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高中数学奥林匹克题解(C几何C1-平面几何证明061-070)


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C1-061 △ABC 是直角三角形,以直角边 AC 和 BC 为边分别向 外作两个菱形 ACDE 和 CBFG,其中心分别为 P 和 Q,且∠EAC=∠GCB <90°,如果 M 和 N 分别为 AB 和 DG 的中点.证明:PQ⊥MN. 【

题说】 1992 年友谊杯国际数学竞赛八年级题 2. 【证】 容易证明,△ACG≌△BCD,所以 AG=BD.从而以四边 形 ADGB 各边中点为顶点的四边形 P, Q, 是菱形, PQ⊥MN. N, M 故 C1-062 ABCDE 是凸五边形,AB=BC,∠BCD=∠EAB=90°.X 为 此五边形内一点,使得 AX⊥BE 且 CX⊥BD.证明:BX⊥DE.

【题说】 1992 年澳大利亚数学奥林匹克题 3. 【证】 设 AX 交 BE 于 Y,CX 交 BD 于 Z,BX 交 DE 于 F.则 AB2=BY·BE=BZ·BD 所以 D,E,Y,Z 四点共圆.又由于 B,Y,X,Z 四点共圆,所 以 ∠BXZ=∠BYZ=∠ZDF 故 D, X, 四点共圆, F, Z 从而∠BFD=∠DZX=90°, BX⊥DE. 即 C1-063 已知△ABC 以 O1、O2、O3 为旁切圆圆心.证明:△O1O2O3 是锐角三角形. 【题说】 第三届(1993 年)澳门数学奥林匹克第一轮题 3. 【证】 易知△O1O2O3 包含△ABC, △ABC 三内角平分线是△O1O2O3 三高, △ABC 内心 O 是△O1O2O3 垂心.O 在△ABC 内,更在△O1O2O3 内, 故△O1O2O3 为锐角三角形. C1-064 在△ABC 中,∠A 的平分线交 AB 边中垂线于 A′,∠B 的平分线交 BC 边中垂线于 B′,∠C 的平分线交 CA 边中垂线于 C′.求证: (1)若 A′与 B′重合,则△ABC 为正三角形;

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【题说】 1993 年德国数学奥林匹克(第二轮)题 3. 【证】 (1)若 A′与 B′重合,则△ABC 的内心与外心重合, 从而△ABC 为正三角形. (2)将△A′AC′绕 A 旋转,使 A 与 B 重合.设这时 C′转到

∠ABC-∠BAC+∠ACB)=∠B′CC′.所以△B′BK≌△B′CC′, B′K=B′C′.从而△B′A′K≌△B′A′C′,∠

【注】 设 I 为内心,AB 的垂直平分线交 BB′于 J,则可以证 明△A′C′I∽△A′B′J,从而导出结论,但需要稍多的计算. C1-065 ABC 是一个等腰三角形,AB=AC,假如 (i) 是 BC 的中点, 是直线 AM 上的点, M O 使得 OB 垂直于 AB; (ii)Q 是线段 BC 上不同于 B 和 C 的一个任意点; (iii)E 在直线 AB 上,F 在直线 AC 上,使得 E,Q,F 是不同 的和共线的. 求证:OQ⊥EF 当且仅当 QE=QF.

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【题说】 第三十五届(1994 年)国际数学奥林匹克题 2.本 题由亚美尼亚-澳大利亚提供. 【证】 连线段 OE、 OC. OF、 由对称性, OC⊥AC, ∠OBQ=∠OCQ. 若 OQ⊥EF,则 O、Q、B、E 四点共圆,O、Q、C、F 四点共圆,故 ∠OEQ=∠OBQ,∠OFQ=∠OCQ 于是 又 OQ⊥EF,故 QE=QF. 反之, QE=QF, E 作 EG∥BC 交 AC 于 G, 若 过 则易知 EB=GC=CF. 又 OB=OC,∠OBE=∠OCF=90°,所以△OBE≌△OCF,OE=OF. 从而 OQ⊥EF. C1-066 如图,菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E、F、G、 (1) ∠OEQ=∠OFQ,OE=OF

CD 于 P,交 DA 于 Q.求证:MQ∥NP.

【题说】 1995 年全国联赛二试题 3. 【证】 连结 AC,则 O 为 AC 中点,再连结 MO、NO.则

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∠MON=180°-(∠OMN+∠MNO)

因此

△AMO∽△OMN∽△CON

同理

AQ·CP=OA2,从而 AM·CN=AQ·CP

即 AM∶AQ=CP∶CN 又 ∠MAQ=∠PCN,故△AMQ∽△CPN.因此 ∠AMQ=∠CPN 从而 MQ∥NP.

C1-067 如图,⊙O1 和⊙O2 与△ABC 的三边所在直线都相切.E、 F、G、H 为切点,且 EG、FH 的延长线交于 P 点.求证:PA⊥BC.

【题说】 1996 年全国联赛二试题 3. 【证】 由旁切圆性质知, CE=p(△ABC 半周长)=BF 分别过 P、A 作 PP1⊥BC,AA1⊥BC.连 O1E、O1C,易知 Rt△O1EC ∽Rt△P1EP.从而 EP1∶O1E=PP1∶CE 同理 △P1FP FP1∶O2F2=PP1∶BF 故 O1E=FP1∶O2F2 EP1∶ Rt△O2FB∽Rt

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△AGO1∽△AHO2

因此 P1 与 A1 重合,即 PA⊥BC. C1-068 在△ABC 中,AM 是 A 到∠C 的平分线所作的垂线,M 为垂足;AN、CL 分别是 A、C 到∠B 的平分线所作的垂线,N、L 为 垂足,MN 的延长线交 AC 于 F,BF 的延长线交 CL 于 E,BL 交 AC 于 D.求证:DE∥MN.

【题说】 1996 年江苏省竞赛题 3. 【证】 (1)延长 AM 交 BC 于 D′,延长 AN 交 BC 于 E′,则 由已知可得,AN=NE′,AM=MD′,故 MN∥BC (1)

注意到 AM=MD′,故 AF=FC.连 LF 并延长交 BC 于 G,设 CL 交 BA 延长线于 G,则 L 平分 CG,所以 LF∥AB,故 BG=GC (2)

C1-069 在等腰△ABC 中,AC=BC.O 是它的外心,I 是它的内 心,点 D 在 BC 边上,使得 OD 与 BI 垂直.证明:直线 ID 与 AC 平 行.

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【题说】 第二十二届(1996 年)全俄数学奥林匹克九年级题 6. 【证】 如果△ABC 是等边的(点 O 与 I 重合),那么结论显 然成立. 设点 O 在点 I 与 C 之间(如图 a),作高 CE,则

∠EIB=∠ODB 所以 B、I、O 和 D 四点共圆,于是∠IDB=∠IOB.

于是∠IDB=∠ACB,ID∥AC. 当点 I 在点 O 与 C 之间时,证法同上.见图 b、图 c.

C1-070 三只苍蝇沿三角形 ABC 的边爬行,它们形成的三角形 的重心都在同一位置, 证明:如果它们中的一只苍蝇沿三角形的整 个边界爬过,那末它们的重心与△ABC 的重心重合. 【题说】 第九届(1975 年)全苏数学奥林匹克八年级题 5.

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【证】 如果一只苍蝇位于顶点 A,那末,由苍蝇形成的三角 形的重心位于三角形 ADE 内(如图),这里 DE∶BC=2∶3.因为一 只苍蝇游遍了所有顶点,所以“苍蝇三角形”的重心应属于图中带 斜线的三个三角形.而它们唯一的公共点就是△ABC 的重心.

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