆. 2

(1)证明:直线 AB 与圆 O 相切; (2)点 C , D 在圆 O 上,且 A, B, C , D 四点共圆,证明: AB // CD .

23、选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos t ( t 为参数, a ? 0 ).在以坐标原 ? y ? 1 ? a sin t

点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4 cos ? . (1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 ,其中 ? 0 满足 tan ? 0 ? 2 ,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在

C3 上,求 a .

24、选修 4 ? 5 :坐标系与参数方程 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 2 x ? 3 (1)画出 y ? f ( x ) 的图像; (2)求不等式 f ( x ) ? 1 的解集.

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